Quelltext der Seite Typklassifikation (Von-Neumann-Algebra)

Die hier vorgestellte '''Typklassifikation''' teilt die in der [[Mathematik]] untersuchten [[Von-Neumann-Algebra|Von-Neumann-Algebren]] in Klassen ein, die man Typ nennt. Diese auf [[Francis J. Murray]] und [[John von Neumann]] zurückgehende [[Klassifizierung]] beruht auf einer Analyse der Struktur der in einer Von-Neumann-Algebra enthaltenen [[Orthogonalprojektion]]en. Während beliebige Von-Neumann-Algebren Bestandteile unterschiedlicher Typen haben können, ist ein [[Faktor (Von-Neumann-Algebra)|Faktor]] immer von genau einem Typ. Daher spielen diese Begriffsbildungen bei der Untersuchung der Faktoren eine wichtige Rolle.

== Motivation ==
Die Grundidee besteht darin, Projektionen einer Von-Neumann-Algebra <math>A\subset L(H)</math> auf einem [[Hilbertraum]] <math>H</math> der Größe nach zu vergleichen. 
Ist <math>e\in A</math> eine solche Projektion (mit Projektion ist hier immer eine Orthogonalprojektion gemeint), so gehört dazu der projizierte Raum <math>e(H)</math> und umgekehrt gibt es zu jedem abgeschlossenen Unterraum in <math>H</math> genau eine Projektion auf diesen Unterraum. 
Es liegt daher nahe, die Mengen <math>e(H)</math> zum Größenvergleich heranzuziehen. Gilt <math>e(H)\subset f(H)</math> für zwei Projektionen <math>e</math> und <math>f</math>, so wird man <math>f</math> als die größere bezeichnen wollen. 
Wie bei allgemeinen Mengen kann es vorkommen, dass zwei Projektionen auf diese Weise nicht direkt miteinander vergleichbar sind, da zwischen den projizierten Räumen keine Inklusionsbeziehung besteht. 
Bei zwei Mengen kann man Vergleichbarkeit dadurch herstellen, dass man eine der Mengen [[Bijektivität|bijektiv]] auf eine [[Teilmenge]] der anderen abbildet.
Verfolgt man diese Analogie zwischen Mengen und Projektionen weiter, und diese Sichtweise erweist sich als sehr fruchtbar, so kommt man zwanglos zur folgenden Begriffsbildung:

''Definition:'' Zwei Projektionen <math>e,f\in A</math> heißen ''äquivalent'', in Zeichen <math>e \,\sim\, f</math>, wenn es ein  <math>u\in A</math> mit <math>e=u^*u</math> und <math>f=uu^*</math> gibt, ein solches <math>u</math> ist dann eine [[partielle Isometrie]]. 
Man sagt, <math>e</math> sei ''schwächer'' als <math>f</math>, in Zeichen <math>e \preceq f</math>, falls es eine Projektion <math>e_0\in A</math> gibt mit <math>e\,\sim\, e_0</math> und <math>e_0(H)\subset f(H)</math>.

Äquivalenz und Vergleichbarkeit hängen von der Von-Neumann-Algebra <math>A</math> ab, denn es wird verlangt, dass die partielle Isometrie obiger Definition ebenfalls in <math>A</math> liegt. In einer kommutativen Von-Neumann-Algebra <math>A\subset L(H)</math> sind äquivalente Projektionen gleich (denn aus <math>e = u^*u</math> und <math>f = uu^*</math> folgt wegen der Kommutativität <math>e = f</math>), in der größeren Von-Neumann-Algebra <math>L(H)</math> ist das nicht der Fall.

Man kann zeigen, dass <math>\sim</math> eine [[Äquivalenzrelation]] ist und <math>\preceq</math> eine [[partielle Ordnung]] auf der Menge der Äquivalenzklassen induziert. Insbesondere gilt also <math>e \,\sim\, f</math>, falls <math>e \preceq f</math> und <math>f \preceq e</math>, was der schwierigere Teil des Beweises ist.

