Quelltext der Seite Split-Operator-Methode

Die '''Split-Operator-Methode''' (SOP) ist ein numerisches Verfahren mit dem die zeitabhängige [[Schrödingergleichung]] gelöst werden kann. Bei der Methode wird der [[Hamiltonoperator]] <math>\hat{H}</math> in einen kinetischen Teil <math>\hat{T}</math> (Impulsteil) und in einen Potentialteil <math>\hat{V}</math> gespalten und einzeln angewendet. Dabei wird von der [[Schnelle Fourier-Transformation|schnellen Fourier-Transformation]] (FFT) Gebrauch gemacht, um zwischen [[Impulsraum]] und [[Ortsraum]] zu wechseln.

== Die Schrödingergleichung ==
[[Datei:Ortsraum.png|mini|Die Wellenfunktion <math>\psi(x)</math> auf einem äquidistanten Gitter dargestellt (Ortsraum)]]
[[Datei:Impulsraum.png|mini|Die Wellenfunktion <math>\psi(k)</math> auf einem äquidistanten Gitter dargestellt (Impulsraum)]]

Die zeitabhängige Schrödingergleichung ist definiert als
:<math>i\hbar\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}=\hat{H}(t)\psi(x,t),</math>
wobei <math>\textstyle \hat{H}(t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta+V(t)</math> der Hamiltonoperator ist.

Die Wellenfunktion <math>\psi(x,t)</math> wird im Ortsraum auf einem äquidistanten Gitter dargestellt. Als Startwerte werden die Werte von <math>\psi(x,t_0)</math> zur Zeit <math>t_0</math> an den Gitterpunkten vorgegeben. Durch das Verfahren wird die Wellenfunktion zu einem späteren Zeitpunkt <math>t=t_0+\Delta t</math> berechnet.

Die Wirkung des Hamiltonoperators <math>\textstyle \hat{H}(t)=\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m}+\hat{V}(t)</math> auf eine Wellenfunktion <math>\hat{H}\psi=\hat{T}\psi+\hat{V}\psi</math> wird mit der schnellen Fourier-Transformation berechnet. Dazu wird neben dem Gitter im Ortsraum auch ein Gitter im Impulsraum benötigt. Die Auflösung im Impulsraum <math>\Delta k=\tfrac{2\pi}{L}</math> ist durch die Länge <math>L</math> des Gitters im Ortsraum festgelegt. Es gilt <math>\Delta k\Delta x =\tfrac{2\pi}{N}</math>, wobei <math>N</math> die Anzahl der Gitterpunkte ist.

== Anwendung der diskreten Fourier-Transformation ==
Der Potentialoperator <math>\hat{V}</math> besitzt im Ortsraum eine diagonale Matrixdarstellung und wirkt daher lokal auf jeden Gitterpunkt <math>x_i</math>:
:<math>\left(\hat{V}(t)\psi\right)(x_i)=V(x_i,t)\cdot\psi(x_i).</math>

Genauso wird der kinetische Operator <math>\hat{T}</math> mit seiner diagonalen Darstellung im Impulsraum berechnet. Für jeden Gitterpunkt <math>k_i</math> gilt:
:<math>\left(\hat{T}\tilde{\psi}\right)(k_i))=\frac{\hbar^2}{2m}{k_i}^2\tilde{\psi}(k_i).</math>

Dabei ist die diskrete Darstellung der Wellenfunktion <math>\tilde{\psi}(k_i)</math> im Impulsraum durch die diskrete Fourier-Transformation <math>\hat{Z}^\dagger</math> gegeben:
:<math>\tilde{\psi}(k_i)=\langle k_i|\psi\rangle=\sum_{x_j}\langle k_i|x_j\rangle\langle x_j|\psi\rangle =\frac{\Delta x}{\sqrt{2\pi}}\sum_{x_j}e^{-ik_ix_j}\psi(x_j)</math>

In Vektorschreibweise lautet diese Gleichung
:<math>\vec{\tilde{\psi}}=c^{-1}\hat{Z}^\dagger\vec{\psi}</math>
mit
:<math>\vec{\tilde{\psi}}:=(\tilde{\psi}(k_0),\dotsm ,\tilde{\psi}(k_{N-1}))^T</math>
:<math>\vec{\psi} := (\psi(x_0),\dotsm ,\psi(x_{N-1}))^T</math>
:<math>Z_{ij}:=N^{-\frac{1}{2}}e^{+ik_ix_j}</math>
:<math>c:=\tfrac{\sqrt{2\pi N}}{L}.</math>

