Quelltext der Seite Wienerprozess

[[Datei:Wienerprozess.png|mini|hochkant=1.7|Zwei Beispiele für [[Pfad (Stochastik)|Pfade]] eines Standard-Wienerprozesses. Die grau schraffierte Fläche markiert die Standardabweichung <math>\pm \sqrt{\text{Var}(W_t)}=\pm\sqrt{t}</math> (vergleiche [[Gleichung von Bienayme]]).]]
Ein '''Wienerprozess''' (nach dem US-amerikanischen Mathematiker [[Norbert Wiener]]) oder '''Wienerscher Prozess''' ist ein zeitstetiger [[stochastischer Prozess]], der [[Normalverteilung|normalverteilte]], [[Prozess mit unabhängigen Zuwächsen|unabhängige Zuwächse]] hat. Er stellt ein [[mathematisches Modell]] für die [[brownsche Bewegung]] dar und wird deswegen selbst häufig als „brownsche Bewegung“ bezeichnet.

Seit der Einführung der [[Stochastische Analysis|stochastischen Analysis]] durch [[Itō Kiyoshi]] in den 1940er&nbsp;Jahren spielt der Wienerprozess die zentrale Rolle im [[Kalkül]] der zeitstetigen stochastischen Prozesse und dient in vielen Gebieten der Natur- und Wirtschaftswissenschaften als Grundlage zur Modellierung zufälliger Entwicklungen.

== Geschichte ==
[[Datei:TNThiele.jpg|mini|Thorvald N. Thiele]]
[[Datei:Louis Bachelier.jpg|mini|Louis Bachelier]]
1827 beobachtete der [[Schottland|schottische]] [[Botaniker]] [[Robert Brown (Botaniker, 1773)|Robert Brown]] unter dem [[Mikroskop]], wie Pflanzen[[pollen]] sich in einem Wassertropfen unregelmäßig hin- und herbewegten (daher der Name ''brownsche Bewegung'').

1880 beschrieb der Statistiker und Astronom [[Thorvald Nicolai Thiele]] (1838–1910) in [[Kopenhagen]] erstmals einen solchen „Prozess“ (die Theorie der stochastischen Prozesse war damals noch nicht entwickelt), als er wirtschaftliche [[Zeitreihenanalyse|Zeitreihen]] und die Verteilung von [[Residuum (Funktionentheorie)|Residuen]] bei der [[Methode der kleinsten Quadrate]] studierte. 1900 griff der [[Frankreich|französische]] Mathematiker [[Louis Bachelier]] (1870–1946), ein Schüler [[Henri Poincaré]]s, Thieles Idee auf, als er versuchte, die Kursbewegungen an der [[Paris]]er [[Börse]] zu analysieren. Beide Ansätze hatten letztendlich nur geringen Einfluss auf die zukünftige Entwicklung des Prozesses, zum Teil wohl, weil [[Finanzmathematik]] damals eine untergeordnete Rolle in der Mathematik spielte; heute jedoch gilt sie als Hauptanwendungsgebiet von Wienerprozessen. Dennoch bevorzugte z.&nbsp;B. der Stochastiker [[William Feller]] die Bezeichnung ''Bachelier-Wiener-Prozess''.

Der Durchbruch kam, als [[Albert Einstein]] 1905 in seinem [[annus mirabilis]],<ref>{{Literatur |Autor=Einstein, Albert |Titel=Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen. |Sammelwerk=Annalen der Physik |Band=17 |Datum=1905 |Seiten=549-560 |DOI=10.1002/andp.19053220806}}</ref> offenbar ohne Kenntnis von Bacheliers Arbeiten, und unabhängig von ihm [[Marian Smoluchowski]] 1906<ref>{{Literatur |Autor=Smoluchowski, M. |Titel=Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen |Sammelwerk=Annalen der Physik |Band=21 |Datum=1906 |Seiten=756-780 |Online=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15328k/f770.chemindefer}}</ref> den Wienerprozess in seiner heutigen Gestalt definierte. Einsteins Motivation war es, die Bewegung der brownschen Partikel durch die [[molekular]]e Struktur des Wassers zu erklären – ein Ansatz, der damals äußerst kontrovers war, heute aber unbestritten ist – und diese Erklärung mathematisch zu untermauern. Interessanterweise forderte er dabei eine weitere, physikalisch sinnvolle Eigenschaft, die [[Länge (Mathematik)|Rektifizierbarkeit]] der [[Zufallspfad]]e, ''nicht'' für sein Modell. Obwohl dies bedeutet, dass die Partikel in jeder Sekunde eine unendlich lange Strecke zurücklegen können (was das gesamte Modell theoretisch disqualifiziert), bedeutete der einsteinsche Ansatz den Durchbruch sowohl für die molekulare Theorie als auch für den stochastischen Prozess.

