Quelltext der Seite Wirtinger-Kalkül

[[Datei:Wilhelm Wirtinger.jpg|miniatur|Wilhelm Wirtinger]]

Bei dem '''Wirtinger-Kalkül''', und seiner Verallgemeinerung durch die '''Dolbeault-Operatoren''', handelt es sich um einen [[Mathematik|mathematischen]] [[Kalkül]] aus der [[Funktionentheorie]]. Der Wirtinger-Kalkül ist nach dem Mathematiker [[Wilhelm Wirtinger]] und die Dolbeault-Operatoren sind nach [[Pierre Dolbeault]] benannt. Mit Hilfe dieser Objekte kann die Darstellung [[Holomorphe Abbildung|komplexer Ableitungen]] übersichtlicher gestaltet werden. Außerdem finden die Dolbeault-Operatoren Anwendung in der Theorie der [[Quasikonforme Abbildung|quasikonformen Abbildungen]].

== Wirtinger-Kalkül ==
Eine komplexe Zahl <math>z \in \Complex</math> wird durch <math>z := x + \mathrm iy</math> in zwei reelle Zahlen zerlegt. Sei <math>G \subset \R^2</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] und <math>f = u + \mathrm i v \colon G \to \Complex</math> eine (reell) differenzierbare Funktion. Dann existieren die [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]]
:<math>\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} + \mathrm i \frac{\partial v}{\partial x}</math>
und
:<math>\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial y} + \mathrm i \frac{\partial v}{\partial y}</math>.
Im nächsten Abschnitt werden nun die Wirtinger-Ableitungen eingeführt, welche ebenfalls partielle Differentialoperatoren sind. Jedoch sind diese einfacher zu berechnen, da die komplexwertige Funktion nicht in Real- und Imaginärteil zerlegt werden muss.
Statt der Koordinaten <math>x</math> und <math>y</math> verwendet man <math>z = x + \mathrm i y</math> und <math>\bar z = x - \mathrm i y</math>.

=== Motivation und Definition ===
Mit Hilfe der partiellen Ableitungen schreibt sich das [[Totales Differential|(totale) Differential]] von <math>f</math> als 
:<math>\mathrm df = \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm dx + \frac{\partial f}{\partial y} \mathrm dy</math>.
Aus <math>z = x + \mathrm i y</math> und <math>\bar z = x - \mathrm i y</math> ergibt sich 
:<math>\textstyle x = \frac12 (z + \bar z)</math> und <math>\textstyle y = \frac1{2\mathrm i} (z - \bar z) = \frac \mathrm i{2} (\bar z - z)</math>.

Für die Differentiale erhält man daraus
:<math>\mathrm dx = \frac12(\mathrm dz + \mathrm d\bar z) </math> und <math>\mathrm dy =  \frac \mathrm i{2}(\mathrm d\bar z -\mathrm dz) </math>.
Einsetzen in das totale Differential und Umsortieren liefert
:<math>\mathrm df = \frac12\left(\frac{\partial f}{\partial x}-\mathrm i\frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm dz +
      \frac12\left(\frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm i\frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm d\bar z</math>.
Um (formal) die Beziehung 
:<math>\mathrm df = \frac{\partial f}{\partial z} \mathrm dz + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} \mathrm d\bar z</math>
zu erhalten, setzt man
:<math>\frac{\partial f}{\partial z}:= \frac12\left(\frac{\partial f}{\partial x}-\mathrm i\frac{\partial f}{\partial y}\right)</math> 
und 
:<math>\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}:= \frac12\left(\frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm i\frac{\partial f}{\partial y}\right)</math>.
Dies sind die ''Wirtinger-Ableitungen''.

Für <math>\textstyle\frac{\partial f}{\partial z}</math> schreibt man auch kurz <math>\,\partial f</math>, für 
<math>\textstyle\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}</math> schreibt man <math>\bar \partial f</math>. Der Operator <math>\overline{\partial}</math> heißt '''Cauchy-Riemann-Operator'''.