== Projektionen in Von-Neumann-Algebren ==
Projektionen in einer Von-Neumann-Algebra können eine Reihe von Eigenschaften haben:
* Eine Projektion heißt ''zentral'', wenn sie im Zentrum <math>A\cap A'</math> von <math>A</math> liegt. Hier bezeichnet <math>A'</math> die [[Kommutante]] von <math>A</math>.
* Eine von 0 verschiedene Projektion <math>e\in A</math> heißt ''minimal'', wenn für jede Projektion <math>f\in A</math> mit <math>f(H) \subset e(H)</math> entweder <math>f=0</math> oder <math>f=e</math> gilt.
* Eine Projektion <math>e\in A</math> heißt ''endlich'', wenn für jede Projektion <math>f\in A</math> mit <math>e\,\sim\,f </math> und <math>f(H)\subset e(H)</math> bereits <math>e\,=\,f</math> folgt. Man beachte die Analogie zur Mengenlehre: Eine Menge ist genau dann endlich, wenn sie nicht zu einer echten Teilmenge [[gleichmächtig]] ist. Minimale Projektionen sind endlich und diese entsprechen in der Analogie zur Mengenlehre den einelementigen Mengen.
* Nicht-endliche Projektionen heißen ''unendlich''. Eine Projektion <math>e\in A</math> heißt ''echt unendlich'', wenn für jede zentrale Projektion <math>c\in A</math> entweder <math>ce=0</math> oder <math>ce</math> unendlich ist.
* Eine Projektion <math>e\in A</math> heißt ''rein unendlich'', wenn für jede endliche Projektion <math>f\in A</math> mit <math>f(H)\subset e(H)</math> bereits <math>f=0</math> folgt. Rein unendliche Projektionen sind echt unendlich.
* Eine Projektion <math>e\in A</math> heißt ''abelsch'', falls <math>eAe</math> eine abelsche Von-Neumann-Algebra auf <math>e(H)</math> ist. Dazu beachte man, dass mit <math>eAe</math> üblicherweise die Algebra aller Operatoren <math>ea|_{e(H)}:e(H)\rightarrow e(H)</math>, <math>a\in A</math>,  bezeichnet wird, was stets wieder eine Von-Neumann-Algebra ist. Abelsche Projektionen sind endlich.
* Zu jeder Projektion <math>e\in A</math> gibt es eine kleinste zentrale Projektion <math>p\in A</math> mit <math>e=ep</math>, das heißt für jede andere zentrale Projektion <math>q\in A</math> mit <math>e=eq</math> gilt <math>p(H)\subset q(H)</math>.  Diese Projektion <math>p</math> heißt ''zentraler Träger'' von <math>e</math> und wird mit <math>C_e</math> bezeichnet.

Entsprechend heißt eine Von-Neumann-Algebra ''[[Endliche Von-Neumann-Algebra|endlich]]'', ''unendlich'', ''echt unendlich'', bzw. ''rein unendlich'', wenn diese Eigenschaften auf das [[Einselement]] <math>1 = \mbox{id}_H \in A</math> zutreffen. Dieselbe Beziehung gilt offenbar für die Eigenschaft ''abelsch'': Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann abelsch (das heißt kommutativ), wenn <math>1\in A</math> eine abelsche Projektion ist.

== Vergleichbarkeitssatz ==
Zwei beliebige Projektionen müssen nicht vergleichbar sein. Man kann die Von-Neumann-Algebra aber in eine direkte Summe von drei Von-Neumann-Algebren zerlegen, so dass in jedem Summanden Vergleichbarkeit vorliegt. Es gilt der folgende Satz:

''Vergleichbarkeitssatz'': Es seien <math>e,f\in A</math> Projektionen in der Von-Neumann-Algebra <math>A</math>. Dann gibt es eindeutig bestimmte, paarweise orthogonale, zentrale Projektionen <math>p_0, p_1, p_2\in A</math> mit <math>p_0+ p_1+ p_2=1</math>, so dass Folgendes gilt:
* <math>p_0 e \,\sim\, p_0 f</math>.
* Ist <math>r\in A</math> eine zentrale Projektion mit <math>\{0\} \not= r(H) \subset p_1(H)</math>, so gilt <math>re \prec rf</math>.
* Ist <math>r\in A</math> eine zentrale Projektion mit <math>\{0\} \not= r(H) \subset p_2(H)</math>, so gilt <math>rf \prec re</math>.

Dabei steht <math>\prec</math> abkürzend für "<math>\preceq</math>, und <math>\not\sim</math>" und zwei Projektionen heißen orthogonal (zueinander), wenn ihr Produkt 0 ist.