Einen Beweis für die [[Wahrscheinlichkeitstheorie|wahrscheinlichkeitstheoretische]] Existenz des Prozesses blieb Einstein allerdings schuldig. Dieser gelang erst 1923 dem [[Vereinigte Staaten|US-amerikanischen]] Mathematiker [[Norbert Wiener]], der dabei neue Hilfsmittel von [[Henri Léon Lebesgue|Lebesgue]] und [[Émile Borel|Borel]] auf dem Gebiet der [[Maßtheorie]] nutzen konnte. Dennoch war sein Beweis so lang und kompliziert, dass ihn wohl nur eine Handvoll Zeitgenossen verstehen konnten. Von [[Itō Kiyoshi]] ist überliefert, dass er einige seiner größten Fortschritte bei der Entwicklung des [[Stochastisches Integral|stochastischen Integrals]] bei dem Versuch erreichte, Wieners Arbeit nachzuvollziehen.

Letztendlich war es auch Itō, der dem Wienerprozess den Weg von der Physik in andere Wissenschaften ebnete: Durch die von ihm aufgestellten [[Stochastische Differentialgleichung|stochastischen Differentialgleichungen]] konnte man die brownsche Bewegung an mehr statistische Probleme anpassen. So löst die aus einer stochastischen Differentialgleichung abgeleitete [[geometrische brownsche Bewegung]] das Problem, dass der Wienerprozess, unabhängig von seinem Startwert, im Laufe der Zeit fast sicher einmal negative Werte erreicht, was für Aktien unmöglich ist; Bacheliers Ansatz war daran letztendlich noch gescheitert. Seit der Entwicklung des berühmten [[Black-Scholes-Modell]]s gilt die geometrische brownsche Bewegung daher als Standard.

Das von den nicht rektifizierbaren Pfaden des Wienerprozesses aufgeworfene Problem bei der Modellierung brownscher Pfade führt zum [[Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]] und macht ebenfalls den Bedarf einer Theorie der stochastischen Integration und Differentiation deutlich – hier wird nicht die Bewegung, sondern die Geschwindigkeit des Teilchen als ein nicht rektifizierbarer vom Wienerprozess abgeleiteter Prozess modelliert, aus dem man rektifizierbare Teilchenpfade durch Integration erhält.

Heute werden in praktisch allen Natur- und vielen Sozialwissenschaften brownsche Bewegungen und verwandte Prozesse als Hilfsmittel verwendet.

== Definition ==
Ein Wienerprozess ist ein zeitstetiger [[stochastischer Prozess]], der [[Normalverteilung|normalverteilte]], unabhängige Zuwächse hat:<br />
Ein stochastischer Prozess <math>(W_t)_{t \in \mathbb{R}_{+}}</math> auf dem [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega, \mathcal A, P)</math> heißt '''(Standard-)Wienerprozess''', wenn folgende vier Bedingungen gelten:
# <math>W_0=0</math> (P-[[Fast sichere Eigenschaften|fast sicher]]).
# Für gegebene Zeitpunkte <math>0 \leq t_0 < t_1 < t_2 < \dotsb < t_m</math> sind die Zuwächse <math>W_{t_1}-W_{t_0}, W_{t_2} - W_{t_1}, \dotsc, W_{t_m} - W_{t_{m-1}}</math> [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|stochastisch unabhängig]]. Der Wienerprozess hat also unabhängige Zuwächse.
# Für alle <math>0 \leq s < t</math> gilt <math>W_t-W_s \;\sim\; \mathcal{N} \left(0,t-s \right)</math>. Die Zuwächse sind also [[Prozess mit stationären Zuwächsen|stationär]] und [[Normalverteilung|normalverteilt]] mit dem [[Erwartungswert]] null und der [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] <math>t-s</math>.
# Die einzelnen [[Pfad (Stochastik)|Pfade]] sind (P-)fast sicher [[Stetige Funktion|stetig]].

Der vierte Punkt kann auch aus der Definition insofern gestrichen werden, als sich mit dem [[Satz von Kolmogorow-Tschenzow|Stetigkeitssatz von Kolmogorow-Tschenzow]] zeigen lässt, dass es unter den o.&nbsp;g. Voraussetzungen immer eine fast sicher stetige [[Versionen eines stochastischen Prozesses|Version des Prozesses]] gibt.

