Quelltext der Seite Primelement

Der Begriff '''Primelement''' ist in der [[Kommutative Algebra|kommutativen Algebra]] eine Verallgemeinerung des Begriffs der [[Primzahl]] auf ''kommutative unitäre [[Ring (Algebra)|Ring]]e''.

== Definition ==
Ein Element <math>c</math> eines kommutativen unitären Ringes <math>(R, +, \cdot, 0, 1)</math> heißt ''Primelement'', falls <math>c</math> weder 0 noch eine [[Einheit (Mathematik)|Einheit]] ist und für alle <math>a,b \in R</math> gilt:  [[Teilbarkeit|Teilt]] <math>c</math> das Produkt <math>a \cdot b</math>, dann teilt <math>c</math> auch <math>a</math> oder <math>b</math>.<ref name="Hungerford136" details="Definition 3.3, S. 136">[[Thomas W. Hungerford]]: ''Algebra.'' 1. Auflage 1974, Nachdruck 2011, Springer-Verlag, ISBN 978-1-4612-6103-2, [[doi:10.1007/978-1-4612-6101-8]]</ref>

In Symbolnotation:  <math>c \mbox{ ist prim } \Leftrightarrow\ c \ne 0\ \land\ c \nmid 1\ \land\ \forall a, b \in R:\ c\mid (a \cdot b) \Rightarrow (c \mid a) \lor (c \mid b).</math>

Primelemente sind also diejenigen Elemente abgesehen von 0 und Einheiten, die, wenn sie in irgendeinem Produkt vorkommen, auch in mindestens einem der Faktoren vorkommen.<ref name="Bosch201">[[Siegfried Bosch]]: ''Algebra.'' 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, S. 201.</ref>

== Irreduzible Elemente ==
Eine andere Verallgemeinerung des Primzahlbegriffs sind [[Ringtheorie#Irreduzibilität|irreduzible]] Elemente, die dadurch definiert sind, dass sie keine Einheiten sind und nicht als Produkt von zwei Nicht-Einheiten dargestellt werden können<ref name="Hungerford136" details="Definition 3.3, S. 136"/>. Im Allgemeinen ist weder jedes Primelement irreduzibel noch jedes irreduzible Element prim (siehe [[#Beispiele|Beispiele]]). Aber in einem [[Integritätsring]] ist jedes Primelement irreduzibel<ref name="Hungerford136" details="Theorem 3.4 (iii), S. 136"/>, und in einem [[Faktorieller Ring|faktoriellen Ring]] ist auch umgekehrt jedes irreduzible Element prim.

== Sätze über Primelemente ==
* Ist <math>c</math> ein Primelement und <math>e</math> eine Einheit, so ist <math>c \cdot e</math> ebenfalls ein Primelement.<ref name="Hungerford136" details="Theorem 3.4 (v), S. 136"/>
* Eine Nichteinheit <math>c \ne 0</math> ist genau dann ein Primelement, wenn das [[Hauptideal]] <math>(c)</math> ein [[Primideal]] ist.<ref name="Hungerford136" details="vgl. Theorem 3.4 (i), S. 136"/>
* Ein [[Körper (Algebra)|Körper]] besteht nur aus der Null und Einheiten und enthält somit keine Primelemente.
* In einem faktoriellen Ring lässt sich jedes Element außer 0 bis auf Einheitsfaktoren und Reihenfolge eindeutig als Produkt von Primelementen darstellen.

== Beispiele ==
* Die Primelemente im Ring der [[ganze Zahl|ganzen Zahlen]] sind genau die [[Primzahl]]en (2, 3, 5, 7, 11, …) und ihre [[Gegenzahl]]en (−2, −3, −5, −7, −11, …).
* Die Primelemente im Ring der [[Gaußsche Zahl|Gaußschen Zahlen]] <math>\Z[i]</math> sind bis auf die Einheitsfaktoren <math>\pm 1, \pm i</math> genau die Primzahlen der Form <math>4 k + 3,\ k \in \Z</math> und die Elemente <math>a + b \cdot i,\ a, b \in \Z</math>, für die <math>a^2 + b^2</math> eine Primzahl ist, also sind beispielsweise <math>3,\,7,\,11,\,1 + i,\,2 + 3 i</math> Primelemente, nicht aber <math>2 = (1 + i) \cdot (1 - i)</math>, <math>5 = (2 + i) \cdot (2 - i)</math> oder <math>3 + i = (1 + i) \cdot (2 - i)</math> (zum Beweis siehe [[Pierre de Fermat|Fermats]] [[Zwei-Quadrate-Satz]]).
* Im Integritätsring <math>\Z[i\sqrt{5}]</math> (enthält alle Zahlen der Form <math>a + b \cdot i\sqrt{5}</math> mit <math>a, b \in \Z</math>) ist die Zahl 2 irreduzibel, aber nicht prim. Das ist so, weil 6 zwar von 2 geteilt wird, sich aber als Produkt <math>(1+i\sqrt{5})\cdot(1-i\sqrt{5})</math> schreiben lässt, wobei keiner der Faktoren durch 2 teilbar ist.
* Im [[Direktes Produkt#Direktes Produkt von Ringen, Vektorräumen und Moduln|Produktring]] <math>\Z\times\Z</math> ist <math>(1,0) = (1,0) \cdot (1,0)</math> ein Primelement, das nicht irreduzibel ist.
* Im Ring <math>\Z/6\Z</math> sind 2 und 4 wegen <math>\operatorname{ggT}(2,6)=2=\operatorname{ggT}(4,6)</math> keine [[Prime_Restklassengruppe|Einheiten]], daher ist <math>2\equiv 2\cdot 4 \pmod 6</math> nicht irreduzibel, aber <math>2\neq 0</math> ist prim<ref name="Hungerford136" details="Examples, S. 136"/>, da <math>2m\equiv ab \pmod 6</math> für <math>a,b,m\in\Z</math> wegen <math>6=2\cdot 3</math> direkt <math>2\mid a</math> oder <math>2\mid b</math> impliziert.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}

[[Kategorie:Algebra]]