== Typ I, Typ II, Typ III ==
{{Hauptartikel|Typ I Von-Neumann-Algebra}}
* Eine Von-Neumann-Algebra <math>A</math> heißt vom ''Typ I'' (lies: Typ eins), wenn es eine abelsche Projektion <math>e \in A</math> mit <math>C_e=1</math> gibt.
* <math>A</math> heißt genauer vom ''Typ I<sub>n</sub>'', wobei <math>n\in \N \cup \{\infty\}</math>, falls <math>A</math> vom ''Typ I'' ist und <math>1\in A</math> die Summe von <math>n</math> paarweise äquivalenten abelschen Projektionen ist.
{{Hauptartikel|Typ II Von-Neumann-Algebra}}
* Eine Von-Neumann-Algebra <math>A\not=\{0\}</math> heißt vom ''Typ II'', wenn sie keine von 0 verschiedenen abelschen Projektionen besitzt, aber eine endliche Projektion <math>e \in A</math> mit <math>C_e=1</math>.
* Eine Von-Neumann-Algebra <math>A</math> vom ''Typ II'' heißt vom ''Typ II<sub>1</sub>'', wenn <math>1 \in A</math> eine endliche Projektion ist. 
* Eine Von-Neumann-Algebra <math>A</math> vom ''Typ II'' heißt vom ''Typ II<sub>&infin;</sub>'', wenn <math>1 \in A</math> eine echt unendliche Projektion ist.
{{Hauptartikel|Typ III Von-Neumann-Algebra}}
* Eine Von-Neumann-Algebra <math>A\not=\{0\}</math> heißt vom ''Typ III'', wenn sie keine von 0 verschiedenen endlichen Projektionen besitzt.

Die Bedingungen für obige Typ-Einteilung sind so angelegt, dass eine Von-Neumann-Algebra höchstens von einem Typ sein kann, es gibt aber Von-Neumann-Algebren, die von keinem Typ im obigen Sinne sind. Der folgende Satz zeigt, dass man jede Von-Neumann-Algebra eindeutig in eine direkte Summe zerlegen kann, so dass alle Summanden einen Typ haben:

''Satz von der Typzerlegung:'' Sei <math>A</math> eine Von-Neumann-Algebra. Dann gibt es eindeutig bestimmte, paarweise orthogonale, zentrale Projektionen <math>p_n, n\in \N\cup\{\infty\}</math>, <math>p_{c_1}</math>, <math>p_{c_\infty}</math> und <math>q_\infty</math> mit Summe 1, so dass gilt:
* <math>Ap_n \,=\, p_nAp_n</math> ist vom ''Typ I<sub>n</sub>'' oder 0.
* <math>Ap_{c_1} = p_{c_1}Ap_{c_1}</math> ist vom ''Typ II<sub>1</sub>'' oder 0.
* <math>Ap_{c_\infty} = p_{c_\infty}Ap_{c_\infty}</math> ist vom ''Typ II<sub>&infin;</sub>'' oder 0.
* <math>Aq_\infty = q_\infty Aq_\infty</math> ist vom ''Typ III'' oder 0.
Es ist <math>A=Ap_1\oplus \ldots \oplus Ap_\infty\oplus Ap_{c_1}\oplus Ap_{c_\infty} \oplus Aq_\infty</math> eine direkte Summe von Von-Neumann-Algebren.

Viele dieser Projektionen können natürlich 0 sein, <math>A</math> hat dann keinen entsprechenden Typ-Anteil. 
<math>L(\ell^2)</math> ist eine Von-Neumann-Algebra vom ''Typ I<sub>&infin;</sub>''. 
Von-Neumann-Algebren <math>A</math> vom Typ I werden manchmal ''diskret'' genannt, da sie eine direkte Summe <math>A=Ap_1\oplus \ldots \oplus Ap_\infty</math> sind; der Summationsindex durchläuft dabei eine [[Diskretheit|diskrete]] Menge.
Beispiele für Von-Neumann-Algebren vom Typ II oder III sind aufwändiger, sie können unter anderem durch geeignete Gruppenkonstruktionen gewonnen werden oder als Faktoren, die durch Darstellungen von [[UHF-Algebra|UHF-Algebren]], speziell der [[CAR-Algebra]], erzeugt werden. Im Artikel zu den [[W*-dynamisches System|W*-dynamischen Systemen]] wird eine maßtheoretische Konstruktion von Typ II und Typ III Von-Neumann-Algebren vorgestellt.

Von-Neumann-Algebren vom Typ II heißen auch ''stetig''. Daher wurden in obigem Satz die Bezeichnungen <math>p_{c_1}</math> und <math>p_{c_\infty}</math> gewählt (c steht für continuous). Bei manchen Autoren gelten auch Typ III Algebren als stetig. Typ III Algebren sind rein unendlich.

