Quelltext der Seite Lemma von Lax-Milgram

Das '''Lemma von Lax-Milgram''', auch '''Satz von Lax-Milgram''', ist eine Aussage der [[Funktionalanalysis]], einem Teilgebiet der Mathematik, die nach [[Peter Lax]] und [[Arthur Milgram]] benannt ist. Diese beiden Mathematiker bewiesen 1954 eine erste Version dieses Lemmas, welches die Aussage des [[Darstellungssatz von Fréchet-Riesz|Darstellungssatzes von Fréchet-Riesz]] auf stetige [[Sesquilinearform]]en verallgemeinert. Eine allgemeinere Version des Lemmas wurde von [[Ivo Babuška]] bewiesen, weshalb diese Aussage auch als '''Satz von Babuška–Lax–Milgram''' bekannt ist. Anwendung finden diese Aussagen in der Theorie der [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]]. Mit ihrer Hilfe können Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen über Lösungen von partiellen Differentialgleichungen gemacht werden.

== Formulierung ==
=== Voraussetzungen ===
Es sei <math>\left(H, \langle\cdot , \cdot\rangle\right)</math> ein [[Hilbertraum]] über <math>\mathbb K \in \{\mathbb R, \mathbb C\}</math> und es sei <math>B: H \times H \to \mathbb K</math> eine [[Sesquilinearform]]. Zudem gelte eine der folgenden, äquivalenten Bedingungen:
* <math>B</math> ist stetig
* Es gibt eine Konstante <math>M > 0</math> mit
*:<math>|B(x,y)| \leq M\|x\|\|y\|, \quad \forall \, x,y \in H,</math>
* <math>y \mapsto B(x,y)</math> ist stetig für alle <math>x \in H</math> und <math>x \mapsto B(x,y)</math> ist stetig für alle <math>y \in H</math>

=== Aussage ===
Sind die obigen Voraussetzungen erfüllt, dann existiert genau ein [[Stetige Funktion|stetiger]], [[Lineare Abbildung|linearer]] Operator <math>T\colon H \to H</math>, der die Gleichung
:<math>B(x,y) = \left\langle Tx, y \right\rangle</math>
für alle <math>x,y \in H</math> erfüllt. Ferner gilt: Die Norm von <math>T</math> ist durch <math>M</math> beschränkt.

=== Spezialfall: Koerzitive Sesquilinearform ===
Ist die Sesquilinearform <math>B</math> zudem [[koerzitiv]] (häufig auch als stark positiv oder elliptisch bezeichnet), d.&nbsp;h. gibt es <math>m > 0</math>,  so dass
: <math>B(x,x) \geq m\|x\|^2, \quad \forall x \in H,</math>
gilt, dann ist <math>T</math> invertierbar mit <math>\left\|T^{-1}\right\| \leq 1/m</math>.

== Anwendung auf elliptische Differentialgleichungen ==
Zur Anwendung kommt das Lemma von Lax-Milgram in der Theorie der [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]]. Insbesondere lassen sich für lineare Differentialgleichungen Existenz und Eindeutigkeit einer schwachen Lösung zeigen, falls obige Bedingungen erfüllt sind. Dies wird nun am Beispiel einer [[Elliptische partielle Differentialgleichung|gleichmäßig elliptischen Differentialgleichung]] zweiter Ordnung illustriert.

