Quelltext der Seite Wannier-Darstellung

[[Bild:WanF-BaTiO3.png|thumb|Dreidimensionales Modell der Wannier-Funktion von [[BaTiO3|BaTiO<sub>3</sub>]]]]

Die nach dem Schweizer Physiker [[Gregory Hugh Wannier]] benannte '''Wannier-Darstellung''' ist ein Begriff aus der [[Festkörperphysik]]. In der [[Tight-Binding]]-Näherung ist eine Beschreibung der [[elektron]]ischen [[Wellenfunktion]]en in der gitterperiodischen [[Bloch-Funktion|Bloch-Basis]] nicht mehr sinnvoll. Eher konstruiert man die [[Zustandsfunktion]] aus [[atom]]aren Wellenfunktionen. Diese sind nicht orthonormiert. Aus den [[Bloch-Funktion]]en lässt sich jedoch eine [[Orthonormalbasis]] [[Lokalisierung (Physik)|lokalisierter]] Zustände konstruieren:

:<math>\omega_{m n}(\vec r - \vec R_m)  = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_k e^{-i \vec k \vec R_m} \cdot \psi_{n \vec k} (\vec r)</math>

Dabei ist
* <math>\psi_{n \vec k} (\vec r )</math> eine Bloch-Funktion
* <math> \omega_{m n} (\vec r - \vec R_m)</math> der zugehörige Wannier-Zustand
* <math>e</math> die [[Eulersche Zahl]]
* <math>i</math> die [[imaginäre Einheit]]
* <math>\vec k</math> der [[Wellenvektor]]
* <math>\vec r</math> der [[Ortsvektor]]
* <math>n</math> der [[Bandstruktur|Band]]<nowiki/>index.

Die umgekehrte Konstruktion der Bloch-Zustände aus den Wannier-Zuständen heißt dann

:<math>\psi_{n \vec k} (\vec r)  = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\vec R_m} e^{i \vec k \vec R_m} \cdot \omega_{i n}(\vec r - \vec R_m)</math>

Je größer die [[Gitterkonstante]] ist, desto stärker sind die Wannierzustände lokalisiert. Sie nähern sich immer mehr an die atomaren Zustände an. Statt aber den Wannier-Zustand einfach einem atomaren Zustand gleichzusetzen, nähert man ihn durch eine [[Linearkombination]] von atomaren Zuständen ([[LCAO]]):

:<math> \omega_{i n}(\vec r -\vec R_m) = \sum_{n\in U} a_n \cdot \varphi_n (\vec r - \vec R_m)</math>

Die Menge&nbsp;U stellt dabei einen [[Unterraum]] der atomaren Zustände <math>\varphi_n(\vec r - \vec R_m)</math> dar.

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Neil W. Ashcroft, N. David Mermin|Titel=Festkörperphysik|Verlag=Oldenbourg|Ort=München|ISBN=3-486-57720-4|Auflage=2.|Jahr=2005}}
* {{Literatur|Autor=Konrad Kopitzki|Titel=Einführung in die Festkörperphysik|Verlag=Teubner|Ort=Wiesbaden|ISBN=3-8351-0144-7|Auflage=6.|Jahr=2007}}
* {{Literatur|Autor=Gerd Czycholl|Titel=Theoretische Festkörperphysik|Verlag=Springer|Ort=Berlin|ISBN=978-3-540-74789-5|Auflage=3.|Jahr=2008}}

[[Kategorie:Festkörperphysik]]