=== Holomorphe Funktionen ===
Der Wirtinger-Kalkül findet insbesondere in der Funktionentheorie Anwendung, da für holomorphe Funktionen die Notation sich auf ein Minimum reduziert. Außerdem ist dieser Kalkül sehr stabil, wie Eigenschaften 3 und 4 im nächsten Abschnitt zeigen.

Eine reell differenzierbare Funktion ist genau dann eine [[holomorphe Funktion]], wenn <math>\overline{\partial} f = 0</math> gilt. In diesem Fall ist <math>\partial f</math> die Ableitung von <math>f</math>. Dies gilt, da die Gleichung <math>\overline{\partial} f = 0</math> eine sehr kurze Darstellung der [[Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen]] ist. Aus diesem Grund trägt der Operator <math>\overline{\partial}</math> den Namen Cauchy-Riemann-Operator.

Gilt hingegen für eine reell differenzierbare Funktion <math>f</math> die Gleichung <math>\partial f = 0</math> so nennt man diese Funktion ''antiholomorph'' und das reelle Differential kann mit Hilfe von Eigenschaft 1 aus <math>\overline{\partial} f </math> berechnet werden.

=== Eigenschaften ===
==== Beziehung zur partiellen Ableitung ====
Es gelten die Gleichungen 
:<math>\frac{\partial f}{\partial x} = \partial f + \overline{\partial} f</math>
und
:<math>\frac{\partial f}{\partial y} = \mathrm i\left(\partial f - \overline{\partial} f\right)</math>.

==== Linearität ====
Die Operatoren <math>\partial</math> und <math>\overline{\partial}</math> sind <math>\Complex</math>-[[Lineare Abbildung|linear]], das heißt für <math>a,b \in \Complex</math> und reell differenzierbare Funktionen <math>f, g \colon G \to \Complex</math> gilt
:<math>\partial (af + b g) = a \partial f + b \partial g</math>
und
:<math>\overline{\partial} (af + b g) = a \overline{\partial} f + b \overline{\partial} g</math>.

==== Komplexe Konjugation ====
Für jede reell differenzierbare Funktion <math>f</math> gilt
:<math>\overline{\partial} f = \overline{\partial\overline{f}}</math>
und
:<math>\overline{\partial}\ \overline{f} = \overline{\partial f}</math>.

==== Kettenregel ====
Für die Wirtinger-Ableitungen gilt die [[Mehrdimensionale Kettenregel|Kettenregel]]
:<math>\frac{\partial (g \circ f)}{\partial z}(z_0) = \frac{\partial g}{\partial w}(f(z_0)) \cdot \frac{\partial f}{\partial z}(z_0) + \frac{\partial g}{\partial \overline{w}}(f(z_0)) \cdot \frac{\partial \overline{f}}{\partial z}(z_0)</math>
und
:<math>\frac{\partial (g \circ f)}{\partial \overline{z}}(z_0) = \frac{\partial g}{\partial w}(f(z_0)) \cdot \frac{\partial f}{\partial \overline{z}}(z_0) + \frac{\partial g}{\partial \overline{w}}(f(z_0)) \cdot \frac{\partial \overline{f}}{\partial \overline{z}}(z_0)</math>.

==== Hauptsymbol ====
Das [[Hauptsymbol]] von <math>\partial</math> ist <math>\xi \mapsto \tfrac{1}{2} (\xi_1 - \mathrm i \xi_2)</math> und das Hauptsymbol von <math>\overline{\partial}</math> ist <math>\xi \mapsto \tfrac{1}{2} (\xi_1 + \mathrm i \xi_2)</math>. Beide Differentialoperatoren sind also [[Elliptischer Differentialoperator|elliptisch]].

==== Assoziierter Laplace- und Dirac-Operator ====
Mit den Wirtinger-Ableitungen kann man den [[Laplace-Operator]] durch
:<math>\Delta f = 4 \partial \overline{\partial} f = 4 \overline{\partial} \partial f</math>
darstellen. Daraus folgt insbesondere, dass der Operator
:<math>D := 2\begin{pmatrix}0 & -\partial \\ \overline{\partial} & 0 \end{pmatrix}</math>
ein [[Dirac-Operator]] ist.

