Quelltext der Seite Pfaffsche Determinante

In der [[Mathematik]] kann die [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] einer [[alternierende Matrix|alternierenden Matrix]] immer als das Quadrat eines [[Polynom]]s der Matrixeinträge geschrieben werden. Dieses Polynom wird die '''pfaffsche Determinante''' der Matrix genannt. Die pfaffsche Determinante ist nur für alternierende <math>(2n \times 2n)</math>-Matrizen nichtverschwindend. In diesem Fall ist sie ein Polynom vom Grad <math>n</math>.

== Definition ==

Sei <math>\Pi</math> die Menge aller [[Partition (Mengenlehre)|Partitionen]] von <math>\{1, 2, \ldots, 2n\}</math> in Paare. Es gibt <math>(2n - 1)!!</math> ([[Doppelfakultät]]) solcher Partitionen. Jedes Element <math>\alpha \in \Pi</math> kann in eindeutiger Weise als
:<math>\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}</math>
geschrieben werden mit <math>i_k < j_k</math> und <math>i_1 < i_2 < \ldots < i_n</math>. Sei

:<math>\pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix}</math>

die korrespondierende [[Symmetrische Gruppe|Permutation]] und sei
<math>\operatorname{sgn}(\alpha)</math> das [[Vorzeichen (Permutation)|Signum]] von <math>\pi</math>.

Sei <math>A = (a_{ij})</math> eine alternierende <math>(2n \times 2n)</math>-Matrix. Für jede wie oben geschriebene Partition <math>\alpha</math> setze

:<math> A_\alpha =\operatorname{sgn}(\alpha)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.</math>

Die pfaffsche Determinante <math>A</math> ist dann definiert als

:<math>\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha</math>.

Ist <math>m</math> ungerade, so wird die pfaffsche Determinante einer alternierenden <math>(m \times m)</math>-Matrix als Null definiert.

=== Alternative Definition ===

Man kann zu jeder alternierenden <math>(2n \times 2n)</math>-Matrix <math>A = (a_{ij})</math> einen [[Graßmann-Algebra|Bivektor]] assoziieren:

:<math>\omega=\sum_{i<j} a_{ij}\;e_i\wedge e_j</math>,

wobei <math>\{ e_1, e_2, \ldots , e_{2n} \}</math> die Standardbasis für <math>\R^{2n}</math> ist. Die pfaffsche Determinante ist definiert durch

:<math>\frac{1}{n!}\omega^n = \mbox{Pf}(A)\;e_1\wedge e_2\wedge\cdots\wedge e_{2n}</math>,

hierbei bezeichnet <math>\omega^n</math> das [[Keilprodukt]] von <math>n</math> Kopien von <math>\omega</math> mit sich selbst.

== Beispiele ==

:<math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{bmatrix}=a.</math>

:<math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0     & a & b & c \\ -a & 0 & d & e \\ -b &  -d & 0& f    \\-c &  -e & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.</math>

:<math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix}
0 & \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & & 0\\
-\lambda_1 & 0 & \omega_1 & 0 & & & \\
0 & -\omega_1 & 0 & \lambda_2 & & & \vdots \\
0 & 0 & -\lambda_2 & \ddots & \ddots & & \\
\vdots & & & \ddots & \ddots & \omega_{n-1} &\\
& & & & -\omega_{n-1} & 0 & \lambda_n\\
0 & & \cdots & & &-\lambda_n&0
\end{bmatrix} = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n.</math>

== Eigenschaften ==

Für eine alternierende <math>(2n \times 2n)</math>-Matrix <math>A</math> und eine beliebige <math>(2n \times 2n)</math>-Matrix <math>B</math> gilt

* <math>\mbox{Pf}(A)^2 = \det(A)</math>

* <math>\mbox{Pf}(BAB^T)= \det(B)\mbox{Pf}(A)</math>

* <math>\mbox{Pf}(\lambda A) = \lambda^n \mbox{Pf}(A)</math>

* <math>\mbox{Pf}(A^T) = (-1)^n\mbox{Pf}(A)</math>

* Für eine blockdiagonale Matrix

::<math>A_1\oplus A_2=\begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}</math>

: gilt <math>\mbox{Pf}(A_1 \oplus A_2) = \mbox{Pf}(A_1)\mbox{Pf}(A_2)</math>.

* Für eine beliebige  <math>(n \times n)</math>-Matrix <math>M</math> gilt:
::<math>\mbox{Pf}\begin{bmatrix} 0 & M \\ -M^T & 0 \end{bmatrix} = 
(-1)^{n(n-1)/2}\det M.</math>

== Anwendungen ==

Die pfaffsche Determinante ist ein invariantes Polynom einer alternierenden Matrix (Hinweis: Sie ist nicht invariant unter allgemeinen Basiswechseln, sondern nur unter [[orthogonale Gruppe|orthogonalen]] Transformationen). Als solche ist sie wichtig für die Theorie der [[Charakteristische Klasse|charakteristischen Klassen]]. (In diesem Zusammenhang wird sie auch als '''Euler-Polynom''' bezeichnet.) Sie kann insbesondere benutzt werden, um die [[Eulerklasse]] einer [[riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeit]] zu definieren. Diese wird in dem [[Satz von Gauß-Bonnet]] benutzt.

Die Anzahl der [[Paarung (Graphentheorie)|perfekten Paarungen]] in einem [[Planarer Graph|planaren Graphen]] ist gleich dem Absolutwert einer geeigneten pfaffschen Determinante, welche in polynomialer Zeit berechenbar ist. Dies ist insbesondere deshalb überraschend, weil das Problem für allgemeine Graphen sehr schwer ist ([[Sharp-P]]-vollständig). Das Ergebnis wird in der Physik benutzt, um die [[Zustandssumme]] des [[Ising-Modell]]s von [[Spinglas|Spingläsern]] zu berechnen; dabei ist der zugrundeliegende Graph planar. Vor Kurzem wurde sie auch benutzt, um effiziente Algorithmen für sonst scheinbar unlösbare Probleme zu entwickeln; dazu zählt die effiziente Simulation von bestimmten Typen der Quantenberechnungen.

== Geschichte ==

Der Begriff pfaffsche Determinante wurde von [[Arthur Cayley]] geprägt, der ihn 1852 benutzte: “The permutants of this class (from their connection with the researches of Pfaff on differential equations) I shall term ''Pfaffians''.” Dies geschah zu Ehren des deutschen Mathematikers [[Johann Friedrich Pfaff]].

== Siehe auch ==
* [[Invariantes Polynom]]

== Weblinks ==
* [https://planetmath.org/pfaffian Pfaffian at PlanetMath.org] (englisch)

[[Kategorie:Lineare Algebra]]