Quelltext der Seite Verkettungsfaktor

[[Datei:Sternschaltung.svg|mini|[[Sternschaltung]] im [[Dreiphasensystem]]]]
[[Datei:Dreieckschaltung.svg|mini|[[Dreieckschaltung]] im Dreiphasensystem]]
Der '''Verkettungsfaktor''' gibt in Mehrphasensystemen das Verhältnis der [[Elektrische Spannung|elektrischen Spannung]] zwischen zwei benachbarten [[Außenleiter]]n zum Wert der Sternspannung zwischen einem beliebigen Außenleiter und dem Sternpunkt an. Bei [[Symmetrische Belastung|symmetrischer Belastung]] gilt dies auch für die [[Elektrische Stromstärke|Stromstärken]].

== Begriffe ==
In einem Mehrphasensystem treten unterschiedliche Spannungen auf. Leitungs- und Sternspannung bzw. Phasenspannung sind unabhängig von Bauelementen über die Begriffe Außen- und Neutralleiter festgelegt, die Strangspannung hingegen unabhängig von den Leitern nur über das Bauelement, auf das sie sich bezieht:

* {{Anker|Verkettete Spannung|Dreieckspannung}} Die Spannung zwischen zwei aufeinanderfolgenden Außenleitern wird als '''verkettete Spannung''' oder ''(Außen-)Leiterspannung'', bei Dreiphasensystemen auch als '''Dreieckspannung''' bezeichnet. Beispiel im Dreiphasensystem: ''U''<sub>31</sub> ist die Spannung zwischen den Außenleitern L3 und L1.
* {{Anker|Sternspannung}} Die Spannung zwischen je einem der drei Außenleiter und dem Sternpunkt des [[Netzwerk (Elektrotechnik)|Netzes]] wird als '''Sternspannung''' bezeichnet. Allgemeiner bezeichnet man die Spannung zwischen je einem der drei Außenleiter (auch: Phasen) gegen Neutralleiter und gegen Schutzleiter als '''Phasenspannung'''. Beispiel: ''U''<sub>1N</sub> ist die Spannung zwischen dem Außenleiter L1 und dem (meist [[Erdung|geerdeten]]) Sternpunkt. Sie ist um den Verkettungsfaktor niedriger als die verkettete Spannung.
* {{Anker|Strangspannung}} Jeder '''Strang''' eines Drehstromgenerators oder Drehstromverbrauchers kann als [[Zweipol]] dargestellt werden. '''Strangspannungen''' eines Drehstromgenerators oder Drehstromverbrauchers bezeichnen die Spannungen, die über den entsprechenden Zweipolen abfallen. Wicklungsstrangspannungen fallen bspw. über Wicklungssträngen von Drehstromgeneratoren ab, Verbraucherstrangspannungen über Verbrauchersträngen. Die (Verbraucher-)Strangspannung ''U''<sub>Str</sub> stimmt bei der Sternschaltung mit der Sternspannung, bei der Dreiecksschaltung mit der Leiterspannung überein.<ref>{{Literatur |Autor=Thomas Harriehausen, Dieter Schwarzenau |Titel=Moeller Grundlagen der Elektrotechnik |Auflage=24|Verlag=Springer Vieweg |Ort=Wiesbaden |Datum=2020 |ISBN=978-3-658-27839-7 |Kapitel=8.2 ''Symmetrisches Dreiphasensystem'' |Seiten=499–506 |Online={{archive.org |HsB-FreeSchool.005 |Blatt=499ff |Hervorhebung=Strangspannung}}|DOI=10.1007/978-3-658-27840-3}}</ref>

== Dreiphasensystem ==
Der Verkettungsfaktor ist im zeitlichen Versatz (= [[Phasenverschiebung]]) der [[Wechselspannung]]en begründet und beträgt bei [[Dreiphasenwechselstrom|Dreiphasensystemen]]

: <math>\sqrt{3} \approx 1{,}732</math>.

