Quelltext der Seite Logische Verknüpfung

Eine '''Logische Verknüpfung''' ist eine Operation der [[Boolesche Algebra|Booleschen Algebra]]. Mit Hilfe der logischen Verknüpfungen lassen sich in der [[Aussagenlogik]] und [[Schaltalgebra]] aus einfacheren [[Logische Aussage|Aussagen]] kompliziertere Aussagen zusammensetzen. Dabei muss der [[Wahrheitswert]] der zusammengesetzten Aussage durch die Wahrheitswerte der enthaltenen einfacheren Aussagen eindeutig bestimmt sein, beispielsweise durch eine [[Wahrheitstabelle]] (Wahrheitstafel). Eine Wahrheitstabelle ist die Definition einer logischen Verknüpfung. Mehrere Eingangssignale (1, 2, 3 oder mehr) werden mittels logischer Verknüpfung zu einem Ausgangssignal (auch 2 oder mehr Ausgangssignale sind möglich) zusammengesetzt. Die logische Verknüpfung definiert die Gesetzmäßigkeiten und logische Zusammenhänge zwischen Eingangssignal und Ausgangssignal.

== Verknüpfungsarten ==
Logische Verknüpfungen werden auch Satzoperatoren genannt. Die Operatoren der logischen Verknüpfung werden '''Boolesche Operatoren''' genannt. Wichtige zweistellige logische Verknüpfungen sind [[Konjunktion (Logik)|Konjunktion]], [[Disjunktion]], [[Implikation]] und [[Logische Äquivalenz|Äquivalenz]]. In der [[Digitaltechnik]] sind AND, OR, NOT, NOR und NAND die gängigsten logischen Grundschaltungen.

[[Datei:Logische Verknuepfung A.svg|mini|400px|Bild 1 – die ersten 8 logischen Verknüpfungen; A und B sind die Eingänge (auch als E<sub>1</sub> und E<sub>2</sub> bezeichnet oder als x<sub>0</sub> und x<sub>1</sub>), die nummerierten Spalten sind die Ausgänge der verschiedenen logischen Verknüpfungen (auch als A bezeichnet oder als y);<br />
1. Kontradiktion<br />
2. Konjunktion (AND-Verknüpfung)<br />
3. Inhibition (AND-Verknüpfung mit Eingangsnegation)<br />
4. Identität von a<br />
5. Inhibition (AND-Verknüpfung mit Eingangsnegation)<br />
6. Identität von b<br />
7. Antivalenz (XOR-Verknüpfung)<br />
8. Disjunktion (OR-Verknüpfung)]]
[[Datei:Logische Verknuepfung B.svg|mini|400px|Bild 2 – die letzten 8 logischen Verknüpfungen; die Spalte 9 bis 16 stellt die Definition der jeweiligen logischen Verknüpfung dar;<br />
9. Peirce-Funktion (NOR-Verknüpfung)<br />
10. Äquivalenz (NXOR-Verknüpfung)<br />
11. Negation von b<br />
12. Implikation aus b (OR-Verknüpfung mit Eingangsnegation)<br />
13. Negation von a<br />
14. Implikation aus a (OR-Verknüpfung mit Eingangsnegation)<br />
15. Sheffer-Funktion (NAND-Verknüpfung)<br />
16. Tautologie]]

In [[Analogieschluss|Analogie]] zum [[Verknüpfung (Mathematik)|mathematischen Verknüpfungsbegriff]] spricht man von [[Einstellige Verknüpfung|einstelligen]] (Bild 5) und [[Zweistellige Verknüpfung|zweistelligen]] (Bild 1 und 2) Verknüpfungen – je nachdem, wie viele Aussagen zusammengesetzt werden. Höherstellige Verknüpfungen (beispielsweise dreistellige Verknüpfung – [[#Abb.3st|Bilder]]) sind hier von untergeordneter Bedeutung, weil sie sich durch ein- und zweistellige Verknüpfungen ausdrücken lassen. Die [[Symbol]]e, mit denen die logischen Verknüpfungen ausgedrückt werden, nennt man [[Junktor]]en.

Unter den einstelligen logischen Verknüpfungen gibt es nur eine nicht-triviale, nämlich die [[Negation]].

Praktische Anwendung finden die logischen Verknüpfungen unter anderem als Suchoperatoren bei Datenbanken, Anfragen an Suchmaschinen und in der [[Digitaltechnik]]. Die praktische Realisierung von logischen Verknüpfungen in der Digitaltechnik erfolgt durch logische Schaltungen. Logische Verknüpfungen sind die Grundelemente der Digitaltechnik – unter anderem beim Schaltungsentwurf oder in der digitalen Steuerungstechnik.