Alternativ lässt sich ein Wienerprozess <math>(W_t)_{t \in \mathbb{R}_{+}}</math> nach [[Paul Lévy (Mathematiker)|Paul Lévy]] durch folgende zwei Eigenschaften charakterisieren:
# <math>W_t</math> ist ein stetiges lokales [[Martingal]] mit <math>W_0 = 0</math>.
# <math>{W_t}^2-t</math> ist ein Martingal.

== Eigenschaften ==
Aus der Definition folgt sofort <math>W_t\sim\mathcal{N}(0,t)</math>.
=== Einordnung ===
* Der Wienerprozess zählt zur Familie der [[Markow-Prozess|Markowprozesse]] und dort speziell zur Klasse der [[Lévyprozess]]e. Außerdem erfüllt er die [[starke Markoweigenschaft]].
* Der Wienerprozess ist ein spezieller [[Gaußprozess]] mit der [[Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] <math>f_{W_t}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} e^{-x^2/(2t)}</math>, der [[Erwartungswertfunktion]] <math> \operatorname{E}(W_t)=0 </math>, der [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] <math>\operatorname{Var}(W_t) = t</math> (siehe auch [[Gleichung von Bienaymé]]), der [[Kovarianzfunktion]] <math> \operatorname{Cov}(W_s,W_t)=\min(s,t) </math> und der [[Korrelation]] <math>\operatorname{Korr}(W_s,W_t) = \frac{\operatorname{Cov}(W_s,W_t)}{\sigma_{W_s} \sigma_{W_t}} = \frac{\min(s,t)}{\sqrt{st}} = \min\left(\sqrt{\frac{s}{t}},\sqrt{\frac{t}{s}}\right)</math>.
* Der Wienerprozess ist ein [[Martingal]]. Ist also <math>(\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}</math> die von <math>(W_t)_{t\geq 0}</math> erzeugte [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtrierung]], dann gilt für die [[Bedingter Erwartungswert|bedingte Erwartung]] <math>E(W_t \mid \mathcal{F}_s)=W_s</math> für alle <math>0 \leq s < t</math>.
* Der Wienerprozess ist ein [[Lévyprozess]] mit stetigen Pfaden und konstantem Erwartungswert <math>0</math>.

=== Eigenschaften der Pfade ===
* Die Pfade eines Wienerprozesses sind [[fast sicher]] an keiner Stelle [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]] ([[Satz von Paley-Wiener-Zygmund]]) und fast sicher nicht [[Länge (Mathematik)|rektifizierbar]]. Betrachtet man die Menge der nirgends-differenzierbaren Pfade in <math>[0,n)</math>, so erhält man eine Menge, von der man nicht weiß, ob sie messbar ist. Allerdings wurde 1961 von [[Aryeh Dvoretzky|Dvoretzky]]-[[Paul Erdős|Erdős]]-[[Shizuo Kakutani|Kakutani]] eine Beweismöglichkeit der Nirgends-Differenzierbarkeit geliefert, bei der man ein Gitter von <math>1/k,\dots,kd/k</math> über die brownsche Bewegung konstruiert und zeigt, dass die Menge der differenzierbaren Pfade in<ref>{{Literatur |Autor=A. Dvoretzky, P. Erdős, S. Kakutani |Titel=Nonincrease Everywhere of the Brownian Motion Process |Sammelwerk=Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability |Band=4.2 |Datum=1961 |Seiten=103-116 |Online=https://www.projecteuclid.org/proceedings/berkeley-symposium-on-mathematical-statistics-and-probability/proceedings-of-the-fourth-berkeley-symposium-on-mathematical-statistics-and/Chapter/Nonincrease-Everywhere-of-the-Brownian-Motion-Process/bsmsp/1200512596?tab=ArticleFirstPage}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=René L. Schilling und Lothar Partzsch |Titel=Brownian Motion: An Introduction to Stochastic Processes |Verlag=De Gruyter |Ort=Berlin, Boston |Datum=2012}}</ref>
::<math>\bigcup\limits_{K=1}^{\infty}\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=m}^{\infty}\bigcup\limits_{j=1}^{nd}
\bigcap\limits_{i=j+1}^{j+3}\{|W(\tfrac{i}{n})-W(\tfrac{i-1}{n})|\leq 7K/n\},\quad j=1,\dots,dk</math>
: enthalten ist. Diese Menge besitzt als äußeres Maß den Wert <math>0</math>.
* Die [[Pfad (Stochastik)|Pfade]] haben in jedem Intervall <math> [s,t] \subset \R_{+} </math> fast sicher unendliche [[Variation (Mathematik)|Variation]].
* Für die [[Variation (Mathematik)#Quadratische Variation|quadratische Variation]] gilt fast sicher <math>[W, W]_t = \langle W, W \rangle_t = t</math>.
* Über Asymptotik im Unendlichen und um den Nullpunkt geben die [[Gesetz des iterierten Logarithmus|Gesetze des iterierten Logarithmus]] Auskunft.
* Für einen Wienerprozess <math>(W_t)_{t\geq0}</math> gilt das lokale Gesetzt des iterierten Logarithmus:
:: <math>\limsup_{h\searrow 0}\left(\frac{W_{t+h}-W_t}{\sqrt{2h \log(\log(\frac{1}{h})})}\right) = 1,\quad \text{fast sicher}</math>
:: <math>\liminf_{h\searrow 0}\left(\frac{W_{t+h}-W_t}{\sqrt{2h \log(\log(\frac{1}{h})})}\right) = -1,\quad \text{fast sicher}</math>
:Damit sind die Pfade des Wienerprozesses insbesondere [[Hölderstetigkeit|hölderstetig]] zum Exponenten <math>\alpha</math> mit <math>\alpha<\frac{1}{2}</math>, jedoch nicht für <math>\alpha=\frac{1}{2}</math>.
* Für das Bild einer Menge <math>A</math> unter einem Wienerprozess, das heißt für <math>W(A):=\{W_t: t\in A\}\subset \R^d</math>, gelten die [[Dimensionsverdopplungssatz|Dimensionsverdopplungssätze]].

