Quelltext der Seite Nichteuklidische Geometrie

[[Datei:Noneuclid.svg|mini|In der hyperbolischen, der euklidischen und der elliptischen Geometrie stehen zwei Geraden, die mit einer Normalen verbunden sind, unterschiedlich zueinander.]]
Die '''nichteuklidischen Geometrien''' sind Spezialisierungen der [[Absolute Geometrie|absoluten Geometrie]]. Sie unterscheiden sich von der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]], die ebenfalls als eine Spezialisierung der absoluten Geometrie formuliert werden kann, dadurch, dass in ihnen das [[Parallelenaxiom]] ''nicht'' gilt.

[[Datei:Triangles (spherical geometry).jpg|mini|Auf einer Kugel ist die [[Winkelsumme]] eines Dreiecks im Allgemeinen nicht 180°. Die Oberfläche einer Kugel ist nicht [[Euklidischer Raum|euklidisch]], aber lokal sind die Gesetze der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]] eine gute Näherung. Zum Beispiel ist in einem kleinen Dreieck auf der Oberfläche der Erde die Winkelsumme eines Dreiecks ziemlich genau 180°.]]

== Geschichte ==
Die erste Publikation, die von zwei nebeneinander bestehenden Geometrien spricht, ist [[Thomas Reid]]s ''Inquiry into the Human Mind'' (1764).<ref>Wolfgang Breidert: '' Die nichteuklidische Geometrie bei Thomas Reid.'' in: Sudhoffs Archiv 58 (1973), S. 235–253. Norman Daniels, Thomas Reid’s Inquiry, New York 1974.</ref>

Die nichteuklidischen Geometrien entwickelten sich aber auch aus den jahrhundertelangen vergeblichen Versuchen, das [[Parallelenaxiom]]<ref>Für weitere Ausführungen zur Geschichte der nichteuklidischen Geometrie siehe den Artikel [[Parallelenaxiom]]</ref> der euklidischen Geometrie zu beweisen. Anfang des 19. Jahrhunderts stellten die Mathematiker [[János Bolyai]], [[Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski|Nikolai Lobatschewski]] und [[Carl Friedrich Gauß]] fest, dass die [[Raumgeometrie]] nicht unbedingt euklidisch sein muss, und begannen, eine nichteuklidische Geometrie zu entwickeln. Vorläuferarbeiten dazu hatten zuvor [[Ferdinand Karl Schweikart]], [[Franz Taurinus]], [[Giovanni Girolamo Saccheri]] und [[Johann Heinrich Lambert]] geliefert. Lobatschewski und Bolyai haben ihre Studien dazu in den Jahren 1829 und 1832 veröffentlicht, während Gauß seine diesbezüglichen Ergebnisse nicht publizierte.<ref>{{Literatur |Autor=B. A. Rosenfeld, I. M. Jaglom| Titel=Nichteuklidische Geometrie |TitelErg= In: Enzyklopädie der Elementarmathematik. Band V: Geometrie |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=11| Verlag= VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort= Berlin |Jahr= 1971 |ISBN= |Seiten= 396}}</ref><ref>Wie Rosenfeld und Jaglom in ihrem Enzyklopädieartikel auf S. 396 betonen, konnten weder Lobatschewski noch Gauß noch Bolyai einen strengen logischen Beweis für die Widerspruchsfreiheit der von ihnen untersuchten Geometrien vorlegen. Einen solchen lieferte zuerst [[Eugenio Beltrami]] im Jahre 1868 und kurze Zeit später [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] im Jahre 1870.</ref>

Zwischen 1818 und 1826 leitete Gauß die Hannoversche Landesvermessung und entwickelte dabei Verfahren mit erheblich gesteigerter Genauigkeit. Es wird heute mehrheitlich als Legende angesehen, er habe empirisch nach einer Krümmung des Raumes gesucht, indem er die Winkelsumme in einem Dreieck vermaß, das vom [[Brocken]] im [[Harz (Mittelgebirge)|Harz]], dem [[Inselsberg]] im [[Thüringer Wald]] und dem [[Hoher Hagen (Dransfeld)|Hohen Hagen]] bei [[Göttingen]] gebildet wird. Auch wenn die Möglichkeit, Gauß habe nach Abweichungen vom üblichen Wert der Winkelsumme von 180° gesucht, nicht mit letzter Konsequenz ausgeschlossen werden kann, hätte die Genauigkeit seiner Instrumente für den Nachweis der winzigen Krümmung des Raumes im Gravitationsfeld der Erde bei weitem nicht ausgereicht. Es ist auch heute noch nicht möglich.

Gauß’ Schüler [[Bernhard Riemann]] war es, der die [[Differentialgeometrie]] gekrümmter Räume entwickelte und 1854 vorstellte. Zu dieser Zeit erwartete niemand eine physikalische Relevanz dieses Themas. [[Tullio Levi-Civita]], [[Gregorio Ricci-Curbastro]] und [[Elwin Bruno Christoffel]] bauten die Differentialgeometrie weiter aus. [[Albert Einstein|Einstein]] fand in ihren Arbeiten eine Vielzahl an mathematischen Werkzeugen für seine [[allgemeine Relativitätstheorie]].