Entsprechend erhält man für die Rücktransformation in den Ortsraum
:<math>\psi(x_j)=\frac{\Delta k}{\sqrt{2\pi}}\sum_{k_i}e^{+ik_ix_j}\tilde{\psi}(k_i)</math>
beziehungsweise
:<math>\vec{\psi}=c\hat{Z}\vec{\tilde{\psi}}</math>
mit den Gitterschrittweiten <math>\Delta x=\tfrac{L}{N}</math> bzw. <math>\Delta k=\tfrac{2\pi}{L}</math>. Hierbei ist <math>L</math> die Länge des Gitters im Ortsraum und <math>N</math> die Zahl der Punkte im Orts- und Impulsraum. Die Konstante <math>c</math> wird nur benötigt, wenn die richtige [[Normierung]] der Funktion <math>\tilde{\psi}</math> gewünscht wird. Die Fourier-Transformation erhält die Norm der Vektoren <math>\vec{\tilde{\psi}}</math> und <math>\vec{\psi}</math>.

== Split-Operator-Methode ==

Die Berechnung der <math>e</math>-Funktion eines Operators wird in der Diagonaldarstellung des Operators besonders einfach. Die Split-Operator-Methode verwendet eine Zerlegung des Hamiltonoperators in die Operatoren für kinetische [[Energie]] <math>\hat{T}</math> und für potentielle Energie <math>\hat{V}</math>, welche im Impuls- bzw. Ortsraum Diagonalform annehmen.

Der durch die Nicht-Vertauschbarkeit von <math>\hat{T}</math> und <math>\hat{V}</math> entstehende Fehler kann durch die symmetrische Aufspaltung
:<math>e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t}\approx e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\hat{T}}{2}\Delta t}\cdot e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{V}\Delta t}\cdot e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\hat{T}}{2}\Delta t}</math>

auf Terme der Größenordnung <math>{\Delta t}^3</math> reduziert werden: Mit <math> \hat{X}:= -\tfrac{i}{\hbar}\hat{T}\Delta t</math> und <math>\hat{Y}:= -\tfrac{i}{\hbar}\hat{V}\Delta t</math> erhält man für die rechte Seite

:<math>\exp\left(\frac{\hat{X}}{2}\right)\exp\left(\hat{Y}\right)\exp\left(\frac{\hat{X}}{2}\right)=\exp\left(\frac{\hat{X}}{2}+\hat{Y}+\frac{\hat{X}}{2}+\underbrace{\frac{1}{2}\left[\frac{\hat{X}}{2},\hat{Y}\right]+\frac{1}{2}\left[\hat{Y},\frac{\hat{X}}{2}\right]}_{0}+\frac{1}{12}\left[\left[\frac{\hat{X}}{2},\hat{Y}\right],\hat{X}+2\hat{Y}\right]+\dotsm\right).</math>

Der führende Fehlerterm ist somit [[proportional]] zu <math>{\Delta t}^3\left[\left[\hat{T},\hat{V}\right],\hat{T}+2\hat{V}\right]</math>.

== Diagonalform ==
Eine [[Koordinatentransformation]] <math>\hat{Z}^\dagger</math> vom Orts- in den Impulsraum ermöglicht eine einfache Berechnung von
:<math> e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\hat{T}}{2}\Delta t}\psi=\hat{Z}e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\hat{T}}{2}\Delta t}\hat{Z}^\dagger\psi .</math>

Mit der diagonalen Darstellung des Operators der kinetischen Energie

:<math>\hat{T}=\hat{Z}^\dagger\hat{T}\hat{Z}=\begin{pmatrix}
\frac{\hbar^2}{2m}{k_0}^2 & 0 & \cdots & 0\\
0 & \ddots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & \frac{\hbar^2}{2m}k^2_{N-1}\\
\end{pmatrix}</math>

erhält man

:<math>e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\hat{T}}{2}\Delta t}=\begin{pmatrix}
\ddots & 0 & \cdots & 0\\
0 & e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\Delta t}{2}\frac{\hbar^2}{2m}k^2_i} & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & \ddots\\
\end{pmatrix} .</math>