Eine Von-Neumann-Algebra ohne Typ III Anteil (das heißt <math>q_\infty=0</math> in obigem Satz) heißt ''semiendlich''.

Im Artikel [[Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren]] wird erläutert, wie sich die hier vorgestellte Typklassifizierung bei der Bildung von Tensorprodukten verhält.

== Faktoren, Dimensionsfunktion ==
Da ein [[Faktor (Von-Neumann-Algebra)|Faktor]] außer 0 und 1 keine weiteren zentralen Projektionen enthält, hat ein Faktor immer genau einen wohlbestimmten Typ. 
Typ III Faktoren lassen sich weiter klassifizieren; zu jedem <math>\lambda\in [0,1]</math> kann man nach der auf [[Alain Connes]] zurückgehenden [[Connes-Klassifikation]] ''Typ III<sub>&lambda;</sub>'' Faktoren definieren, auf die hier nicht weiter eingegangen wird. 
Zu jedem Typ gibt es Faktoren, sogar auf [[Separabler Raum|separablen]] Hilberträumen.

Aus dem Vergleichbarkeitssatz folgt sofort, dass in einem Faktor je zwei Projektionen bzgl. <math>\preceq</math> vergleichbar sind. 
Die minimalen Projektionen fallen mit den abelschen Projektionen zusammen.
Betrachtet man nur Faktoren <math>A</math> auf separablen Hilberträumen und ist <math>{\mathcal P}(A)</math> die Menge der  Projektionen in <math>A</math>, so kann man die Typen über die Ordnungsstruktur von  <math>{\mathcal P}(A)/\sim</math> beschreiben. Es gilt folgender Satz:

''Satz (Dimensionsfunktion):'' Ist <math>A</math> ein Faktor auf einem separablen Hilbertraum, so gibt es eine Funktion <math>D:{\mathcal P}(A) \rightarrow [0,\infty]</math> mit folgenden Eigenschaften:
* Für <math>e,f \in {\mathcal P}(A)</math> gilt <math>e \sim f \Leftrightarrow D(e)=D(f)</math>
* Für <math>e,f \in {\mathcal P}(A)</math> gilt <math>e \preceq f \Leftrightarrow D(e) \le D(f)</math>
* Für zwei zueinander orthogonale Projektionen <math>e,f \in {\mathcal P}(A)</math> gilt <math>D(e+f)\,=\,D(e)+D(f)</math>.
* Für <math>e \in {\mathcal P}(A)</math> gilt: <math>e</math> endlich <math>\Leftrightarrow D(e) < \infty</math>.

Die Funktion <math>D</math> ist bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt und heißt ''Dimensionsfunktion''. Das Bild <math>D({\mathcal P}(A))</math> ist bis auf einen Skalierungsfaktor eine der folgenden Mengen:

* <math>\{0,1,\ldots n\}</math> für ein <math>n\in N</math>; <math>A</math> ist dann vom ''Typ I<sub>n</sub>''. 
* <math>\{0,1, \ldots \}\cup \{\infty\}</math>; <math>A</math> ist dann vom ''Typ I<sub>&infin;</sub>''.
* <math>[0,\,1]</math>; <math>A</math> ist dann vom ''Typ II<sub>1</sub>''. 
* <math>[0,\infty]</math>; <math>A</math> ist dann vom ''Typ II<sub>&infin;</sub>''. 
* <math>\{0,\infty\}</math>; <math>A</math> ist dann vom ''Typ III''.

Für den ''Typ I<sub>&infin;</sub>'' Faktor <math>A=L(\ell^2)</math> erhält man bei der angegebenen Skalierung <math>D(e)=\mbox{dim}\,e(\ell^2)</math> für alle <math>e\in {\mathcal P}(A)</math>. Das erklärt den Namen ''Dimensionsfunktion''.

Man beachte, dass <math>D</math> eine ordnungstreue Bijektion <math>({\mathcal P}(A)/\sim) \rightarrow D({\mathcal P}(A))</math> induziert. Der Typ eines Faktors ist daher nach obigem Satz durch die Ordnungsstruktur von <math>{\mathcal P}(A)/\sim</math> festgelegt.

== Quellen ==
* [[Richard Kadison|R.V. Kadison]], [[John Ringrose|J. R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II'', Academic Press Inc. 1986
* V. S. Sunder: ''An Invitation to Von Neumann Algebras'' (1987), ISBN 0387963561 

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Klassifizierung]]