Quelltext der Seite Satz von Carnot (Umkreis, Inkreis)

Der '''Satz von Carnot''' (nach [[Lazare Nicolas Marguerite Carnot]]) beschreibt in einem beliebigen [[Dreieck]] eine Beziehung zwischen [[Inkreis]]radius, [[Umkreis]]radius und den Abständen des Umkreismittelpunktes von den Dreiecksseiten. Er besagt, dass die Summe der vorzeichenbehafteten Abstände gleich der Summe von Inkreisradius und Umkreisradius ist.

:<math> v(\overline{GD})+v(\overline{HD})+v(\overline{FD})=R+r </math>

Hierbei bezeichnet <math> R</math> den Radius des Umkreises mit Mittelpunkt <math> D </math> und <math> r</math> den Radius des Inkreises mit Mittelpunkt <math> E </math> eines Dreiecks <math> \triangle ABC </math>. Die Punkte <math> F, G, H</math> sind die Fußpunkte der Lote von <math> D</math> auf die Dreiecksseiten. Die Funktion <math>v </math> liefert die Länge einer Strecke, falls diese ganz oder teilweise im Inneren des Dreiecks verläuft, und die negative Länge, falls sie vollständig außerhalb des Dreiecks liegt.

Im Spezialfall des spitzwinkligen und des rechtwinkligen Dreiecks sind die vorzeichenbehafteten Abstände alle nicht negativ, so dass man in diesem Fall einfach die Summe aller Abstände verwenden kann.

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! stumpfwinkliges Dreieck
! spitzwinkliges Dreieck
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[[Datei:Carnot theorem2.svg|345px]]
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[[Datei:Carnot theorem1.svg|345px]]
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| <math> |\overline{GD}|+|\overline{HD}|-|\overline{FD}|=|\overline{AD}|+|\overline{EI}|=R+r </math>
| <math> |\overline{GD}|+|\overline{HD}|+|\overline{FD}|=|\overline{AD}|+|\overline{EI}|=R+r </math>
|}

== Literatur ==
* ''Die Wurzel.'' Heft 7/2000, S. 170.
* Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''When Less is More: Visualizing Basic Inequalities''. The Mathematical Association of America, 2009, ISBN 978-0-88385-342-9, S. 99 [https://books.google.de/books?id=U1ovBsSRNscC&pg=PA99 (books.google.de)].
* Frédéric Perrier: ''Carnot’s Theorem in Trigonometric Disguise.'' In: ''The Mathematical Gazette.'' Band 91, Nr. 520, März, 2007, S. 115–117 ({{JSTOR|40378302}}).
* David Richeson: [https://www.maa.org/press/periodicals/the-japanese-theorem-for-nonconvex-polygons-carnots-theorem ''The Japanese Theorem for Nonconvex Polygons – Carnot’s Theorem.''] In: ''Convergence.'' Dezember 2013.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Carnot's theorem|Satz von Carnot}}
* {{MathWorld |id=CarnotsTheorem |title=Carnot’s theorem}}
* Florian Modler: [https://matheplanet.com/default3.html?article=1020 Vergessene Sätze am Dreieck - Der Satz von Carnot] auf [[Matroids Matheplanet]]
* [https://www.cut-the-knot.org/proofs/carnot.shtml ''Carnot’s Theorem.''] auf cut-the-knot.org

[[Kategorie:Dreiecksgeometrie]]
[[Kategorie:Satz (Ebene Geometrie)|Carnot, Satz von]]