Eine weitere praktische Anwendung der logischen Verknüpfungen besteht bei [[Höhere Programmiersprache|höheren Programmiersprachen]], die meistens nur die Verknüpfungen AND, OR und NOT kennen, so dass die anderen logischen Verknüpfungen aus diesen drei Bausteinen konstruiert werden müssen. Programmiersprachen arbeiten nur mit zweistelligen logischen Ausdrücken. Mehrstellige logische Ausdrücke müssen ebenfalls durch Kombination mehrerer zweistelliger logischer Ausdrücke gebildet werden.

Die [[Definitionsmenge]] und die [[Zielmenge]] der logischen Verknüpfung sind jeweils W={w, f}, wobei ‚w‘ für ''wahr'' steht und ‚f‘ für ''falsch''. Andere Schreibweisen sind:
* W={1, 0},
* W={WAHR, FALSCH},
* W={TRUE, FALSE}.

== Zweistellige logische Verknüpfung ==

Wenn man zwei logische Variablen miteinander kombiniert, dann sind insgesamt 16 verschiedene Ergebnisse möglich. Eine Funktionstabelle mit zweistelligen logischen (Bild 1) Verknüpfungen (2 Eingänge) hat insgesamt vier Zeilen, also vier verschiedene Kombinationsmöglichkeiten der Eingangssignale. Folglich sind 16 verschiedene Ergebnisse möglich (2<sup>4</sup> = 16) – Bild 1 und 2. Jede der 16 möglichen zweiwertigen Verknüpfungen hat einen Namen. Es gibt 16 mögliche zweistellige Operatoren.

Die Spalten 1 bis 8 (Bild 1) stellen symmetrisch die Negationen der Spalten 9 bis 16 (Bild 2) dar.
In den übrigen Bildern wird in der Mitte oben das logische Schaltsymbol nach [[Euronorm|EN]] 60617-12 dargestellt, rechts die elektrische Schaltung und in der Mitte unten die [[Wahrheitstabelle]]; links unten befindet sich das [[Karnaugh-Veitch-Diagramm]], links oben sind die [[disjunktive Normalform]], die [[konjunktive Normalform]] und ggf. eine weitere [[Normalform]] abgebildet.

In der Digitaltechnik wird die Funktion logischer Verknüpfungen durch [[Logikgatter]] realisiert; im Artikel [[Logikgatter]] sind auch die anderen gebräuchlichen Schaltsymbole dargestellt.

