Quelltext der Seite Kollinearität

[[Datei:Kollinear-Beispiel.svg|mini|Ein Beispiel für drei kollineare Punkte (links) und drei nicht kollineare Punkte (rechts)]]
'''Kollinearität''' (von [[Latein|lat.]] ''col-'' und ''linear'' „auf derselben Linie liegend“) ist ein Begriff aus der [[Geometrie]] und [[Lineare Algebra|linearen Algebra]], der eine Beziehung zwischen [[Punkt (Geometrie)|Punkten]] oder [[Vektor]]en beschreibt. Drei oder mehr Punkte sind '''kollinear''', wenn sie auf einer gemeinsamen [[Gerade (Geometrie)|Geraden]] liegen.<ref>{{Literatur |Autor=Harald Scheid, Wolfgang Schwarz |Titel=Elemente der Geometrie |Auflage=5. |Verlag=Springer Spektrum |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-50322-5 |Seiten=4}}</ref><ref>{{Literatur |Titel=Basiswissen Schule Mathematik (5. bis 10. Klasse) |Auflage=4. |Verlag=Duden Schulbuchverlag |Datum=2010 |ISBN=978-3-411-71504-6 |Seiten=207}}</ref> Da es zu zwei Punkten immer eine Gerade gibt, auf der sie liegen, ist der Begriff der Kollinearität erst ab drei Punkten sinnvoll. Zwei Vektoren sind kollinear, wenn sie die gleiche oder entgegengesetzte Richtung haben.<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Steffen Goebbels, Stefan Ritter |Titel=Mathematik verstehen und anwenden: Differenzial- und Integralrechnung, Lineare Algebra |Auflage=4. |Verlag=Springer |Ort= |Datum=2023 |ISBN=978-3-662-68366-8 |Seiten=495}}</ref> Dies ist äquivalent dazu, dass sie [[Lineare Unabhängigkeit|linear abhängig]] sind.<ref>{{Literatur |Titel=Schülerduden Die Mathematik II (11.-13. Schuljahr) |Auflage=3. |Verlag=Dudenverlag |Datum=1991 |ISBN=3-411-04273-7 |Seiten=205}}</ref> Kollinearität ist somit ein Spezialfall der linearen Unabhängigkeit und beschreibt ausschließlich die lineare Unabhängigkeit von genau zwei Vektoren in der Ebene oder im Raum.<ref>{{Literatur |Autor=Jens Kunath |Titel=Analytische Geometrie und Lineare Algebra zwischen Abitur und Studium I |Auflage= |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2023 |ISBN=978-3-662-67811-4 |Seiten=109 |Abruf=}}</ref> 

Kollinearität spielt sowohl in der [[Affine Geometrie|affinen Geometrie]] als auch in der [[Projektive Geometrie|projektiven Geometrie]] eine wichtige Rolle, da sie [[Invariante (Mathematik)|invariant]] unter bestimmten, als [[Kollineation]]en bezeichneten [[Abbildung (Mathematik)|Abbildungen]] ist.<ref>{{Literatur |Autor=Horst Tietz |Titel=Lineare Geometrie |Verlag=Vandenhoeck&Ruprecht |Ort=Göttingen |Datum=1973 |ISBN=3-525-03408-3 |Seiten=204}}</ref>

== Kollineare Punkte ==
=== Euklidische Geometrie ===
Beispiele für kollineare Punkte aus der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]]:
* Der [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]], der [[Umkreis]]mittelpunkt und der [[Höhenschnittpunkt]] eines [[Dreieck]]s sind kollinear, da sie auf der [[Eulersche Gerade|eulerschen Geraden]] liegen.
* Der [[Gergonne-Punkt]], der Schwerpunkt und der [[Mittenpunkt]] eines Dreiecks sind kollinear.
* Der [[Satz von Menelaos]] liefert ein Kriterium dafür, dass drei Punkte auf den (verlängerten) Seiten eines Dreiecks kollinear sind.
* Die [[Winkelhalbierendensatz (Dreieck)#Außenwinkelhalbierende|Außenwinkelhalbierenden]] eines Dreiecks schneiden die Verlängerungen der gegenüberliegenden Seiten in kollinearen Punkten.<ref>{{Literatur |Autor=[[Roger Arthur Johnson]] |Titel=Modern Geometry. An Elementary Treatise of the Geometry of the Triangle and the Circle |Verlag=Houghton Mifflin Company |Datum=1929 |Seiten=148 |Fundstelle=Nr. 219 e. |Online=[https://archive.org/details/bwb_P9-AFM-481/page/148/mode/2up?view=theater archive.org]}}</ref>
* Wenn sich die Geraden durch zwei sich entsprechende Eckpunkte zweier Dreiecke in einem Punkt <math>Z</math> schneiden und sich die entsprechenden verlängerten Seiten jeweils in Punkten <math>U,V,W</math> schneiden, so sind diese drei Punkte kollinear ([[Satz von Desargues]]).
=== Analytische Geometrie ===
Eine Menge von Punkten eines [[Affiner Raum|affinen Raumes]] ist genau dann kollinear, wenn der [[Vektorraum]], der von den Verbindungsvektoren dieser Punkte aufgespannt wird, höchstens die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] 1 hat.