Daraus folgt zum Beispiel aus der in [[Niederspannungsnetz]]en in Europa üblichen Sternspannung von 230&nbsp;[[Volt|V]] die verkettete Spannung

: <math>U = 230 \, \mathrm{V} \cdot \sqrt{3} \approx 400 \, \mathrm{V}</math>.

Allgemein gilt der Zusammenhang

: <math>\mbox{Leiterspannung}= \sqrt{3} \cdot \mbox{Phasenspannung}</math>.

In [[Hochspannung]]snetzen wird üblicherweise als Nennwert die verkettete Spannung angegeben. Beispiel: Bei einer 110-kV-Leitung beträgt die Dreieckspannung zwischen zwei Außenleitern 110&nbsp;kV und die Sternspannung zwischen einem Außenleiter und dem Erdpotential, das im Regelfall durch das [[Elektrisches Potential|elektrische Potential]] des Sternpunkts gegeben ist, <math>\tfrac{110 \, \mathrm{kV}}{\sqrt{3}} \approx 63{,}5 \, \mathrm{kV}</math>.

Auch beim in der [[Elektrische Energietechnik|elektrischen Energietechnik]] verwendeten [[Per-Unit-System]] (pu) ist der Verkettungsfaktor in den [[Bezugswert]]en bereits enthalten.

=== Herleitung ===
[[Datei:Drehstrom.svg|mini|Spannungs-Zeigerdiagramm im Dreiphasensystem in der [[Komplexe Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]. In rot sind die drei Sternspannungen, in schwarz ist eine der drei verketteten Spannungen eingezeichnet.]]
Der Verkettungsfaktor <math>\sqrt{3}</math> für ein Dreiphasensystem errechnet sich anhand des rechts dargestellten [[Zeigerdiagramm]]s sowie den Eigenschaften des [[Sinus und Kosinus#Wichtigste Funktionswerte|Kosinus]]:

: <math>\frac{1}{2} \cdot U_\text{L3L1} = U_\text{L1} \cdot \cos 30^\circ = U_\text{L1} \cdot \frac{\sqrt{3}}2</math>

daraus folgt:

: <math>{U_\text{L3L1}} = \sqrt{3} \cdot {U_\text{L1}}</math>

== ''m''-Phasensysteme ==
Der Verkettungsfaktor ergibt sich in symmetrischen Mehrphasensystem in Abhängigkeit von der Phasenanzahl <math>m</math>, <math>m \geq 2</math>, allgemein zu:

: <math>{U_\text{L1L2}} = 2 \cdot \sin \left(\frac{\pi}{m} \right) \cdot U_\text{L1}</math> &nbsp;&nbsp;(Berechnung im [[Bogenmaß]])

Daraus ergibt sich der Verkettungsfaktor in verschiedenen Phasensystemen zu:

{| class="wikitable"
|-
! Phasenanzahl <math>m</math> !! Verkettungsfaktor
|-
| 2 || <math>2</math>
|-
| 3 || <math>\sqrt{3} \approx 1{,}732</math>
|-
| 4 || <math>\sqrt{2} \approx 1{,}414</math>
|-
| 5 || <math>\frac{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{2} \approx 1{,}176</math>
|-
| 6 || <math>1</math>
|-
| ≥ 7 || <math>< 1</math>
|}

In Phasensystemen mit mehr als sechs Phasen ist die verkettete Spannung zwischen zwei benachbarten Außenleitern somit immer kleiner als die Sternspannung.

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor= [[René Flosdorff]], Günther Hilgarth
   |Titel=Elektrische Energieverteilung
   |Auflage=9.
   |Verlag=Vieweg-Teubner
   |Ort=Stuttgart
   |Datum=2005
   |ISBN=978-3-519-36424-5}}
* [https://wiki.mexle.org/elektrotechnik_2/mehrphasensysteme Mexle-Wiki: Mehrphasensysteme] - Beschreibung von ''m''-Phasensystemen und grafische Darstellung vom 6-Phasensystem

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Theoretische Elektrotechnik]]