Quelltext der Seite Normalenvektor

In der [[Geometrie]] ist ein '''Normalenvektor''', auch '''Normalvektor''', ein [[Vektor]], der [[Orthogonalität|orthogonal]] (d.&nbsp;h. rechtwinklig, senkrecht) auf einer [[Gerade]]n, [[Kurve (Mathematik)|Kurve]], [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], (gekrümmten) [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] oder einer [[Dimension (Mathematik)|höherdimensionalen]] Verallgemeinerung eines solchen Objekts steht. Eine Gerade mit diesem Vektor als [[Parameterform|Richtungsvektor]] heißt '''Normale.''' Ein '''Normaleneinheitsvektor''' oder eine '''Einheitsnormale''' ist ein Normalenvektor der Länge 1.

In diesem Artikel wird zunächst der Fall von Geraden in der Ebene und von Ebenen im dreidimensionalen Raum behandelt ([[Lineare Algebra]] und [[analytische Geometrie]]), dann der Fall von Kurven in der Ebene und von Flächen im Raum ([[Differentialgeometrie]]).

== Normalenvektoren von Geraden und Ebenen ==
=== Normale und Normalenvektor einer Geraden in der Ebene ===
[[Datei:Gerade normale.svg|mini|hochkant=1.0|Gerade mit Normalenvektoren und Einheitsnormalenvektoren]]
Ein Normalenvektor einer Geraden <math>g</math> in der Ebene ist ein vom [[Nullvektor]] verschiedener Vektor, der senkrecht auf dieser Geraden steht. Es handelt sich also um den Richtungsvektor einer Geraden, die senkrecht auf <math>g</math> steht, sprich einer ''Orthogonalen'' oder ''Normalen'' zu <math>g</math>.<ref name=":0">{{Literatur |Titel=Schülerduden – Die Mathematik II |Datum=1991 |Seiten=290}}</ref>

Zu jeder Geraden in der Ebene gibt es unendlich viele Normalenvektoren, die alle Vielfache voneinander sind. Sind also <math>\vec n_1 </math> und <math>\vec n_2</math> Normalenvektoren ein und derselben Geraden in der Ebene, so gilt <math>\vec n_2 = c \cdot \vec n_1</math> für ein <math>c \neq 0</math>. Somit existieren zu jeder Gerade in der Ebene auch unendlich viele [[Normalenform#Normalenform einer Geradengleichung|Normalengleichungen]]. Von den unendlich vielen Normalenvektoren gibt es jedoch nur zwei mit Länge eins, das heißt es gibt genau zwei Normaleneinheitsvektoren zu einer Geraden; diese sind jeweils Gegenvektoren voneinander.

==== Berechnung ====
Hat <math>g</math> die Parameterform <math>\vec x = \vec p + t \vec v</math> mit dem Richtungsvektor <math>\vec v = (a, b)</math>, so sind die beiden Vektoren <math>(-b, a)</math> und <math>(b, -a)</math> Normalenvektoren. Durchläuft man die Gerade in der Richtung von <math>\vec v</math>, so weist <math>(-b, a)</math> nach links und <math>(b, -a)</math> nach rechts.

Ist die Gerade in der [[Geradengleichung#Normalform oder Hauptform|Normalform]]  <math>y = mx + c</math>  gegeben, so ist der Vektor <math>(1, m)</math> ein Richtungsvektor der Geraden und <math>(-m, 1)</math> und <math>(m, -1)</math> sind Normalenvektoren. Für <math>m \ne 0</math> hat also jede Normale die Steigung <math>- 1/m</math>.
Ist <math>m = 0</math>, also <math>g</math> horizontal, so ist jede Normale vertikal, hat also eine Gleichung der Form <math>x = a</math>.

