Quelltext der Seite Satz von Łoś

Der '''Satz von Łoś''', benannt nach dem polnischen Mathematiker [[Jerzy Łoś]], ist ein Satz aus der [[Modelltheorie]] aus dem Jahre 1955<ref>J. Łoś: ''Quelques remarques, théorèmes et problèmes sur les classes définissables d'algèbres'', Mathematical interpretation of formal systems, Herausgeber [[Luitzen_Egbertus_Jan_Brouwer|L.E.J. Brower]] et al., Amsterdam 1955, Seiten 98–113</ref>, der einen alternativen Zugang zum [[Kompaktheitssatz (Logik)|Kompaktheitssatz]] ermöglicht. Die Existenz von Modellen gewisser mathematischer Strukturen wird auf die Existenz von [[Ultrafilter]]n zurückgeführt.

== Begriffsbildungen ==
=== Boolesche Ausdehnung ===
Es sei <math>S</math> eine vorgegebene Signatur, das heißt eine Menge von nicht-logischen Symbolen, wie zum Beispiel <math>S=\{0,1,+,\cdot\}</math> zur Beschreibungen von [[Ring (Algebra)|Ringen]] oder [[Körpertheorie|Körpern]]. Weiter sei <math>(M_i)_{i\in I}</math> eine nicht-leere Familie von <math>S</math>-[[Struktur (erste Stufe)|Struktur]]en und <math>\prod_{i\in I}M_i</math> deren [[kartesisches Produkt]], das wir im Folgenden abkürzend mit <math>M</math> bezeichnen wollen.

Sei weiter <math>\varphi = \varphi(x_1,\ldots, x_n)</math> eine Formel der Sprache <math>L_I^S</math> der [[Prädikatenlogik erster Stufe]], deren freie Variable  unter den <math>x_1,\ldots,x_n</math> zu finden sind. Für jedes Tupel <math>(a_1(i),\ldots ,a_n(i))\in M_i^n</math> ist dann <math>\varphi(a_1(i),\ldots ,a_n(i))</math> eine Aussage, die auf <math>M_i</math> zutreffen kann oder nicht, das heißt, für die <math>M_i \vDash \varphi(a_1(i),\ldots ,a_n(i))</math> oder nicht. <math>M_i \vDash \varphi(a_1(i),\ldots ,a_n(i))</math> liest man als <math>M_i</math> ist Modell von <math>\varphi(a_1(i),\ldots ,a_n(i))</math>. Durch diese nicht ganz saubere aber übliche Schreibweise <math>\varphi(a_1(i),\ldots ,a_n(i))</math> soll angedeutet werden, dass die Elemente <math>a_1(i),\ldots ,a_n(i) \in M_i</math> an die Stelle der freien Variablen mit dem gleichen Index treten und damit eine Aussage im Modell <math>M_i</math> bilden.

Wir betrachten zu <math>\varphi = \varphi(x_1,\ldots, x_n)</math> nun ein Tupel <math>(a_1,\ldots a_n) : I\rightarrow M^n</math> und interessieren uns für die Menge aller Indizes, für die <math>M_i</math> ein Modell von <math>\varphi(a_1(i),\ldots ,a_n(i))</math> ist. Wir definieren daher

: <math>\|\varphi(a_1,\ldots, a_n)\|\,:=\,\{i\in I;\, M_i \vDash \varphi(a_1(i),\ldots, a_n(i))\}</math>

und nennen diese Menge die ''Boolesche Ausdehnung'' von <math>\varphi(a_1,\ldots, a_n)</math>.

=== Reduzierte Produkte ===
Zusätzlich zur oben beschriebenen Situation betrachten wir nun einen [[Filter (Mathematik)|Filter]] <math>F</math> auf der Indexmenge <math>I</math> und definieren
: <math>a\cong_F b\quad \Leftrightarrow\quad \{i\in I;\, a(i)=b(i)\} \in F</math>
für <math>a,b \in M</math>. Diese Menge ist nichts anderes als die Boolesche Ausdehnung <math>\|(x_1=x_2)(a,b)\|</math> der Formel <math>(x_1=x_2)</math> angewandt auf das Zweiertupel <math>(a,b): I\rightarrow M^2</math>.

Die Eigenschaften eines Filters zeigen, dass dadurch eine [[Äquivalenzrelation]] auf dem kartesischen Produkt der <math>M_i</math> definiert ist. Die [[Faktormenge (Mathematik)|Faktormenge]] nach dieser Äquivalenzrelation heißt das ''reduzierte Produkt'' zum Filter <math>F</math> und wird mit <math>M / F</math> bezeichnet<ref>Philipp Rothmaler: ''Einführung in die Modelltheorie'', Spektrum Akademischer Verlag 1995, ISBN 978-3-86025-461-5, Kapitel 4.1</ref>.

Durch die folgenden Festlegungen, deren Wohldefiniertheit zu zeigen ist, wird das reduzierte Produkt ebenfalls zu einer <math>S</math>-Struktur:

* <math>c^{M/F} := (c^{M_i})_{i\in I}/F</math> für jedes Konstantensymbol <math>c\in S</math>.

* <math>f^{M/F}(a_1/F,\ldots, a_n/F) := (f^{M_i}(a_1(i), \ldots, a_n(i)))_{i\in I}/F  </math> für jedes n-stellige Funktionssymbol <math>f\in S</math>.