=== Selbstähnlichkeiten, Reflexionsprinzip ===
[[Datei:Wiener-process-zoom-animation.gif|mini|Selbstähnlichkeit unter Streckung der Zeitachse]]
* Auch das Negative eines Standard-Wienerprozesses, also <math>(-W_t), \;t\ge0,</math> ist ein Standard-Wienerprozess. Allgemeiner gilt auch das ''[[Reflexionsprinzip (Stochastik)|Reflexionsprinzip]]'': Ein an einer beliebigen [[Stoppzeit]] <math>\tau</math> gespiegelter Wienerprozess ist wieder ein Wienerprozess. Der gespiegelte Prozess <math>\hat{W}_t</math> ist dabei wie folgt definiert: <math>\hat{W}_t(\omega)=W_t(\omega)</math>, falls <math>t\le \tau(\omega)</math>, und <math>\hat{W}_t(\omega)=2W_{\tau(\omega)}(\omega)-W_t(\omega)</math>, falls <math>t > \tau(\omega)</math>.
* Der Wienerprozess ist [[Selbstähnlichkeit|selbstähnlich]] unter [[Zentrische Streckung|Streckung]] der Zeitachse, d.&nbsp;h., <math>X_t=\tfrac{1}{\sqrt{\alpha}} \cdot W_{\alpha \cdot t}</math> ist für jedes <math> \alpha > 0 </math> ein Standard-Wienerprozess.
* Inversion der Zeitachse: Auch <math>X_t=t W_{\frac{1}{t}} </math> ist ein Standard-Wienerprozess
* Verschiebung der Zeitachse: Für jedes deterministische <math> s\ge 0 </math> ist der stochastische Prozess <math>X_t=W_{t+s}-W_s</math> ebenfalls ein Wienerprozess; hier werden die Zuwächse vom Zeitpunkt <math>s</math> an betrachtet, d.&nbsp;h., <math>W</math> erfüllt die schwache Markoweigenschaft.

=== Wiener-Maß ===
Eine Funktion <math>Y_t:E^T\to E:Y\mapsto Y_t(\omega)=\omega(t)</math> nennt man ''Koordinaten-Abbildung''. Der dazugehörige Prozess <math>Y=(Y_t)_{t\in T}</math> heißt ''Koordinaten-Prozess''.

Das eindeutige [[Bildmaß]] <math>W^{\#}P</math> für den Wienerprozess <math>W:\Omega\to C_0(\mathbb{R}_+,\mathbb{R}^d)</math> auf dem [[Klassischer Wiener-Raum|Wienerraum]], einer [[Unendlichdimensionale Sphäre|unendlichdimensionalen Sphäre]] im Funktionenraum der stetigen Funktionen, nennt man Wiener-Maß, wenn der Koordinaten-Prozess eine <math>d</math>-dimensionale Standard-Brownsche-Bewegung ist.<ref>{{Literatur |Autor=Daniel Revuz und Marc Yor |Hrsg=Springer |Titel=Continuous Martingales and Brownian Motion |Sammelwerk=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften |Band=293 |Datum=1999 |Seiten=33-41 |Sprache=en}}</ref>