Ist die Gerade in der allgemeinen Form  <math>a x + b y = d</math>  gegeben, so ist <math>(a,b)</math> ein Normalenvektor.<ref name=":0" />

Aus einem Normalenvektor <math>\vec n</math> erhält man einen ''Normaleneinheitsvektor'' <math>\vec n_0</math>, indem man <math>\vec n</math> durch seine Länge ([[Norm (Mathematik)|Norm]], Betrag) dividiert:
:<math>\vec n_0 = \frac{1}{\|\vec n\|}\vec n</math>.
Der zweite Normaleneinheitsvektor <math>-\vec n_0</math> ergibt sich durch Multiplikation des obigen Normaleneinheitsvektors mit <math>-1</math>. Umgekehrt erhält man alle Normalenvektoren aus einem Normaleneinheitsvektor durch skalare Multiplikation.

[[Datei:Normalenvektor-Raumgerade.png|mini|Alle Normalenvektoren einer Raumgeraden liegen in einer Ebene.]]
=== Normalenvektor einer Geraden im Raum ===
Eine Gerade <math>g</math> im Raum ist typischerweise durch eine Parametergleichung <math>\vec x = \vec p + t \vec v</math> gegeben. Jeder Normalenvektor <math>\vec n \neq 0</math> von <math>g</math> erfüllt die Gleichung <math>\vec n \cdot \vec v = 0</math> bzw. in ausgeschriebener Form <math>n_1 v_1 + n_2 v_2 + n_3 v_3 =0</math>. Bei dieser Gleichung sind zwei der <math>n_i</math> frei wählbar und die dritte Zahl wird so angepasst, dass die Gleichung erfüllt ist. Die Menge der Normalenvektoren ist also zweidimensional, und das bedeutet geometrisch, dass die Normalenvektoren in einer Ebene liegen, die orthogonal zu <math>g</math> ist. Damit ist der Richtungsvektor der Geraden <math>\vec v</math> ein Normalenvektor dieser Ebene (siehe nächster Abschnitt).

=== Normale und Normalenvektor einer Ebene ===
[[Datei:Normal vectors2.svg|miniatur|Zwei Normalenvektoren auf einer Ebene]]

Ein Normalenvektor einer Ebene <math>E</math> im dreidimensionalen Raum ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, der senkrecht auf dieser Ebene steht. Es handelt sich also um den Richtungsvektor einer Geraden, die senkrecht auf <math>E</math> steht, sprich einer ''Orthogonalen'' oder ''Normalen'' zu <math>E</math>.<ref name=":1">{{Literatur |Titel=Schülerduden – Die Mathematik II |Datum=1991 |Seiten=292}}</ref>

Zu jeder Ebene gibt es unendlich viele Normalenvektoren, die alle als Vielfache auseinander hervorgehen. Sind also <math>\vec n_1 </math> und <math>\vec n_2</math> Normalenvektoren ein und derselben Ebene, so gilt <math>\vec n_2 = c \cdot \vec n_1</math> für ein <math>c \neq 0</math>. Somit existieren zu jeder Ebene auch unendlich viele [[Normalenform#Normalenform einer Ebenengleichung|Normalengleichungen]].<ref>{{Literatur |Titel=Analytische Geometrie: Lehrbuch für die Sekundarstufe II; Gymnasium. Leistungskurs |Auflage= |Verlag=Volk und Wissen |Ort=Berlin |Datum=2000 |ISBN=978-3-06-001173-5 |Seiten=184 |Abruf=}}</ref> Von den unendlich vielen Normalenvektoren gibt es jedoch nur zwei mit Länge eins, das heißt es gibt genau zwei Normaleneinheitsvektoren zu einer Ebene; diese sind jeweils Gegenvektoren voneinander.<ref>{{Literatur |Titel=Analytische Geometrie: Lehrbuch für die Sekundarstufe II; Gymnasium. Leistungskurs |Auflage= |Verlag=Volk und Wissen |Ort=Berlin |Datum=1998 |ISBN=978-3-06-001173-5 |Seiten=192 |Abruf=}}</ref>

==== Berechnung ====
Ist die Ebene durch die [[Allgemeine Koordinatenform#Allgemeine Koordinatenform einer Ebenengleichung|Koordinatengleichung]]
: <math>a x + b y + c z = d</math>
gegeben, so ist <math>(a,b,c)</math> ein Normalenvektor.<ref name=":1" /> Ist die Koordinatengleichung nach <math>z</math> aufgelöst,
: <math>z = a x + b y + c</math>,
so ist <math>(-a, -b, 1)</math> ein nach oben weisender und <math>(a, b, -1)</math> ein nach unten weisender Normalenvektor.

