Quelltext der Seite Quasi-Diedergruppe

In der Mathematik sind '''Quasi-Diedergruppen''' gewisse endliche [[nicht-abelsch]]e [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]]n der [[Ordnung einer Gruppe|Ordnung]] <math>2^n</math>, wobei <math>n \geq 4</math> ist. 

== Definition ==
Eine Quasi-Diedergruppe ist eine Gruppe, die von zwei Elementen <math>a</math> und <math>b</math> der Form 

:<math>\langle a, b \mid a^{2^{n-1}} = b^2 = 1, bab = a^{2^{n-2}-1} \rangle</math>

mit <math>n \geq 4</math> erzeugt wird.

== Anzahl Elemente ==
Aus <math>bab = a^{2^{n-2}-1}</math> folgt wegen <math>b^2=1</math>, dass <math>ba = a^{2^{n-2}-1}b</math>. Also kann jedes endliche Produkt der Erzeuger <math>a</math> und <math>b</math> der Quasi-Diedergruppe durch Anwendung dieser Regel auf die Form <math>a^ib^j</math> gebracht werden. Wegen <math>a^{2^{n-1}} = b^2 = 1</math> folgt:
:Die Quasi-Diedergruppe hat 2<sup>n</sup> Elemente: <math>\{1,a,a^2,\ldots, a^{2^{n-1}},b,ba,ba^2,\ldots,ba^{2^{n-1}}\}</math>

== Beispiel ==
Die kleinste Quasi-Diedergruppe hat die Ordnung <math>16</math> und wird von zwei Elementen <math>a</math> und <math>b</math> erzeugt, die die Gleichungen <math>a^8 = b^2 = 1</math> und <math>bab = a^3</math> erfüllen. Da <math>b^2=1</math>, folgt aus der letzten Gleichung nach Rechtsmultiplikation mit <math>b</math>, dass <math>ba = a^3b</math>. 
Also kann man in einer beliebigen Folge von <math>a</math>'s und <math>b</math>'s jedes vor einem <math>a</math> stehende <math>b</math> hinter das <math>a</math> bringen, wenn man dieses durch <math>a^3</math> ersetzt. Daraus folgt dann, dass alle Elemente dieser Gruppe von der Form <math>1,a,a^2,\ldots, a^7,b,ab,\ldots, a^7b</math> sind.
Ferner lassen sich mit obigen Gleichungen sämtliche Multiplikationen in der Gruppe bestimmen. Als Beispiel betrachten wir die beiden Produkte aus <math>a^2</math> und <math>a^3b</math>:
:<math>a^2\cdot a^3b = a^5b</math> &nbsp; &nbsp; (denn <math>a^2a^3=a^5</math>)
:<math>a^3b\cdot a^2 = a^3a^3ba = a^3a^3a^3b = a^9b = ab</math> &nbsp; &nbsp; (zweimal <math>b</math> nach rechts bringen und <math>a^8=1</math> verwenden)