=== Generator ===
[[Datei:BMonSphere.jpg|mini|Eine brownsche Bewegung auf der Kugel. Der Generator dieses Prozesses ist ½ Mal der [[Verallgemeinerter Laplace-Operator|Laplace-Beltrami-Operator]] auf einer Mannigfaltigkeit, hier einer Kugeloberfläche.]]
Für den [[Generator (Markow-Prozesse)|Generator]] <math>A</math> eines eindimensionalen Standard-Wienerprozesses gilt

:<math>A f(x) = \lim\limits_{t\downarrow 0} \frac{E(f(x+W_t)) - f(x)}{t} = \frac{1}{2}f''(x)</math>,

das heißt, <math>A</math> ist ½ Mal der Operator der zweiten Ableitung. Allgemeiner ist der Generator eines mehrdimensionalen Wienerprozesses ½ Mal der [[Laplaceoperator]]. Diese Beziehung kann verwendet werden, um Wienerprozesse auch auf anderen [[Mannigfaltigkeit]]en wie z.&nbsp;B. auf einer Kugel (siehe Bild) zu definieren, nämlich als Markowprozess mit dem [[Verallgemeinerter Laplace-Operator|Laplace-Beltrami-Operator]] als Generator. Für die Konstruktion der brownschen Bewegung auf einer Mannigfaltigkeit braucht man allerdings zusätzliche geometrische Strukturen und ''Bochners horizontalen Laplace-Operator'', welcher in der [[Stochastische Analysis auf Mannigfaltigkeiten|stochastischen Differentialgeometrie]] behandelt wird.

== Verallgemeinerter Wienerprozess ==

Ist <math> (W_t) </math> ein Standard-Wienerprozess, so nennt man den stochastischen Prozess
:<math>X_t= \mu t +\sigma W_t</math>

brownsche Bewegung mit Drift <math>\mu</math> und Volatilität <math>\sigma</math>. Damit lassen sich auch stochastische Prozesse darstellen, die ''tendenziell'' eher fallen (<math>\mu<0</math>) oder ''tendenziell'' eher steigen (<math>\mu>0</math>). Dabei gilt

:<math>X_t -X_s \sim \mathcal{N}\left(\mu (t-s), \sigma^2 \left(t-s\right) \right)</math>.

Auch allgemeine Wienerprozesse sind Markow- und Lévyprozesse, aber die Martingaleigenschaft gilt nur noch in abgeschwächter Form:

Ist <math>\mu \leq 0</math>, so ist <math>X_t</math> ein [[Martingal#Supermartingale und Submartingale|Supermartingal]], ist <math>\mu \geq 0</math>, so ist <math>X_t</math> ein [[Martingal#Supermartingale und Submartingale|Submartingal]]. Für <math>\mu=0</math> ist <math>X_t</math> ein [[Martingal]].

== Der mehrdimensionale Fall ==
[[Datei:BrownBew2dim.png|mini|hochkant=1.5|Beispiel: 75 Schritte einer Realisierung einer Gaußschen [[Irrfahrt (Stochastik)|Irrfahrt]] als Annäherung an eine zweidimensionale brownsche Bewegung. So ähnlich könnte sich auch das Partikel unter Browns Mikroskop bewegt haben.]]

Ein mehrdimensionaler stochastischer Prozess <math> W_t= (W_{1,t}, W_{2,t},\ldots W_{n,t})^T, \; t\ge 0 </math> heißt ''n-dimensionaler (Standard-)Wienerprozess'' oder n-dimensionale brownsche Bewegung, falls die Koordinaten <math> (W_{i,t}) </math> [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|unabhängige]] (Standard-)Wienerprozesse sind.

Die Zuwächse <math>W_{t}-W_{s}</math> sind dann ebenfalls unabhängig und <math> \mathcal{N}(0,(t-s)I_n) </math>-verteilt ([[Mehrdimensionale Normalverteilung|n-dimensionale Normalverteilung]]), wobei <math>I_n </math> die [[Einheitsmatrix]] der Dimension ''n'' ist.

Die Lévy-Charakterisierung lässt sich wie folgt verallgemeinern: Seien <math>X=(X^1,...,X^{n})</math> stetige lokale Martingale mit <math>[X^i,X^j]_t=\begin{cases}t,\,  \text{ falls } i=j\\ 0, \text{ falls } i\neq j\end{cases}</math>, dann ist <math>X</math> ein <math>n</math>-dimensionaler Standard-Wienerprozess.<ref>{{Literatur |Autor=Philip E. Protter |Titel=Stochastic Integration and Differential Equations |Auflage=2. |ISBN=978-3-540-00313-7 |Seiten=87-88}}</ref>

Der n-dimensionale Wienerprozess hat eine besonders schöne Eigenschaft, die ihn von den meisten anderen mehrdimensionalen Prozessen abhebt und die ihn für die Modellierung des brownschen Partikels prädestiniert: Er ist invariant unter Drehungen der Koordinatenachsen. Das bedeutet, dass für jede [[orthogonale Matrix]] <math> Q \in \mathbb {R}^{n \times n} </math> der gedrehte (oder gespiegelte) Prozess <math> X_t:=QW_t, \; t\ge 0 </math> genau dieselbe Verteilung wie <math>W_t</math> besitzt.