== Grundlagen ==
Entwickelt wurden die nichteuklidischen Geometrien nicht mit dem Anspruch, unsere Raumerfahrung zu präzisieren, sondern als [[Axiomensystem|axiomatische Theorien]] in der Auseinandersetzung mit dem [[Parallelenproblem]]. Die Existenz von [[Mathematisches Modell|Modellen]] für nichteuklidische Geometrien (z.&nbsp;B. von [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] und [[Henri Poincaré]]) beweist, dass das Parallelenaxiom [[Euklid]]s nicht aus den anderen Axiomen gefolgert werden kann und von ihnen unabhängig ist.

Man erhält nichteuklidische Geometrien, indem man das Parallelenaxiom aus dem Axiomensystem weglässt oder es abändert. Die grundlegenden Änderungsmöglichkeiten sind:
* ''Zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb der Geraden gibt es keine Parallele.'' Zwei verschiedene Geraden in einer Ebene schneiden einander also immer. Dies führt zu einer [[Elliptische Geometrie|elliptischen Geometrie]]. Ein anschauliches Modell einer zweidimensionalen elliptischen Geometrie ist die Geometrie auf einer [[Sphärische Trigonometrie#Kugeldreieck|Kugelfläche]]. Hier ist die Winkelsumme eines Dreiecks größer als 180°, der Umfang eines Kreises beträgt weniger als <math>2 \pi r</math> und der [[Flächeninhalt]] weniger als <math>\pi r^2</math>. In der elliptischen Geometrie gelten jedoch die Anordnungsaxiome nicht mehr unverändert.
* ''Zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb der Geraden gibt es mindestens zwei Parallelen.'' Hierbei können alle anderen Axiome gewahrt werden. Man erhält eine [[hyperbolische Geometrie]]. Sie kann durch die Modelle von Klein und Poincaré auf zwei Arten beschrieben werden. Im Kleinen (oder lokal) kann sie auf einer [[Sattelfläche]] konstanter Gaußscher Krümmung (der sogenannten [[Pseudosphäre]]) veranschaulicht werden. Die Winkelsumme eines Dreiecks ist nun kleiner als 180°, der Umfang eines Kreises beträgt mehr als <math>2 \pi r</math> und sein Flächeninhalt mehr als <math>\pi r^2</math>.

[[Datei:Hyperbolic triangle.svg|mini|Dreieck auf einer Sattelfläche ]]
Inzwischen spielt die nichteuklidische Geometrie eine wichtige Rolle in der [[Theoretische Physik|theoretischen Physik]] und der [[Kosmologie]]. Gemäß der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] weicht die Geometrie des Weltalls von der euklidischen ab, weil [[Gravitation|Schwerefelder]] den Raum „krümmen“. Ob die Geometrie des Universums „im Großen“ sphärisch (elliptisch), eben (euklidisch) oder hyperbolisch ist, gehört zu den großen aktuellen Fragen der Physik.

== Literatur ==
* [[Norbert A’Campo]], Athanase Papadopoulos, ''Notes on hyperbolic geometry''. In: Strasbourg Master class on Geometry, S.&nbsp;1–182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, 2012, ISBN 978-3-03719-105-7, [[doi:10.4171/105]].
* János Bolyai, (et al.): ''Non-euclidean geometries.'' Springer, New York 2006, ISBN 978-0-387-29554-1
* [[Julian L. Coolidge]]: ''The elements of non-Euclidean geometry.'' Cornell Univ. Library, Cornell 2008, ISBN 978-1-4297-0446-5
* [[Marvin J. Greenberg]]: ''Euclidean and non-Euclidean geometries – development and history.'' Freeman, New York 2008, ISBN 978-0-7167-9948-1
* {{Literatur |Autor=[[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] |Titel=Vorlesungen über nicht-euklidische Geometrie |Verlag=Julius Springer |Ort=Berlin |Datum=1928 |Umfang=XII, 326 |Online= [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN375534636?tify={%22view%22:%22info%22} online]}} Reprint {{Literatur |Autor=Felix Klein |Titel=dgl. |Verlag=VDM, Müller |Ort=Saarbrücken |Datum=2006 |ISBN=3836400979 |Umfang=XII, 326}}
* {{Literatur |Autor= Benno Klotzek |Titel=Euklidische und nichteuklidische Elementargeometrien |Auflage= 1. |Verlag= Harri Deutsch |Ort= Frankfurt am Main |Jahr= 2001 |ISBN= 3-8171-1583-0}}
* Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, Translator and Editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
* {{Literatur |Autor=[[Boris Abramowitsch Rosenfeld|B. A. Rosenfeld]], [[Isaak Moissejewitsch Jaglom|I. M. Jaglom]]| Titel=Nichteuklidische Geometrie |TitelErg= In: Enzyklopädie der Elementarmathematik. Band V: Geometrie. Redaktion: [[Pawel Sergejewitsch Alexandrow|P. S. Alexandroff]], [[Alexei Iwanowitsch Markuschewitsch|A. I. Markuschewitsch]], [[Alexander Jakowlewitsch Chintschin|A. J. Chintschin]] |Reihe=Hochschulbücher für Mathematik |BandReihe=11| Verlag= VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort= Berlin |Jahr= 1971 |ISBN= |Seiten= 386–469}}
* [[Boris Rosenfeld|Boris A. Rozenfel'd]]: ''A history of non-Euclidean geometry – evolution of the concept of a geometric space.'' Springer, New York 1988, ISBN 3-540-96458-4

== Weblinks ==
{{Commonscat|Non-Euclidean geometry|Nichteuklidische Geometrie}}

== Anmerkungen und Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4042073-5}}


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[[Kategorie:Absolute Geometrie]]
[[Kategorie:Geschichte der Mathematik]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]