Ist <math>E</math> durch zwei aufspannende Vektoren <math>\vec u = (u_1, u_2, u_3)</math> und <math>\vec v = (v_1, v_2, v_3)</math> gegeben (Punkt-Richtungs-Form oder [[Parameterform]]), führt die Bedingung, dass der Normalenvektor <math>\vec n = (n_1, n_2, n_3)</math> senkrecht auf <math>\vec u</math> und <math>\vec v</math> steht, auf ein [[lineares Gleichungssystem]] für die Komponenten <math>n_1, n_2, n_3</math> von <math>\vec n</math>:
:<math>\begin{align} u_1 \, n_1 + u_2 \, n_2 + u_3 \, n_3 &= 0 \\ v_1 \, n_1 + v_2 \, n_2 + v_3 \, n_3 &= 0
\end{align}
</math>
Jede von <math>(0,0,0)</math> verschiedene Lösung liefert einen Normalenvektor.<ref name=":1" />

Eine andere Möglichkeit, Normalenvektoren zu bestimmen, bietet das [[Kreuzprodukt]]. Der Vektor
: <math>\vec u \times \vec v = \begin{pmatrix}
u_2 v_3 - u_3 v_2 \\
u_3 v_1 - u_1 v_3 \\
u_1 v_2 - u_2 v_1
\end{pmatrix} </math>
steht senkrecht auf <math>\vec u</math> und <math>\vec v</math> und damit auf der von
<math>\vec u</math> und <math> \vec v</math> aufgespannten Ebene.<ref>{{Literatur |Titel=Schülerduden – Die Mathematik II |Datum=1991 |Seiten=418}}</ref>

Wie im Fall der Gerade in der Ebene erhält man aus einem Normalenvektor einen Normaleneinheitsvektor, indem man ihn durch seine Länge dividiert, einen zweiten durch Multiplikation mit <math>-1</math> und alle andern Normalenvektoren durch Multiplikation mit reellen Zahlen ungleich null.

Eine Ebene wird durch einen Normalenvektor sowie einen auf der Ebene liegenden Punkt eindeutig bestimmt (siehe [[Normalenform]] und [[hessesche Normalform]]).<ref>{{Literatur |Titel=Schülerduden – Die Mathematik II |Datum=1991 |Seiten=90}}</ref>

== Normalenvektoren von Kurven und Flächen ==
=== Ebene Kurven ===
[[Datei:Normale normalenvektor2.svg|mini|hochkant=1.0|Ebene Kurve mit Normale, Tangente und Normalenvektoren]]
In der [[Analysis]] und in der [[Differentialgeometrie]] ist der Normalenvektor zu einer ebenen [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] (in einem bestimmten Punkt) ein Vektor, der auf dem [[Tangentialvektor]] in diesem Punkt orthogonal steht. Vorausgesetzt ist dabei, dass die Kurve glatt ist, also im betrachteten Bereich Tangenten besitzt. Die Gerade in Richtung des Normalenvektors durch diesen Punkt heißt ''Normale'', sie ist orthogonal zur [[Tangente]].<ref name=":2" />

==== Berechnung ====
Ist die Kurve als [[Funktionsgraph|Graph]] einer [[differenzierbar]]en [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f</math> gegeben, so hat die Tangente im Punkt <math>P = (x_0, f(x_0))</math> die Steigung <math>m_t = f'(x_0)\,</math>, die Steigung der Normalen beträgt also
:<math>m_n = -\frac 1{m_t} = - \frac 1 {f'(x_0)} \,.</math>

Die Normale im Punkt <math>P = (x_0, f(x_0))</math> ist dann durch die Gleichung
:<math>y = f(x_0) + m_n (x-x_0),</math>
also durch
:<math>y = f(x_0) - \frac 1{f'(x_0)} (x-x_0)</math>
gegeben.<ref name="md">''Normale'', ''Normalenform'', ''Normalenvektor''. ''Ebenengleichung'', ''Geradengleichung'' In: ''Schülerduden – Mathematik II''. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S.&nbsp;89–93, 154–156, 299–300</ref>