==== Fundamentallösung ====
Die [[Fundamentallösung]] des Cauchy-Riemann-Operators <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}}</math> ist <math>\textstyle \frac{1}{\pi z}</math>, das heißt die durch die Funktion <math>\textstyle u(z) = \frac{1}{\pi z}</math> erzeugte [[Distribution (Mathematik)|Distribution]] löst die Gleichung <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}} u(z) = \delta</math>, wobei <math>\delta</math> die [[Delta-Distribution]] ist. Eine Herleitung ist im Artikel [[Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen#Fundamentallösung|Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen]] zu finden.

== Dolbeault-Operator ==
Mit Hilfe des Wirtinger-Kalküls kann man auch mehrdimensionale Abbildungen untersuchen. 
Wie oben werden Elemente von <math>\Complex^n</math> zerlegt in <math>(z_1, \ldots z_n) = (x_1 + \mathrm iy_1, \ldots , x_n + \mathrm i y_n)</math>. Sei nun <math>D \subset \mathbb{C}^n</math> eine offene Teilmenge und <math>f = (f_1, \ldots , f_m): D \rightarrow \mathbb{C}^m</math> eine (reell) differenzierbare Abbildung. Dazu definiert man die dem Wirtinger-Kalkül ähnlichen partiellen Differentialoperatoren 
:<math>\frac{\partial}{\partial z_j} := \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x_j} - \mathrm i \frac{\partial}{\partial y_j} \right)\quad j = 1, \ldots , n</math>
und
:<math>\frac{\partial}{\partial\bar z_j} := \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x_j} + \mathrm i \frac{\partial}{\partial y_j} \right)\quad j = 1, \ldots , n</math>
auf <math>\Complex^n</math>. Mit Hilfe dieser partiellen Differentialoperatoren kann man den Dolbeault-Operator und den Dolbeault-Quer-Operator durch
:<math> \partial f := \sum_{j=1}^n \frac{\partial}{\partial z_j} f {\rm d} z_j</math>
und
:<math> \overline{\partial} f := \sum_{j=1}^n \frac{\partial}{\partial \overline{z}_j} f {\rm d} \overline{z}_j</math> 
definieren. Diese können als mehrdimensionale Wirtinger-Ableitungen verstanden werden und werden deshalb genauso notiert. Außerdem haben die Dolbeault-Operatoren ähnliche Eigenschaften wie die Wirtinger-Ableitungen. Insbesondere gilt auch, dass <math>f</math> genau dann holomorph ist, wenn <math>\overline{\partial}f = 0</math> gilt und die reelle Ableitung wird durch 
:<math>{\mathrm d} f = \overline{\partial} f + \partial f</math>
dargestellt. Im holomorphen Fall gilt <math>\textstyle \mathrm d f = \partial f</math>, da ja <math>\overline{\partial} f = 0</math> gilt.

== Dolbeault-Operatoren auf Mannigfaltigkeiten ==
{{Hauptartikel|Komplexe Differentialform}}

Der Dolbeault-Operator und der Dolbeault-Quer-Operator lassen sich auch auf [[Komplexe Mannigfaltigkeit|komplexen Mannigfaltigkeiten]] definieren, jedoch muss dafür erst der Kalkül der komplexen Differentialformen definiert werden. Mit Hilfe des Dolbeault-Quer-Operators kann man analog wie im vorigen Abschnitt holomorphe Differentialformen definieren. Eine der wichtigsten Anwendungen dieser Operatoren ist in der [[Hodge-Zerlegung|Hodge-Theorie]] insbesondere in der [[Dolbeault-Kohomologie]], welche das komplexe Analogon zur [[De-Rham-Kohomologie]] ist, zu finden.

== Weblinks ==
*{{MathWorld|DelBarOperator|Del Bar Operator}}

== Literatur ==
* Ingo Lieb & Wolfgang Fischer: ''Funktionentheorie: Komplexe Analysis in einer Veränderlichen'', Vieweg & Teubner, 2005, ISBN 978-3-8348-0013-8.
* [[Ingo Lieb]]: ''The Cauchy-Riemann Complex'', Vieweg Aspects of Mathematics, 2002, ISBN 978-3-528-06954-4.

[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Differentialoperator]]