Insgesamt erhalten wir die folgende Verknüpfungstafel
{| class="wikitable" align="center" style="text-align:center;"
! class="hintergrundfarbe6" | <math>\,\cdot</math>
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,1</math>
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a</math>
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^2</math>
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^3</math>
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^4</math>
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^5</math>
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^6</math>
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^7</math>
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,b</math>
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a b</math>
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^2 b</math>
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^3 b</math>
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^4 b</math>
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^5 b</math>
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^6 b</math>
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^7 b</math>
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,1</math>
| <math>\,1</math> || <math>\,a</math> || <math>\,a^2</math> || <math>\,a^3</math> || <math>\,a^4</math> || <math>\,a^5</math> || <math>\,a^6</math> || <math>\,a^7</math> || <math>\,b</math> || <math>\,a b</math> || <math>\,a^2 b</math> || <math>\,a^3 b</math> || <math>\,a^4 b</math> || <math>\,a^5 b</math> || <math>\,a^6 b</math> || <math>\,a^7 b</math>  
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a</math>
| <math>\,a</math> || <math>\,a^2</math> || <math>\,a^3</math> || <math>\,a^4</math> || <math>\,a^5</math> || <math>\,a^6</math> || <math>\,a^7</math> || <math>\,1</math> || <math>\,a b</math> || <math>\,a^2 b</math> || <math>\,a^3 b</math> || <math>\,a^4 b</math> || <math>\,a^5 b</math> || <math>\,a^6 b</math> || <math>\,a^7 b</math> || <math>\,b</math>  
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^2</math>
| <math>\,a^2</math> || <math>\,a^3</math> || <math>\,a^4</math> || <math>\,a^5</math> || <math>\,a^6</math> || <math>\,a^7</math> || <math>\,1</math> || <math>\,a</math> || <math>\,a^2 b</math> || <math>\,a^3 b</math> || <math>\,a^4 b</math> || <math>\,a^5 b</math> || <math>\,a^6 b</math> || <math>\,a^7 b</math> || <math>\,b</math> || <math>\,a b</math>  
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^3</math>
| <math>\,a^3</math> || <math>\,a^4</math> || <math>\,a^5</math> || <math>\,a^6</math> || <math>\,a^7</math> || <math>\,1</math> || <math>\,a</math> || <math>\,a^2</math> || <math>\,a^3 b</math> || <math>\,a^4 b</math> || <math>\,a^5 b</math> || <math>\,a^6 b</math> || <math>\,a^7 b</math> || <math>\,b</math> || <math>\,a b</math> || <math>\,a^2 b</math>  
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^4</math>
| <math>\,a^4</math> || <math>\,a^5</math> || <math>\,a^6</math> || <math>\,a^7</math> || <math>\,1</math> || <math>\,a</math> || <math>\,a^2</math> || <math>\,a^3</math> || <math>\,a^4 b</math> || <math>\,a^5 b</math> || <math>\,a^6 b</math> || <math>\,a^7 b</math> || <math>\,b</math> || <math>\,a b</math> || <math>\,a^2 b</math> || <math>\,a^3 b</math>  
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^5</math>
| <math>\,a^5</math> || <math>\,a^6</math> || <math>\,a^7</math> || <math>\,1</math> || <math>\,a</math> || <math>\,a^2</math> || <math>\,a^3</math> || <math>\,a^4</math> || <math>\,a^5 b</math> || <math>\,a^6 b</math> || <math>\,a^7 b</math> || <math>\,b</math> || <math>\,a b</math> || <math>\,a^2 b</math> || <math>\,a^3 b</math> || <math>\,a^4 b</math>  
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^6</math>
| <math>\,a^6</math> || <math>\,a^7</math> || <math>\,1</math> || <math>\,a</math> || <math>\,a^2</math> || <math>\,a^3</math> || <math>\,a^4</math> || <math>\,a^5</math> || <math>\,a^6 b</math> || <math>\,a^7 b</math> || <math>\,b</math> || <math>\,a b</math> || <math>\,a^2 b</math> || <math>\,a^3 b</math> || <math>\,a^4 b</math> || <math>\,a^5 b</math>  