Ist die ebene Kurve in [[Parameterform]] gegeben, <math>c(t) = (x(t), y(t))</math>, so ist
<math>\dot c(t) = (\dot x(t), \dot y(t))</math> ein Tangentialvektor im Punkt <math>c(t)</math> und <math>(\dot y(t), -\dot x(t))</math> ein nach rechts weisender Normalenvektor.<ref name=":2">{{Literatur |Titel=Schülerduden – Die Mathematik II |Datum=1991 |Seiten=291}}</ref> Hier bezeichnet, wie in der Differentialgeometrie üblich, der Punkt die Ableitung nach dem Kurvenparameter.

[[Datei:Raumkurve normale gimp.png|mini|hochkant=1.0|Raumkurve mit zwei Normalenvektoren <math>\vec{n}_1</math>, <math>\vec{n}_2</math> und senkrechter Ebene im Punkt <math>P</math>]]

=== Kurven im Raum ===
Bei [[Raumkurve]]n bilden die Normalenvektoren in einem Punkt <math>P</math> (wie im Fall der Geraden im Raum) einen zweidimensionalen [[Untervektorraum]], den zugehörigen [[Affiner Unterraum|affinen Unterraum]] durch <math>P</math>. Es handelt sich dabei um die zur Kurve in <math>P</math> senkrechte Ebene. In der elementaren Differentialgeometrie wählt man einen [[Einheitsvektor]] aus, der in die Richtung zeigt, in die die Kurve gekrümmt ist. Diesen nennt man ''[[Frenetsche Formeln|Hauptnormalen(einheits)vektor]]'', siehe [[Frenetsche Formeln]].

=== Flächen im dreidimensionalen Raum ===
[[Datei:Normalenvektor.png|mini|Zur Veranschaulichung des Normalenvektors]]
[[Datei:Tangential ebene normale.png|mini|hochkant=1.0|Tangentialebene: <math>T</math> <br/>  Normale: <math> n</math> <br/> Normalenvektor: <math>\vec{n}=\vec{v_x} \times \vec{v_y}</math> <br/><math>\vec{v_x} = F_x(x,y)</math> <br/><math>\vec{v_y} = F_y(x,y)</math>]]
Entsprechend ist der Normalenvektor einer gekrümmten [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] in einem Punkt der Normalenvektor der [[Tangentialebene]] in diesem Punkt. Dieser Vektor wird auch als ''Flächennormale'' bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=Anita Kloss-Brandstätter |Titel=Mathematik für Ingenieur- und Naturwissenschaften |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2025 |ISBN=978-3-662-71090-6 |Seiten=235 |Abruf=}}</ref> Jedoch wird diese Bezeichnung in der Literatur für verschiedene eng miteinander verwandte Objekte verwendet: So kann sie auch für einen normierten Normalenvektor<ref>{{Literatur |Autor=[[Lothar Papula]] |Titel=Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3 |Auflage=8. |Verlag=Springer Vieweg |Ort=Wiesbaden |Datum=2024 |ISBN=978-3-658-45803-4 |Seiten=38 |Abruf=}}</ref> oder für die Gerade in Richtung des Normalenvektors stehen.<ref>{{Literatur |Autor=I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew |Titel=[[Taschenbuch der Mathematik]] |Auflage=5. |Verlag=Verlag Harri Deutsch |Ort=Thun / Frankfurt am Main |Datum=2001 |ISBN=978-3-8171-2005-5 |Seiten=253 |Abruf=}}</ref>