Genau wie die eindimensionale brownsche Bewegung kann man nun auch die n-dimensionale verallgemeinern: Für jeden Vektor <math> \mu \in \mathbb{R}^n </math> und jede Matrix <math> A \in \mathbb{R}^{n \times n} </math> wird durch

:<math> X_t := \mu t + A W_t, \; t \ge 0 </math>

eine brownsche Bewegung mit Drift <math>\mu</math> und Varianz <math>AA^T</math> definiert. Dementsprechend gilt <math> X_t \sim \mathcal{N}(\mu t, t AA^T) </math>. Hierbei können die einzelnen Koordinaten also auch miteinander [[Korrelation|korreliert]] sein.
== Zusammenhänge zu anderen mathematischen Strukturen ==
=== Zusammenhang zu anderen stochastischen Prozessen ===
* Ist <math> (X_t)_{t\ge 0} </math> eine [[geometrische brownsche Bewegung]], so ist <math> W_t := \ln(X_t) </math> eine brownsche Bewegung (mit Drift). Andererseits kann man aus jedem Wienerprozess <math> (X_t)_{t\ge 0} </math> mit Drift <math>\mu</math> und Volatilität <math>\sigma</math> durch <math> Y_t:=\mathrm e^{X_t-\frac{\sigma^2 t}{2}} </math> eine geometrische brownsche Bewegung gewinnen.
* Mit Hilfe des [[Stochastische Integration|stochastischen Integralbegriffes]] von Itō lässt sich der Wienerprozess zum [[Itō-Prozess|Itōprozess]] verallgemeinern.
* Die symmetrische [[Irrfahrt (Stochastik)|Irrfahrt]] kann als zeitdiskretes Pendant zum Wienerprozess angesehen werden, denn es gilt der folgende Konvergenzsatz: Ist für <math> n \in \mathbb{N} </math> die Irrfahrt <math> (R_t)_{t\in T} </math> auf dem diskreten Zeitgitter <math> T= \left\{ 0, \tfrac{1}{n}, \tfrac{2}{n}, \ldots \right\} </math> so definiert, dass <math> R_0=0 </math> gilt und <math>R</math> sich in jedem Zeitschritt mit Wahrscheinlichkeit <math>1/2</math> um <math> \sqrt{\tfrac{1}{n}} </math> nach oben und mit Wahrscheinlichkeit <math>1/2</math> um <math>\sqrt{\tfrac{1}{n}}</math> nach unten bewegt, so konvergiert <math>R</math> für <math>n \to \infty</math> gegen einen Standard-Wienerprozess (für die Art der Konvergenz siehe [[Satz von Donsker|Invarianzprinzip von Donsker]]).
* Ist <math> (W_t)_{t\ge 0} </math> ein Standard-Wienerprozess und <math> T > 0 </math>, so ist <math> B_t:=W_t-\tfrac{t}{T}W_T</math>, <math>0\leq t\leq T</math>, eine [[brownsche Brücke]].
* Ist <math>W=(W^1,\ldots,W^n)</math> ein <math>n</math>-dimensionaler Standard-Wienerprozess und <math>n\geq 2</math>, so heißt <math>R_t:=\|W_t\|=\sqrt{(W_t^1)^2+\cdots +(W_t^n)^2}</math> [[Bessel-Prozess]].

=== Weitere Zusammenhänge ===
Der Wienerprozess und von ihm abgeleitete Prozesse haben [[Brownsche Bewegung und Riemannsche Zeta-Funktion|Verbindungen zur Riemannschen Zeta-Funktion]].