Um festzustellen, ob drei Punkt <math>P_1(x_1,y_1), P_2(x_2,y_2)</math> und <math>P_3(x_3,y_3)</math> kollinear sind, gibt es mehrere Möglichkeiten:

Da durch je zwei der drei Punkte eine Gerade geht, wählt man zwei der Punkte aus und stellt die Zweipunkteform der Verbindungsgeraden auf. Per Punktprobe muss dann noch festgestellt werden, ob der dritte Punkt auf dieser Geraden liegt. Ist dies der Fall, so sind die drei Punkte kollinear, ansonsten nicht.

Die Punkte <math>P_1, P_2</math> und <math>P_3</math> sind genau dann kollinear, wenn die Verbindungsvektoren <math>\overrightarrow{P_1P_2}</math> und <math>\overrightarrow{P_1 P_3}</math> linear abhängig sind (siehe [[#Kollineare Vektoren|kollineare Vektoren]]).<ref>{{Literatur |Titel=Schülerduden Die Mathematik II |Auflage=3. |Verlag=Dudenverlag |Ort=Mannheim / Wien / Zürich |Datum=1991 |ISBN=3-411-04273-7 |Seiten=205}}</ref> Somit lässt sich die Untersuchung der Kollinearität von Punkten auf die Untersuchung der linearen Abhängigkeit von Vektoren zurückführen.

Drei Punkte <math>P_1(x_1,y_1), P_2(x_2,y_2)</math> und <math>P_3(x_3,y_3)</math> der Ebene sind genau dann kollinear, wenn
:<math>\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}
= x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1 - x_1 y_3 - x_2 y_1 - x_3 y_2 = 0</math>
gilt.<ref>{{Literatur |Autor=I. N. Bronschtein, K. A. Semendjajew |Titel=[[Taschenbuch der Mathematik]] |Auflage=5. |Verlag=Verlag Harri Deutsch |Datum=2001 |ISBN=3-8171-2005-2 |Seiten=200}}</ref> (Der Rechenausdruck links vom ersten Gleichheitszeichen ist eine [[Determinante]].)

[[Datei:Kollineare und nicht kollineare Vektoren.svg|mini|Kollineare Vektoren (links) und nicht kollineare Vektoren (rechts)]]
== Kollineare Vektoren ==
Betrachtet man zwei vom [[Nullvektor]] verschiedene Vektoren, dann ist Kollinearität gleichbedeutend damit, dass anschaulich jeder der beiden Vektoren ein Vielfaches des anderen ist. Mathematisch präziser bedeutet dies, dass jeder der beiden Vektoren durch [[Skalarmultiplikation|Multiplikation]] mit einem [[Skalar (Mathematik)|Skalar]] in den jeweils anderen Vektor überführt werden kann, d. h.

:<math>\vec{a} = \beta \cdot \vec{b} \quad </math>und<math>\quad \vec b = \alpha \cdot \vec a</math>.
Diese motiviert die folgende Definition, die auch die Möglichkeit zulässt, dass <math>\vec a</math> oder <math>\vec b</math> der Nullvektor ist:<ref name=":0" />

Zwei Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> heißen zueinander ''kollinear'', wenn es eine reelle Zahl <math>\lambda</math> gibt, so dass
:<math>\vec a = \lambda\cdot \vec b \quad</math> oder <math>\quad \vec b = \lambda\cdot \vec a</math>.

Äquivalent hierzu ist die lineare Abhängigkeit von <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math>, das heißt die Existenz von reellen Zahlen <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, die nicht beide gleich null sind, so dass gilt:<ref>{{Literatur |Autor=Christa Dürr und andere |Titel=Analytische Geometrie Leistungskurs |Verlag=Volk und Wissen Verlag |Ort=Berlin |Datum=1998 |ISBN=3-06-001173-7 |Seiten=56}}</ref>

:<math>\alpha \vec a + \beta \vec b = \vec 0</math>.

Die Kollinearität für Vektoren im Raum lässt sich auch mithilfe des [[Kreuzprodukt]]s ausdrücken als<ref>{{Literatur |Autor=I. N. Bronschtein, K. A. Semendjajew |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=5. |Verlag=Verlag Harri Deutsch |Datum=2001 |ISBN=3-8171-2005-2 |Seiten=190}}</ref>

:<math>\vec a \times \vec b = \vec 0</math>.

Lässt man die beiden Vektoren am Koordinatenursprung beginnen, liegen beide auf einer Geraden, zeigen also beide in dieselbe (oder die exakt entgegengesetzte) Richtung und haben dabei im Allgemeinen verschiedene Längen.

Kollinearitätsuntersuchungen werden häufig bei der Untersuchung der Lagebeziehungen zwischen mehreren [[Gerade]]n durchgeführt. Geraden mit kollinearen Richtungsvektoren sind entweder identisch oder „echt“ [[parallel (Geometrie)|parallel]].<ref>{{Literatur |Autor=H. Krämer, R. Höwelmann, I. Klemisch |Titel=Analytische Geometrie und Lineare Algebra |Verlag=Verlag Moritz Diesterweg |Ort=Frankfurt am Main |Datum=1989 |ISBN=3-425-05301-9 |Seiten=69 - 73}}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Komplanarität]]
* [[Multikollinearität]]

== Literatur ==

* Jens Kunath: ''Analytische Geometrie und Lineare Algebra zwischen Abitur und Studium I''. 2. Auflage, Springer Spektrum, Berlin 2023, ISBN 978-3-662-67811-4, S. 100–104.

== Weblinks ==

{{Commonscat|Collinearity|Kollinearität}}
* {{MathWorld|id=Collinear|title=Collinear}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Kollinearitat}}
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Analytische Geometrie]]