Ist die Fläche durch die [[Parameterdarstellung]]
:<math>F\colon U \subset \R^2 \to \R^3, \quad (u,v) \mapsto F(u,v)</math>
gegeben, so sind die beiden Vektoren
:<math>F_u(u,v) := \frac {\partial F} {\partial u}(u,v)</math> und <math>F_v(u,v) := \frac {\partial F} {\partial v}(u,v)</math>
Spannvektoren der Tangentialebene im Punkt <math>F(u,v)</math>. (Hier wird vorausgesetzt, dass die Fläche bei <math>(u,v)</math> [[Reguläre Fläche|regulär]] ist, also dass <math>F_u(u,v)</math> und <math>F_v(u,v)</math> [[linear unabhängig]] sind.) Ein Normalenvektor im Punkt <math>F(u,v)</math> ist ein Vektor, der senkrecht auf <math>F_u(u,v)</math> und <math>F_v(u,v)</math> steht, z. B. der durch das Kreuzprodukt gegebene und dann normierte ''Hauptnormalenvektor''
:<math>N(u,v) := \frac{F_u(u,v) \times F_v(u,v)}{\left|F_u(u,v) \times F_v(u,v)\right|}\,.</math>
Hier bezeichnen die senkrechten Striche die [[euklidische Norm]] des Vektors.<ref name="el"> Kurt Endl, [[Wolfgang_Luh]]: ''Analysis.'' Band 2. 7. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 375–387. </ref>

Ist die Fläche implizit durch eine Gleichung gegeben,
:<math>g(x,y,z) = 0</math>,
wobei <math>g \colon \R^3 \to \R</math> eine differenzierbare Funktion ist, so ist der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]]
:<math>\operatorname {grad} g(x,y,z) = \left(\frac{\partial g}{\partial x}(x,y,z), \frac{\partial g}{\partial y}(x,y,z), \frac{\partial g}{\partial z}(x,y,z)\right)</math>
ein Normalenvektor der Fläche im Punkt <math>(x,y,z)</math> (vorausgesetzt, dass er dort nicht verschwindet).

Ist die Fläche als Graph einer differenzierbaren Funktion <math>f \colon \R^2 \to \R</math> gegeben, so ist
:<math>\left(-\frac{\partial f}{\partial x}(x,y), -\frac{\partial f}{\partial y}(x,y), 1\right)</math>
ein nach oben weisender Normalenvektor im Punkt <math>p = (x,y, f(x,y))</math>. Dies erhält man, indem man verwendet, dass die Abbildung
<math>F(x,y) = (x,y,f(x,y))</math> eine Parametrisierung ist oder dass die Fläche durch die Gleichung
:<math>g(x,y,z) := z - f(x,y) = 0</math>
dargestellt wird.<ref name="md"/><ref name="el"/>

== Verallgemeinerungen ==
Der Begriff des Normalenvektors lässt sich verallgemeinern auf
# [[Affiner Unterraum|affine Unterräume]] (verallgemeinerte Ebenen) in euklidischen Räumen höherer [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] (insbesondere auf [[Hyperebene]]n),
# Flächen, [[Hyperfläche]]n und [[Untermannigfaltigkeit]]en in euklidischen Räumen höherer Dimension,
# Flächen, Hyperflächen und Untermannigfaltigkeiten von [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|Riemannschen Mannigfaltigkeiten]],
# Nichtglatte Objekte, wie konvexe Körper und [[rektifizierbare Menge]]n.

== Anwendungen ==
In der [[Analysis]] und [[Differentialgeometrie]] spielen Normalenvektoren eine zentrale Rolle bei der Berechnung von [[Flächeninhalt|Oberflächeninhalten]] und [[Oberflächenintegral]]en. Im Bereich der [[Computergrafik]] werden Normalenvektoren unter anderem genutzt, um festzustellen, ob eine Fläche dem Benutzer zugewandt ist oder nicht, um letztere von der Bildberechnung auszuschließen ([[Backface Culling|Back-Face Culling]]). Des Weiteren werden sie zur Berechnung von Lichteinfall und Reflexionen benötigt.

== Weblinks ==
*{{MathWorld |id=NormalVector|title=normal vector}}

== Literatur ==
*''Schülerduden – Die Mathematik II''. 3. Auflage. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus AG, Mannheim 1991. S. 290–293.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Analytische Geometrie]]
[[Kategorie:Elementare Differentialgeometrie]]