Die Koordinatentransformation erfolgt auf dem <math>N</math>-Punkt-Gitter <math>x_0, \dotsm, x_{N-1}</math> mit Hilfe der diskreten Fourier-Transformation:
:<math>\tilde{\psi}(k_{i})=N^{-\frac{1}{2}}\sum_{j=0}^{N-1}\psi(x_j)e^{-ik_ix_j}</math> &nbsp; &nbsp; für &nbsp; <math>i=0, \dotsm, N-1</math>
oder <math>\vec{\tilde{\psi}}=\hat{Z}^\dagger\vec{\psi}</math>.

== Numerischer Algorithmus ==
{{Siehe auch|Algorithmus}}
Durch Zusammenfassen der aufeinanderfolgenden Terme <math>\hat{Z}e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\hat{T}}{2}\Delta t}\hat{Z}^\dagger</math> zweier Zeitschritte lässt sich die Zahl der Fourier-Transformationen, d.&nbsp;h. der numerische Aufwand, reduzieren: <math>\hat{Z}^\dagger\hat{Z}=1</math>, und die beiden <math>e</math>-Funktionen mit <math>\frac{\hat{T}}{2}</math> ergeben <math>e^{-\frac{i}{\hbar} \hat{T} \Delta t }</math>.

Die Wellenfunktion nach <math>n</math> Zeitschritten erhält man also durch:

*Fourier-Transformation von <math>\psi_0</math>
*Multiplikation mit den Diagonalelementen <math>e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{\Delta t}{2}\frac{\hbar^2}{2m}k^2_i}</math> (halber Zeitschritt)
*Rücktransformation
*Multiplikation mit den Diagonalelementen <math>e^{-\frac{i}{\hbar}V_i\Delta t}</math>
*Fourier-Transformation
*Multiplikation mit den Diagonalelementen <math>e^{-\frac{i}{\hbar}\Delta t\frac{\hbar^2}{2m}k^2_i}</math> (ganzer Zeitschritt)
*usw., bis beim letzten Schritt noch einmal eine Multiplikation mit halben Zeitschritt wie in der zweiten Zeile notwendig wird.

== Literatur ==

* I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, G. Musiol, H. Muehlig: ''Taschenbuch der Mathematik.'' Deutsch Harri GmbH, 2008.
* T. Fließbach: ''Quantenmechanik: Lehrbuch zur Theoretischen Physik III.'' 5. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, 2008, ISBN 978-3-8274-2020-6.
* Herbert Sager: ''Fourier-Transformation.'' vdf Hochschulverlag, Zürich 2012, ISBN 978-3-7281-3393-9.
* {{Literatur
   |Autor=A. Askar, A. S. Cakmak
   |Titel=Explicit integration method for the time‐dependent Schrodinger equation for collision problems
   |Sammelwerk=[[Journal of Chemical Physics]]
   |Band=68
   |Nummer=6
   |Datum=1978
   |Seiten=2794–2798
   |DOI=10.1063/1.436072}}
* {{Literatur
   |Autor=J. B. Delos
   |Titel=Theory of Electronic Transitions in Slow Atomic Collisions
   |Sammelwerk=[[Physical Review]]
   |Band=176
   |Nummer=1
   |Datum=1968
   |Seiten=141–150
   |DOI=10.1103/PhysRev.176.141}}
* {{Literatur
   |Autor=Juha Javanainen, Janne Ruostekoski
   |Titel=Symbolic calculation in development of algorithms: split-step methods for the Gross–Pitaevskii equation
   |Sammelwerk=[[Journal of Physics]] A
   |Band=39
   |Datum=2006
   |Seiten=L179–L184
   |DOI=10.1088/0305-4470/39/12/L0}}
* {{Literatur
   |Autor=Michael Hintenender
   |Titel=Propagation von Wellenpaketen
   |Sammelwerk=MPQ-Berichte
   |Band=MPQ163
   |Ort=Garching
   |Datum=1992
   |Online=[https://web.archive.org/web/20110512190627/http://www.mpq.mpg.de/cms/mpq/institute/service/library/reports/docs/mpq163.html online]}}

[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Numerische Mathematik]]