== Simulation von brownschen Pfaden ==
Um mit Hilfe von [[Zufallszahl]]en Pfade eines Wienerprozesses zu simulieren, stehen verschiedene Methoden zur Verfügung, die allesamt auf verschiedenen Eigenschaften des Prozesses aufbauen:

=== Einfache Irrfahrt ===
Die einfachste Möglichkeit besteht darin, die oben erwähnte Konvergenz der einfachen [[Irrfahrt (Stochastik)|Irrfahrt]] nach dem [[Satz von Donsker]] gegen einen Wienerprozess auszunutzen. Dazu muss man lediglich [[Rademacherverteilung|rademacherverteilte]] [[Zufallsvariable|Zufallsvariablen]] ''B<sub>1</sub>'', ''B<sub>2</sub>'', ''B<sub>3</sub>'', … simulieren, die untereinander [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|unabhängig]] sind und jeweils mit Wahrscheinlichkeit <math>\tfrac{1}{2}</math> die Werte 1 und −1 annehmen. Dann kann man zu einer vorgegebenen Schrittweite <math> \Delta t \ge 0 </math> einen Wienerprozess an den Stellen <math>0, \;\Delta t,\; 2\,\Delta t,\; 3\,\Delta t \ldots </math> durch

:<math> W_{n\Delta t} \approx \sqrt{\Delta t}\sum_{i=1}^n B_i </math>

approximieren.
Der Vorteil dieser Methode liegt darin, dass nur sehr einfach herzustellende rademacherverteilte Zufallsvariablen benötigt werden. Allerdings handelt es sich nur um eine Approximation: Das Resultat ist kein Gauß-Prozess, sondern hat quasi [[Binomialverteilung|binomialverteilte]] Zustände (genauer gesagt ist <math> \frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^n B_i + n\right) </math> binomial(n; 0,5)-verteilt). Um die Normalverteilung hinreichend gut anzunähern, muss <math> \Delta t </math> deshalb sehr klein gewählt werden. Diese Methode ist deshalb nur zu empfehlen, wenn man den Prozess ohnehin auf einem sehr feinen Zeitgitter simulieren möchte.

=== Gaußsche Irrfahrt ===
Die folgende Methode ist der einfachen Irrfahrt überlegen (sofern kein besonders feines Zeitgitter benötigt wird), da sie den Prozess ''exakt'' simuliert (d.&nbsp;h., die resultierenden Zustände stimmen [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|in Verteilung]] mit denen eines Wienerprozesses überein):
::<math> W_{n\Delta t} \approx \sqrt{\Delta t}\sum_{i=1}^n Z_i </math>,

wobei <math> Z_1, Z_2, Z_3,\ldots </math> unabhängige, standardnormalverteilte Zufallszahlen sind (beispielsweise erzeugt durch die [[Polar-Methode]] von [[George Marsaglia|Marsaglia]]). Diese als ''gaußsche Irrfahrt'' bezeichnete Diskretisierung ist nur dann von Nachteil, wenn die vorhandenen normalverteilten Zufallsvariablen nicht von gleichmäßiger „Qualität“ sind. Wenn zum Beispiel [[Pseudozufall|Quasi-Zufallszahlen]] verwendet werden, weisen spät auftretende Zahlen bisweilen Abhängigkeitsstrukturen auf, die das Ergebnis verzerren können. In einem solchen Fall ist eine der nachfolgenden Methoden vorzuziehen.

=== Brownsche Brücke ===
[[Datei:BrownscheBewegung.png|mini|hochkant=1.7|Die ersten fünf Halbierungsschritte der brownschen Brücke, die jeweils neu simulierte Iteration ist rot eingezeichnet.]]
Diese auf [[Paul Lévy (Mathematiker)|Paul Lévy]] zurückgehende ''Methode''<ref>P. Lévy: ''Processus stochastiques et mouvement brownien.'' Gauthier-Villars, Paris 1965.</ref> (die nur am Rande etwas mit dem stochastischen ''Prozess'' der [[Brownsche Brücke|Brownschen Brücke]] zu tun hat) nutzt die Kovarianzstruktur des Wienerprozesses aus und legt ein höheres Gewicht auf frühe standardnormalverteilte Zufallsvariablen <math> Z_1, Z_2, \ldots </math>.

Hier wird zuerst <math> W_1 </math>, welches normalverteilt mit Varianz 1 ist, durch <math> W_1 = Z_1 </math> simuliert. Nun wird das Intervall <math>[0,1]</math> schrittweise halbiert und folgender Schritt wiederholt:

<math> W_{\frac{1}{2}} </math> ergibt sich als [[arithmetisches Mittel]] <math> \frac{1}{2}(W_0+W_1) </math> plus eine weitere Normalverteilte Zufallsvariable, um die Varianz zu korrigieren. Also:
:<math> W_{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(W_0+W_1)+\frac{1}{2}Z_2 </math>

Analog:
:<math>\begin{align}
W_{\frac{1}{4}}&=\frac{1}{2}(W_0+W_{\frac{1}{2}})+\frac{1}{\sqrt{8}}Z_3 \\
W_{\frac{3}{4}}&=\frac{1}{2}(W_{\frac{1}{2}}+W_1)+\frac{1}{\sqrt{8}}Z_4 \\
W_{\frac{1}{8}}&=\frac{1}{2}(W_0+W_{\frac{1}{4}})+\frac{1}{4}Z_5
\end{align}</math>
und so weiter. Die Faktoren <math>\tfrac{1}{2},\; \tfrac{1}{\sqrt{8}},\;\tfrac{1}{4}\ldots</math> verringern sich dabei in jedem Halbierungsschritt um den Faktor <math>\sqrt{2}</math> und sorgen dafür, dass die Zustände die richtige Varianz erhalten.