{| class="wikitable zebra hintergrundfarbe5" style="width:90%; margin-left:5%; border-spacing:1em; border-collapse:separate; padding:0.5em;"
|+ Binäre Verknüpfungen
|-
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{{Anker|Tautologie}}
[[Datei:Logische Verknuepfung TRUE.svg|mini|zentriert|hochkant=1.5|Bild 1, Spalte 16:<br />TRUE (unabhängig von der Eingabe ist das Ergebnis immer „Eins“) – [[Tautologie (Logik)|Tautologie]] – eine Tautologie wird in jedem Fall wahr. Es gibt unendlich viel Tautologien – beispielsweise: A OR NOT A.]]
|
{{Anker|Kontradiktion}}
[[Datei:Logische Verknuepfung FALSE.svg|mini|zentriert|hochkant=1.5|Bild 1, Spalte 1:<br />FALSE (unabhängig von der Eingabe ist das Ergebnis immer Null) – [[Kontradiktion]]]]
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{{Anker|Identität A}}
[[Datei:Logische Verknuepfung Identitaet A.svg|mini|zentriert|hochkant=1.5|Bild 1, Spalte 4:<br />[[Identität]] – Der Ausgang ist 1, wenn der Eingang A eine 1 ist]]
|
{{Anker|Identität B}}
[[Datei:Logische Verknuepfung Identitaet B.svg|mini|zentriert|hochkant=1.5|Bild 1, Spalte 6:<br />[[Identität]] – Der Ausgang ist 1, wenn der Eingang B eine 1 ist]]
|-
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{{Anker|Negation A}}
[[Datei:Logische Verknuepfung NOT A.svg|mini|zentriert|hochkant=1.5|Bild 1, Spalte 13:<br />[[Negation]] von A.]]
|
{{Anker|NOT B}}
[[Datei:Logische Verknuepfung NOT B.svg|mini|zentriert|hochkant=1.5|Bild 1, Spalte 11:<br />[[Negation]] von B.]]
|-|
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{{Anker|Konjunktion}}
[[Datei:Logische Verknuepfung AND.svg|mini|zentriert|hochkant=1.5|Bild 1, Spalte 2:<br />[[Und-Gatter|AND]] ([[Konjunktion (Logik)|Konjunktion]]) – Der Ausgang ist 1, wenn alle Eingänge 1 sind.]]
|
{{Anker|NAND}}
[[Datei:Logische Verknuepfung NAND.svg|mini|zentriert|hochkant=1.5|Bild 1, Spalte 15:<br />[[NAND-Gatter|NAND]] ([[Shefferscher Strich]]) – NAND verhält sich umgekehrt zu AND]]
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{{Anker|Disjunktion}}
[[Datei:Logische Verknuepfung OR.svg|mini|zentriert|hochkant=1.5|Bild 1, Spalte 8:<br />[[Oder-Gatter|OR]] ([[Disjunktion]]) – Der Ausgang ist 1, wenn ein oder zwei Eingänge 1 sind – Es muss mindestens 1 Teilausdruck wahr sein, damit der ganze Ausdruck wahr ist.]]
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{{Anker|NOR}}
[[Datei:Logische Verknuepfung NOR.svg|mini|zentriert|hochkant=1.5|Bild 1, Spalte 9:<br />[[NOR-Gatter|NOR]] ([[Peirce-Funktion]]) – Kombination aus hintereinandergeschaltetem OR und NOT – Am Ausgang liegt 0 an, wenn an mindestens einem der Eingänge 1 anliegt. – NOR verhält sich umgekehrt zu OR.]]
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{{Anker|XOR}}
[[Datei:Logische Verknuepfung Antivalenz.svg|mini|zentriert|hochkant=1.5|Bild 1, Spalte 7:<br />[[XOR-Verknüpfung|XOR]] ([[Antivalenz]], exklusives OR) – Der Ausgang ist 1, wenn die Eingänge unterschiedlich sind. – Wenn beide Eingänge unterschiedliche Logikzustände haben, dann wird am Ausgang 1 ausgegeben. – Nur wenn genau ein Eingang 1 ist, ist der Ausgang 1.]]
|
{{Anker|XNOR}}
[[Datei:Logische Verknuepfung Aequivalenz.svg|mini|zentriert|hochkant=1.5|Bild 1, Spalte 10:<br />[[XNOR-Verknüpfung|XNOR]] ([[Logische Äquivalenz|Äquivalenz]]) – XNOR ist das Gegenteil von XOR, also eine Kombination aus hintereinandergeschaltetem XOR und NOT. – Wenn beide Eingänge identische Logikzustände haben, dann wird am Ausgang 1 ausgegeben.]]
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{{Anker|Inhibition A}}
[[Datei:Logische Verknuepfung Inhibition AB.svg|mini|zentriert|hochkant=1.5|Bild 1, Spalte 3:<br />[[Inhibition (Digitaltechnik)|Inhibition]] ([[Postsektion]]) (von A auf B) – Ein AND mit einem invertierten Eingang]]
|
{{Anker|Inhibition B}}
[[Datei:Logische Verknuepfung Inhibition BA.svg|mini|zentriert|hochkant=1.5|Bild 1, Spalte 5:<br />Inhibition ([[Präsektion]]) (von B auf A) – Ein AND mit einem invertierten Eingang]]
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{{Anker|Implikation A}}
[[Datei:Logische Verknuepfung Implikation AB.svg|mini|zentriert|hochkant=1.5|Bild 1, Spalte 14:<br />[[Subjunktion]] ([[Implikation]]) (von A auf B) – Wenn A falsch (0) ist oder B wahr (1) ist, dann ist das Ergebnis wahr.]]
|
{{Anker|Implikation B}}
[[Datei:Logische Verknuepfung Implikation.svg|mini|zentriert|hochkant=1.5|Bild 1, Spalte 12:<br />[[Subjunktion]] (Replikation) (von B auf A) – Wenn B falsch (0) ist oder A wahr (1) ist, dann ist das Ergebnis wahr.]]
|-
|}

* Die IEC 60617-12-Symbolik von XOR- und XNOR-Gatter ist vertauscht !!! XOR hat keine Negation am Ende der Verknüpfung.