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^7</math>
| <math>\,a^7</math> || <math>\,1</math> || <math>\,a</math> || <math>\,a^2</math> || <math>\,a^3</math> || <math>\,a^4</math> || <math>\,a^5</math> || <math>\,a^6</math> || <math>\,a^7 b</math> || <math>\,b</math> || <math>\,a b</math> || <math>\,a^2 b</math> || <math>\,a^3 b</math> || <math>\,a^4 b</math> || <math>\,a^5 b</math> || <math>\,a^6 b</math>  
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,b</math>
| <math>\,b</math> || <math>\,a^3 b</math> || <math>\,a^6 b</math> || <math>\,a b</math> || <math>\,a^4 b</math> || <math>\,a^7 b</math> || <math>\,a^2 b</math> || <math>\,a^5 b</math> || <math>\,1</math> || <math>\,a^3</math> || <math>\,a^6</math> || <math>\,a</math> || <math>\,a^4</math> || <math>\,a^7</math> || <math>\,a^2</math> || <math>\,a^5</math>  
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a b</math>
| <math>\,a b</math> || <math>\,a^4 b</math> || <math>\,a^7 b</math> || <math>\,a^2 b</math> || <math>\,a^5 b</math> || <math>\,b</math> || <math>\,a^3 b</math> || <math>\,a^6 b</math> || <math>\,a</math> || <math>\,a^4</math> || <math>\,a^7</math> || <math>\,a^2</math> || <math>\,a^5</math> || <math>\,1</math> || <math>\,a^3</math> || <math>\,a^6</math> 
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^2 b</math>
| <math>\,a^2 b</math> || <math>\,a^5 b</math> || <math>\,b</math> || <math>\,a^3 b</math> || <math>\,a^6 b</math> || <math>\,a b</math> || <math>\,a^4 b</math> || <math>\,a^7 b</math> || <math>\,a^2</math> || <math>\,a^5</math> || <math>\,1</math> || <math>\,a^3</math> || <math>\,a^6</math> || <math>\,a</math> || <math>\,a^4</math> || <math>\,a^7</math> 
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^3 b</math>
| <math>\,a^3 b</math> || <math>\,a^6 b</math> || <math>\,a b</math> || <math>\,a^4 b</math> || <math>\,a^7 b</math> || <math>\,a^2 b</math> || <math>\,a^5 b</math> || <math>\,b</math> || <math>\,a^3</math> || <math>\,a^6</math> || <math>\,a</math> || <math>\,a^4</math> || <math>\,a^7</math> || <math>\,a^2</math> || <math>\,a^5</math> || <math>\,1</math>  
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^4 b</math>
| <math>\,a^4 b</math> || <math>\,a^7 b</math> || <math>\,a^2 b</math> || <math>\,a^5 b</math> || <math>\,b</math> || <math>\,a^3 b</math> || <math>\,a^6 b</math> || <math>\,a b</math> || <math>\,a^4</math> || <math>\,a^7</math> || <math>\,a^2</math> || <math>\,a^5</math> || <math>\,1</math> || <math>\,a^3</math> || <math>\,a^6</math> || <math>\,a</math> 
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^5 b</math>
| <math>\,a^5 b</math> || <math>\,b</math> || <math>\,a^3 b</math> || <math>\,a^6 b</math> || <math>\,a b</math> || <math>\,a^4 b</math> || <math>\,a^7 b</math> || <math>\,a^2 b</math> || <math>\,a^5</math> || <math>\,1</math> || <math>\,a^3</math> || <math>\,a^6</math> || <math>\,a</math> || <math>\,a^4</math> || <math>\,a^7</math> || <math>\,a^2</math>  
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^6 b</math>
| <math>\,a^6 b</math> || <math>\,a b</math> || <math>\,a^4 b</math> || <math>\,a^7 b</math> || <math>\,a^2 b</math> || <math>\,a^5 b</math> || <math>\,b</math> || <math>\,a^3 b</math> || <math>\,a^6</math> || <math>\,a</math> || <math>\,a^4</math> || <math>\,a^7</math> || <math>\,a^2</math> || <math>\,a^5</math> || <math>\,1</math> || <math>\,a^3</math>  
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  <math>\,a^7 b</math>
| <math>\,a^7 b</math> || <math>\,a^2 b</math> || <math>\,a^5 b</math> || <math>\,b</math> || <math>\,a^3 b</math> || <math>\,a^6 b</math> || <math>\,a b</math> || <math>\,a^4 b</math> || <math>\,a^7</math> || <math>\,a^2</math> || <math>\,a^5</math> || <math>\,1</math> || <math>\,a^3</math> || <math>\,a^6</math> || <math>\,a</math> || <math>\,a^4</math>  
|-
|}

== Siehe auch ==
* [[Diedergruppe]]
* [[Liste kleiner Gruppen]]

== Literatur ==
* [[Bertram Huppert]]: ''Endliche Gruppen'' (= ''Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen.'' Bd. 134, {{ISSN|0072-7830}}). Band 1.  Springer, Berlin u. a. 1967, S. 90–93.

[[Kategorie:Endliche Gruppe]]