* <math>R^{M/F}(a_1/F,\ldots, a_n/F)</math> genau dann, wenn <math>\{i\in I; R^{M_i}(a_1(i),\ldots,a_n(i))\} \in F</math> für jedes n-stellige Relationssymbol <math>R\in S</math>.

Ist speziell <math>F</math> ein [[Ultrafilter]], das heißt maximal unter allen Filtern auf <math>I</math>, so nennt man <math>M/F</math> das [[Ultraprodukt]] der <math>M_i</math> zum Ultrafilter <math>F</math>.

== Formulierung des Satzes ==
Der Satz von Łoś stellt ein Kriterium für die Gültigkeit von Formeln in Ultraprodukten bereit<ref>[[Thomas Jech]]: ''Set Theory'', Springer-Verlag (2003), ISBN 3-540-44085-2, Theorem 12.3</ref><ref>Philipp Rothmaler: ''Einführung in die Modelltheorie'', Spektrum Akademischer Verlag 1995, ISBN 978-3-86025-461-5, Satz 4.2.1</ref>:

Es sei <math>(M_i)_{i\in I}</math> eine nicht-leere Familie von <math>S</math>-Strukturen und <math>U</math> ein Ultrafilter auf <math>I</math>. Dann gilt
: <math>\prod_{i\in I}M_i/U \vDash \varphi(a_1/U,\ldots, a_n/U)</math> genau dann, wenn <math>\|\varphi(a_1,\ldots, a_n)\| \in U</math>
für alle Formeln <math>\varphi = \varphi(x_1,\ldots, x_n)</math> aus <math>L_I^S</math> und alle Tupel <math>(a_1,\ldots, a_n):I\rightarrow (\prod_{i\in I}M_i)^n</math>.

== Anwendungen ==
An zwei Beispielen sollen typische Anwendungen des Satzes von Łoś vorgestellt werden.

=== Kompaktheitssatz ===
Zum [[Kompaktheitssatz (Logik)|Kompaktheitssatz]] ist zu zeigen, dass eine Menge <math>\Phi</math> von Sätzen aus <math>L_I^S</math> bereits dann ein Modell hat, wenn für jede endliche Teilmenge von <math>\Phi</math> ein Modell gefunden werden kann. Um den Satz von Łoś in Anwendung zu bringen, betrachtet man als Indexmenge <math>I</math> die Menge alle endlichen Teilmengen von <math>\Phi</math> und zu jedem <math>i\in I</math> ein nach Voraussetzung existierendes Modell <math>M_i</math> von <math>i</math>. Die Obermengen der endlichen Durchschnitte der Mengen <math>\{j\in I; i\subset j\}</math> bilden einen Filter, der in einem Ultrafilter <math>U</math> enthalten ist. Aus dem Satz von Łoś folgt nun leicht, dass <math>\prod_{i\in I}M_i/U</math> ein Modell für <math>\Phi</math> ist.<ref>Philipp Rothmaler: ''Einführung in die Modelltheorie'', Spektrum Akademischer Verlag 1995, ISBN 978-3-86025-461-5, Satz 4.3.2</ref>

Dieser Beweis hat gegenüber [[Kurt Gödel|Gödels]] Beweis den Vorteil, dass auf die Verwendung des syntaktischen Ableitbarkeitsbegriffs (siehe [[Prädikatenlogik erster Stufe]]) und den [[Gödelscher Vollständigkeitssatz|Vollständigkeitssatz]] verzichtet werden kann. Dieses Vorgehen wird im unten angegebenen Lehrbuch von Philipp Rothmaler konsequent ausgeführt.

=== Ringtheorie ===
* Es sei <math>\varphi</math> ein Satz der Sprache <math>L_I^S</math> mit <math>S=\{0,1,+,\cdot\}</math>, der in allen Ringen der [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] 0 gelte. Dann gilt der Satz bereits in Ringen hinreichend hoher Charakteristik.<ref>Louis H. Rowen: ''Ring Theory I'', Academic Press Inc. (1988), ISBN 0-12-599841-4</ref>

Nimmt man im Sinne eines Widerspruchsbeweises an, dass es Ringe <math>M_i</math>, <math>i\in \N</math>, beliebig hoher Charakteristik <math>m_i</math> gibt, für die der Satz <math>\varphi</math> nicht gilt, ohne Einschränkung <math>m_1 < m_2 < m_3 < \ldots </math>, so betrachte man einen [[Ultrafilter]] <math>U</math> auf <math>\N</math>, der den [[Fréchet-Filter]] umfasst. Sätze der Form <math>1+\ldots +1 = 0</math> sind wegen der aufsteigenden Charakteristiken in fast allen <math>M_i</math> falsch und nach dem Satz von  Łoś daher auch im Ultraprodukt <math>\prod M_i/U</math>, das heißt letzteres ist ein Ring der Charakteristik 0. Nach Voraussetzung gilt daher <math>\varphi</math>  im Ultraprodukt und mit einer erneuten Anwendung des Satzes von  Łoś ist die Menge aller Indizes, für die der Satz in <math>M_i</math> richtig ist, im Ultrafilter enthalten, das heißt, er muss entgegen der Annahme von einigen, sogar von unendlich vielen, der <math>M_i</math> erfüllt werden. Dieser Widerspruch beendet den Beweis.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Modelltheorie]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Los, Satz von]]