=== Logische Verknüpfung in Computersprachen ===

Höhere Computersprachen, insbesondere [[C (Programmiersprache)|C]], [[C++]], [[C-Sharp|C#]], [[Java (Programmiersprache)|Java]] und [[PHP]], kennen die abgekürzte [[Auswertung (Informatik)|Auswertung]], die sogenannte [[Kurzschlussauswertung]], der [[Logischer Operator|logischen Operatoren]] für AND bzw. OR. Die abgekürzte Auswertung wird zur Optimierung der Laufzeit benutzt, sowie zur Vermeidung von Fehlern, die ohne die Abkürzung auftreten würden (z.&nbsp;B. <code>x == 0 || a/x == 2</code>). Der Operator <code>&&</code> (AND) bezeichnet die abgekürzte Auswertung der Konjunktion. Wenn bereits die erste Eingangsvariable FALSCH ist, dann muss die zweite nicht mehr näher betrachtet werden, da das Ergebnis bereits bekannt ist – es muss FALSCH sein. Soll auf die abgekürzte Auswertung verzichtet werden, dann wird der Operator <code>&</code> verwendet. Analog wird für die Disjunktion der Operator <code>||</code> (OR) für die abgekürzte Auswertung und der Operator <code>|</code> für die nicht abgekürzte Auswertung der ODER-Funktion verwendet. Bei der ODER-Funktion steht das Endergebnis WAHR bereits fest, wenn die erste Eingangsvariable WAHR ist. Die weitere Auswertung der logischen Verknüpfung kann dann abgebrochen werden. Es gibt durchaus Gründe wie Seiteneffekte oder die beabsichtigte Ausnahmebehandlung, die die Existenz der Operatoren für die unbedingte Auswertung beider Operanden rechtfertigen.

In [[Visual Basic .NET]] werden Kurzschlussauswertungen durch die besonderen [[Schlüsselwort (Programmierung)|Schlüsselwörter]] <code>AndAlso</code> bzw. <code>OrElse</code> erzeugt.

== Dreistellige logische Verknüpfung ==
{{Anker|Abb.3st}}
[[Datei:Logische Verknuepfung 3.png|mini|1, 2, 3, …, 8, …]]
[[Datei:Logische Verknuepfung 4.png|mini|…, 249, 250, …, 256]]

Bei drei Eingangsvariablen (A, B, C) gibt es 8 mögliche Kombinationen (die Tabelle hat 8 Zeilen). Es gibt 256 achtstellige Binärzahlen von 0000.0000 bis 1111.1111 (2<sup>8</sup> = 256). Folglich hat eine dreiwertige logische Verknüpfung 256 mögliche verschiedene Ergebnisse. Die wenigsten von ihnen haben einen allgemeinverbindlichen Namen. Die [[#Abb.3st|Abbildungen]] zeigen Anfang und Ende der 256 möglichen Kombinationen.

Obige Aussagen treffen nur für die [[Prinzip der Zweiwertigkeit|binäre Logik]] zu, in der also eine Aussage nur den Wert 0 oder 1 annehmen kann, nicht jedoch für [[Dreiwertige Logik|dreiwertige]] oder ähnliche [[mehrwertige Logik]]systeme.
{| class="wikitable" width="30%"
|+ Beispiel für eine dreistellige logische Verknüpfung:
|
{| class="wikitable center" style="margin-left: 10%; width: 80%;"
!width="20%"| A !!width="20%"| B !!width="20%"| C !!width="40%"| A*B*C
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| w
| w
| w
|style="background:#FFFFCC; padding-right:1em;"| f
|- style="background:#FF80C0"
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| f
| f
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|style="background:#FFFFCC"| f
|}
|-
|<small>Operator:(A ''AND'' B ''AND NOT''-C) ''OR'' (A ''AND NOT''-B ''AND'' C) ''OR'' (''NOT''-A ''AND NOT''-B ''AND'' C)</small>
|}
<div style="clear:both;"></div>

== Einstellige logische Verknüpfung ==
[[Datei:Logische Verknuepfung 5.png|mini|Einstellige Verknüpfung]]
Die Abbildung zeigt alle vier Möglichkeiten einer einstelligen logischen Verknüpfung.

== Mehrere logische Ausgänge ==
Weitere Variationsmöglichkeiten entstehen, wenn es statt eines Ergebnisses (bei logischen Digitalschaltungen: ein Ausgang) mehrere Ergebnisse (bei logischen Digitalschaltungen: mehrere Ausgänge) gibt – beispielsweise beim [[1-aus-n-Decoder]] (2 Eingänge, 4 Ausgänge) oder [[Volladdierer]] (3&nbsp;Eingänge, 2&nbsp;Ausgänge).

== Fuzzy-Logik ==

In der [[Fuzzy-Logik]] werden die logischen Operationen der Booleschen Algebra durch Fuzzy-Operationen ersetzt.

== Literatur ==
* Klaus Beuth: ''Digitaltechnik – Elektronik 4''. 12. Auflage. Vogel Fachbuchverlag, 2003, ISBN 3-8023-1958-3

[[Kategorie:Aussagenlogik]]
[[Kategorie:Boolesche Algebra]]
[[Kategorie:Schaltalgebra]]

[[he:פעולה בוליאנית]]
[[nl:Booleaanse operator]]