Quelltext der Seite Umkehroperation

Als '''Umkehroperation''' (vereinfachend, vor allem im didaktischen Kontext auch ''Umkehraufgabe'' oder ''Umkehrrechnung'') bezeichnet man in der [[Mathematik]] die Vorschrift, mit der man zu einer bestimmten [[Zweistellige Verknüpfung|zweistelligen Rechenoperation]] aus deren Ergebnis und einem der beiden [[Operator (Mathematik)#Operand|Operanden]] den jeweils anderen Operanden zurückerhält. 

Bei den [[Grundrechenarten]] ist die Umkehroperation der Addition die Subtraktion und die Umkehroperation der Multiplikation die Division.

Für manche Operationen, so auch die Multiplikation, ist dabei allerdings ihre Umkehrung nicht mit jeder Kombination von Operanden möglich (s.&nbsp;u.). 

Umkehroperationen können auch als spezielle [[Umkehrfunktion]]en betrachtet werden.

== Beispiele ==

'''Addition'''

Wenn bei der [[Addition]] <math>c=a+b</math> die Summe <math>c</math> und der Summand <math>a</math> bekannt sind, erhält man den anderen Summanden <math>b</math> durch die [[Subtraktion]] <math>b=c-a</math>. Also ist die Subtraktion eine Umkehroperation der Addition. Da die Addition [[Kommutativgesetz|kommutativ]] ist, erhält man bei bekannter Summe <math>c</math> und Summanden <math>b</math> den anderen Summanden <math>a</math> ebenfalls durch eine Subtraktion, nämlich <math>a=c-b</math>.

'''Multiplikation'''

Wenn bei der [[Multiplikation]] <math>c=a \cdot b</math> das Produkt <math>c</math> und der Faktor <math>a</math> bekannt sind, erhält man den anderen Faktor <math>b</math> durch die [[Division (Mathematik)|Division]] <math>b=c/a</math>. Also ist die Division eine Umkehroperation der Multiplikation. Da die Multiplikation ebenfalls kommutativ ist, erhält man bei bekanntem Produkt <math>c</math> und Faktor <math>b</math> den anderen Faktor <math>a</math> ebenfalls durch eine Division, nämlich <math>a=c/b</math>.

Nicht mehr anwendbar allerdings wird dieses Verfahren, sobald ''einer'' der beiden Faktoren und damit auch deren Produkt Null wird, da eine [[Division durch Null]] grundsätzlich verboten ist.

'''Potenzieren'''

Wenn bei der [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] <math>c=b ^ a</math> das Ergebnis <math>c</math> und der Exponent <math>a</math> bekannt sind, erhält man die Basis <math>b</math> durch die [[Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] <math>b=\sqrt[a]{c}</math>. Also ist das Wurzelziehen eine Umkehroperation des Potenzierens, mit der die Frage nach der verwendeten Basis beantwortet wird.

Sind aber das Ergebnis <math>c</math> und die Basis <math>b</math> bekannt, erhält man den Exponenten <math>a</math> durch den [[Logarithmus]] <math>a=\log_b{c}</math>. Also ist das Logarithmieren eine weitere Umkehroperation des Potenzierens, mit der die Frage nach dem verwendeten Exponenten beantwortet wird.

In Gegensatz zur Addition und Multiplikation hat das Potenzieren zwei Umkehroperationen, weil die Operation nicht kommutativ ist.

== Siehe auch ==
*[[Inverses Element]]

== Literatur ==
*E. Cramer, J. Neslehova: ''Vorkurs Mathematik''. 2. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 2005, ISBN 3-540-26186-9, S. 14, 19, 87.

[[Kategorie:Mathematik]]