Quelltext der Seite Monge-Punkt

Der '''Monge-Punkt''' ist ein  [[Gegenstand]] der [[Raumgeometrie]]. Er ist nach dem französischen Mathematiker [[Gaspard Monge]] benannt, welcher diesen ausgezeichneten [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] des allgemeinen [[Tetraeder]]s  als erster beschrieben und durch den im Folgenden dargestellten '''Satz von Monge''' charakterisiert hat.<ref name="NAC_1">Nathan Altshiller-Court: ''Modern Pure Solid Geometry.'' 1964, S. 76, 340</ref><ref name="HS">Heinrich Schröter: ''Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter Ordnung als Erzeugnisse projektivischer Gebilde.'' 1880, S. 209</ref><ref name="HFT">H. F. Thompson: ''A Geometrical Proof of a Theorem connected with the Tetrahedron.'' 1908, S. 51</ref>

== Satz und Definition ==
: ''Gegeben sei ein Tetraeder <math> \mathcal{T} \subset  \R^3 </math> mit [[Polyeder|Kanten]] <math> a ,\,  b ,\, c ,\, d ,\, e ,\, f </math>. Für jede <math> \mathcal{T} </math>-Kante <math> x </math> sei <math> M(x)</math> der jeweilige  [[Mittelpunkt]] und  <math> x^' </math> die <math> x </math> gegenüberliegende <math> \mathcal{T} </math>-Kante. Durch <math> M(x)</math> liegt jeweils genau eine Ebene <math> \mathcal{E}(x) \subset  \R^3  </math> derart, dass <math> \mathcal{E}(x)</math> und <math> x^' </math> exakt [[Orthogonalität|senkrecht]] zueinander sind.''
:''Dafür gilt: ''
:''Der Durchschnitt <math>\textstyle \bigcap_{x = a, b, c, d, e, f} {\mathcal{E}(x)}</math> besteht aus genau einem Punkt <math> M({\mathcal{T}}) \in \mathcal{T} </math>.''

Dieser eindeutig bestimmte Punkt <math> M({\mathcal{T}}) \in \mathcal{T} </math> ist der Monge-Punkt von <math> \mathcal{T} </math>.

Die oben beschriebenen Ebenen <math> \mathcal{E}(x) \subset  \R^3 </math> &nbsp; <math> {(x = a, b, c, d, e, f)} </math> werden auch als '''Monge-Ebenen''' (engl. ''Monge planes'') bezeichnet.<ref name="NAC_3">Nathan Altshiller-Court: ''Modern Pure Solid Geometry.'' 1964, S. 77</ref> Mit diesen lässt sich der '''Satz von Monge''' in aller Kürze wie folgt wiedergeben:
:''In einem Tetraeder  <math> \mathcal{T} \subset  \R^3 </math>  schneiden sich die Monge-Ebenen in einem Punkt, nämlich im Monge-Punkt <math> M({\mathcal{T}}) \in \mathcal{T} </math>.''

== Der Satz von Mannheim ==
Zur Charakterisierung des Monge-Punkts lässt sich auch der folgende Satz heranziehen, welcher auf den französischen Mathematiker [[Amédée Mannheim]] zurückgeht:<ref name="NAC_2">Nathan Altshiller-Court: ''Modern Pure Solid Geometry.'' 1964, S. 78–79</ref>
: ''[[Verbindungsraum|Legt]] man in dem Tetraeder <math> \mathcal{T} </math> durch jede seiner vier [[Höhe (Geometrie)#Höhen weiterer geometrischer Objekte|Höhen]] sowie den [[Höhenschnittpunkt]] des der jeweiligen Höhe zugehörigen senkrecht stehenden Seitendreiecks die (eindeutig bestimmte!) Ebene, so haben die auf diese Weise gegebenen vier Ebenen den Monge-Punkt <math> M({\mathcal{T}})</math> als [[Schnittpunkt]].''

== Lage auf der Eulerschen Geraden ==
Im allgemeinen Tetraeder <math>  \mathcal{T} </math>  ist die [[Eulersche Gerade]] (engl. ''Euler line'') diejenige Gerade  <math> e(\mathcal{T}) \subset \R^3 </math>, welche den [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]] <math> S({\mathcal{T}}) </math> von <math>  \mathcal{T} </math>  und den [[Mittelpunkt#Beispiele in Koordinaten|Mittelpunkt]]  <math> Z({\mathcal{T}}) </math>  der [[Umkugel]] von <math>  \mathcal{T} </math>  verbindet. Der Monge-Punkt <math> M({\mathcal{T}}) </math>  erweist sich als derjenige ausgezeichnete Punkt des allgemeinen Tetraeders <math>  \mathcal{T} </math>, welcher in Bezug auf <math> S({\mathcal{T}}) </math> [[Symmetrie (Geometrie)#Punktsymmetrie|spiegelbildlich]] zum Punkte <math> Z({\mathcal{T}}) </math> auf  der Geraden <math> e(\mathcal{T}) </math> liegt. Anders gesagt: Der Monge-Punkt <math> M({\mathcal{T}}) </math>  liegt im allgemeinen Tetraeder <math>  \mathcal{T} </math> auf  der Geraden <math> e(\mathcal{T}) </math> jenseits von <math> S({\mathcal{T}}) </math> derart, dass <math> S({\mathcal{T}}) </math> der Mittelpunkt der [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] <math>\overline{{M({\mathcal{T}})}{Z({\mathcal{T}})}}</math> ist<ref name="NAC_3" /><ref name="HS" /><ref name="HE">Howard Eves: ''An Introduction to the History of Mathematics..'' 1983, S. 340</ref>.

== Literatur ==
=== Artikel ===
* {{Literatur
|Autor=[[H. F. Thompson]]
|Titel=A Geometrical Proof of a Theorem connected with the Tetrahedron
|Sammelwerk=Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. (Series I)
|Band=27
|Jahr=1908
|Seiten=51–53
}}

=== Monographien ===
* {{Literatur
|Autor=Nathan Altshiller-Court
|Titel=	Modern Pure Solid Geometry
|Verlag=Chelsea Publishing Company
|Auflage=2.
|Ort=Bronx, NY
|Jahr=1964
|OCLC=1597161
}}
* {{Literatur
|Autor=Howard Eves
|Titel=An Introduction to the History of Mathematics
|Verlag=Saunders College Publishing
|Auflage=5.
|Ort=Philadelphia [u.&nbsp;a.]
|Jahr=1983 
|ISBN=0-03-062064-3
}}
* {{Literatur|Autor=Heinrich Schröter
|Titel=Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter Ordnung als Erzeugnisse projektivischer Gebilde
|Verlag=Teubner
|Ort=Leipzig
|Jahr=1880
}}

== Einzelnachweise ==
<references />


[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Raumgeometrie]]
[[Kategorie:Gaspard Monge]]