Um einen Wienerprozess statt auf <math>[0,1]</math> auf ein beliebiges Intervall <math>[0,a]</math> auszuweiten, kann man nun die oben beschriebene Transformation <math> X_t=\sqrt{a} W_{\frac{t}{a}} </math> anwenden; <math>X</math> ist dann ein Wienerprozess auf <math>[0,a]</math>.

Hintergrund dieser nichtkausalen Modellierung ist, dass <math>W_{(t_0+t_1)/2}</math> bedingt auf <math>W_{t_0}</math> und <math>W_{t_1}</math> wiederum normalverteilt ist.

=== Spektralzerlegung ===
Bei der Spektralzerlegung wird der Wienerprozess in einer Art ''stochastischer [[Fourieranalyse]]'' als [[Trigonometrisches Polynom|trigonometrische Polynome]] mit zufälligen Koeffizienten approximiert. Sind <math> Z_0, \;Z_1,\; Z_2\ldots </math> unabhängig und standardnormalverteilt, so konvergiert die [[Reihe (Mathematik)|Reihe]]
:<math>S(t) = Z_0 \cdot t + \sum_{k=1}^\infty Z_k ~ \frac{\sqrt{2} \cdot \sin(k \pi t)}{k \pi}</math>

gegen einen Wienerprozess. Diese Methode konvergiert bezüglich der [[Norm (Mathematik)#Lp-Normen|''L''<sup>2</sup>-Norm]] zwar mit maximaler [[Konvergenzgeschwindigkeit|Geschwindigkeit]], beinhaltet aber im Gegensatz zur brownschen Brücke viele aufwändige trigonometrische Funktionsauswertungen. Daher findet sie, vor allem in der [[Monte-Carlo-Simulation]], weniger oft Anwendung.

<gallery widths="350" heights="250" caption="Annäherung an einen Wienerprozess durch Fourierreihe">
  Spektralzerlegung2.png
  Spektralzerlegung.png
</gallery>

== Geometrie ==
Die ein- und zwei-[[Dimension (Mathematik)|dimensionale]] brownsche Bewegung ist [[Rekurrente Markow-Kette|rekurrent]], in allen höheren Dimensionen ist sie [[Transiente Markow-Kette|transient]]. ([[Satz von Pólya (Irrfahrten)]]: „Ein betrunkener Mann findet immer heim, ein betrunkener Vogel nicht.“)

{{Siehe auch|Markowkette}}

== Siehe auch ==
* [[Gebrochene Brownsche Bewegung]]
* [[Wurzel-Diffusionsprozess]]
* [[Satz von Itō-Nisio]]

== Literatur ==
* Andrei N. Borodin, Paavo Salminen: ''Handbook of Brownian Motion - Facts and Formulae.'' Birkhäuser, Basel 2002, ISBN 3-7643-6705-9.
* [[Thorsten Imkamp]], Sabrina Proß: ''Einstieg in stochastische Prozesse'', Springer 2023, ISBN 978-3-662-66669-2
* Ioannis Karatzas, Steven E. Shreve: ''Brownian Motion and Stochastic Calculus (Graduate Texts in Mathematics).'' Springer, New York 1997, ISBN 0-387-97655-8.
* David Meintrup, Stefan Schäffler: ''Stochastik. Theorie und Anwendungen.'' Springer, Berlin/Heidelberg 2005, ISBN 3-540-21676-6, Kap. 12, S. 341–374.
* {{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |Fundstelle=''Wienerscher Prozeß'', S. 495–498 |ISBN=978-3-05-500608-1}}
* René L. Schilling, Lothar Partzsch: ''Brownian Motion. An Introduction to Stochastic Processes.'' De Gruyter, Berlin/Boston 2012, ISBN 978-3-11-027889-7.
* John Michael Steele: ''Stochastic Calculus and Financial Applications.'' Springer, New York 2000, ISBN 0-387-95016-8.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Stochastischer Prozess]]
[[Kategorie:Stochastische Differentialgleichung]]
[[Kategorie:Markow-Prozesse]]
[[Kategorie:Martingale und Martingaltheorie]]