Sei
:<math>Pu := - \sum_{i=1}^n \partial_i \left(\sum_{j=1}^n a_{ij} \partial_j u + h_i\right) + bu</math>
ein gleichmäßig elliptischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Das heißt, es gilt <math>a_{ij}, h_i \in C^1(\Omega)</math> für <math>i , j = 1 , \ldots , n</math>, <math>b \in L^\infty(\Omega)</math> mit <math>b \geq 0</math> und es existiert ein <math>c_0 > 0</math>, so dass das [[Hauptsymbol]] für alle <math>x \in \Omega</math> und alle <math>\xi \in \R^n</math> die Ungleichung
:<math>\sum_{i,j}^na_{ij}(x) \xi_i \xi_j \geq c_0 |\xi|^2</math>
erfüllt. Mit Hilfe des Lemmas von Lax-Milgram kann man nun zeigen, dass die [[Schwache Ableitung|schwache Formulierung]] des [[Dirichlet-Randbedingung|Dirichlet-Randproblems]]
:<math>\left.\begin{array}{cc}
Pu = f & \text{in}\ \Omega\\
u = 0 & \text{auf}\ \partial \Omega
\end{array}\right\}</math>
genau eine Lösung im [[Sobolev-Raum]] <math>u \in H^1_0(\Omega)</math> für <math>f \in L^\infty(\Omega)</math> besitzt. Das heißt, man betrachtet für alle [[Testfunktion]]en <math>\phi \in C^\infty_c(\Omega)</math> die Gleichung
:<math>
\int_\Omega f(x) \phi(x) \mathrm{d} x = \int_\Omega - \sum_{i=1}^n \partial_i \left(\sum_{j=1}^n a_{ij}(x) \partial_j u(x) + h_i(x)\right) \phi(x) + b(x) u(x) \phi(x) \mathrm{d} x .
</math>
[[Partielle Integration]] der rechten Seite der Gleichung liefert
:<math>
\int_\Omega f(x) \phi(x) \mathrm{d} x = \int_\Omega \sum_{i=1}^n \partial_i \phi(x) \cdot  \left(\sum_{j=1}^n a_{ij}(x) \partial_j u(x) + h_i(x)\right) \mathrm{d} x + \int_\Omega b(x) u(x) \phi(x) \mathrm{d} x .
</math>
Setzt man nun
:<math>a(u,v) :=  \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \int_\Omega \partial_i u(x) \cdot a_{ij}(x) \partial_j v(x) \mathrm{d} x + \int_\Omega u(x) b(x) v(x) \mathrm{d} x </math>
so erhält man eine reellwertige [[Bilinearform]], deren Stetigkeit man mit Hilfe der [[Hölder-Ungleichung]] zeigen kann. Die Form <math>a</math> ist auch koerzitiv, was aus der Bedingung <math>\textstyle \sum_{i,j}^na_{ij}(x) \xi_i \xi_j \geq c_0 |\xi|^2</math> folgt. Daher erfüllt die Bilinearform <math>a</math> die Voraussetzungen des Lemmas von Lax-Milgram. Man sucht nun also eine Lösung der Gleichung
:<math>
a(u,v) = F(v),
</math>
wobei
:<math>
F(v) := - \int_{\Omega} \sum_{i = 1}^n \partial_i v(x) h_i(x) + v(x)f(x) \mathrm{d} x.
</math>

Da der Ausdruck <math>v \mapsto F(v)</math> linear und stetig ist, also ein Element des [[Dualraum]]s <math>(H^{1}_0(\Omega))'</math> ist, kann man den [[Darstellungssatz von Fréchet-Riesz]] anwenden und erhält genau ein <math>q \in H^1_0(\Omega)</math>, so dass <math>\textstyle F(v) = \langle v , q\rangle_{H^1(\Omega)}</math> für alle <math>v \in H^1_0(\Omega)</math> gilt. Und aufgrund des Lemmas von Lax-Milgram hat die Gleichung
:<math>a(v,u) = \langle v, q\rangle_{H^1(\Omega)}</math>

für alle <math>v \in H^1_0(\Omega)</math> genau eine Lösung <math>u \in H^1_0(\Omega)</math>.

Auf ähnliche Weise kann man auch die Existenz und Eindeutigkeit bei [[Neumann-Randbedingung]]en zeigen.

== Satz von Babuška–Lax–Milgram ==
Eine Verallgemeinerung des Lemmas von Lax-Milgram ist der Satz von Babuška–Lax–Milgram. Diese wurde 1971 von [[Ivo Babuška]] bewiesen.

Seien <math>U</math> und <math>V</math> zwei Hilberträume und sei <math>B \colon U \times V \to \R</math> eine stetige [[Bilinearform]]. Sei außerdem <math>B</math> schwach koerzitiv, das heißt, es existiert ein <math>c > 0</math>, so dass
:<math>\forall u \in U: \quad \sup_{\|v\|\leq 1} |B(u,v)| \geq c\|u\|</math>
und
:<math>\forall v \in V \setminus \{0\}: \quad \sup_{u \in U}|B(u,v)| > 0</math>
gilt. Dann existiert genau ein stetiger, linearer Operator <math>T \colon U \to V</math>, der die Gleichung
:<math>B(u,v) = \langle Tu, v \rangle </math>
für alle <math>u \in U</math> und <math>v \in V</math> erfüllt und für die Operatornorm gilt die Ungleichung <math>\|T^{-1}\| \leq \tfrac{\|f\|}{c}</math>. Mit anderen Worten existiert genau eine Lösung <math>u</math> für Gleichungen <math>B(u,v) = \langle f, v \rangle,\, v\in V </math> .

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Hans Wilhelm Alt |Titel=Lineare Funktionalanalysis |Auflage=5. |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg, New York |Datum=2006 |ISBN=978-3-540-34186-4}}
* {{EoM
| Titel = Lax–Milgram lemma
| Autor = I. Roşca
| id = Lax-Milgram_lemma
}}
* {{EoM
| Titel = Babuška–Lax–Milgram theorem
| Autor = I. Roşca
| id = Babuska-Lax-Milgram_theorem
}}

== Weblinks ==
* {{Internetquelle |autor=François Clément, Vincent Martin |url=https://arxiv.org/pdf/1607.03618.pdf |titel=The Lax–Milgram Theorem. A detailed proof to be formalized in Coq|datum=2016-07|abruf=2022-01-14|abruf-verborgen=ja|sprache=en|format=pdf}}

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Lax-Milgram]]