Quelltext der Seite Wohlordnungssatz

Der '''Wohlordnungssatz''', manchmal auch ''Wohlordnungsprinzip'' genannt, ist eine Aussage der [[Mengenlehre]] und besagt:

:Jede Menge kann [[Wohlordnung|wohlgeordnet]] werden.

Dieses Theorem erlaubt die Anwendung der [[transfinite Induktion|transfiniten Induktion]] auf jeder Menge.
Der Wohlordnungssatz ist äquivalent zum [[Auswahlaxiom]].

[[Georg Cantor]], der Begründer der Mengenlehre, hielt den Wohlordnungssatz für ein „grundlegendes Denkgesetz“. Vielen Mathematikern schien aber schwer vorstellbar, dass etwa auf der [[Reelle Zahl|Menge der reellen Zahlen]] eine Wohlordnung existieren solle. So glaubte denn auch [[1904]] [[Julius König]], dies widerlegt zu haben; [[Felix Hausdorff]] fand jedoch wenig später einen Fehler im Widerlegversuch. [[Ernst Zermelo]] führte das Auswahlaxiom als „unbedenkliches logisches Prinzip“ ein, um den Wohlordnungssatz zu beweisen; dieses stellte sich jedoch schnell als äquivalent zum Wohlordnungssatz heraus. Das Auswahlaxiom und somit der Wohlordnungssatz sind unabhängig von der [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]], d.&nbsp;h. sowohl der Satz als auch sein Gegenteil lassen sich widerspruchsfrei voraussetzen, wenn man die [[Widerspruchsfreiheit]] aller übrigen Axiome voraussetzt. Tatsächlich lässt sich zeigen, dass zumindest die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre allein (exklusive des Auswahlaxioms) die explizite Konstruktion einer solchen Wohlordnung nicht zulassen.<ref>{{Literatur
|Autor=[[Paul Cohen (Mathematiker)|Paul J. Cohen]]
|Titel=Set Theory and the Continuum Hypothesis
|Verlag=
|Ort=
|Jahr=1966
|ISBN=
}}</ref>

== Eigenschaft der natürlichen Zahlen ==

Manchmal bezeichnet der Wohlordnungssatz oder das Wohlordnungsprinzip aber die Eigenschaft der Menge der [[natürliche Zahlen|natürlichen Zahlen]], [[Wohlordnung|wohlgeordnet]] zu sein:

:Jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen enthält eine kleinste Zahl.

Dies wird ausgenutzt bei Beweisen durch [[Unendlicher Abstieg|unendlichen Abstieg]] oder die Methode des kleinsten Verbrechers:
Um zu zeigen, dass eine Menge <math>S</math> alle natürlichen Zahlen enthält,
kann man zunächst annehmen, dass sie nicht jede enthält. Wegen des
Wohlordnungsprinzips gibt es dann eine kleinste natürliche Zahl,
die nicht enthalten ist (ein ''kleinstes Gegenbeispiel'').
Wenn man dann zeigt, dass es ein noch kleineres Gegenbeispiel gibt,
erhält man einen Widerspruch zu der getroffenen Annahme. Alternativ kann man auch zeigen, dass man
für jedes Gegenbeispiel ein kleineres findet, und somit unendlich oft
absteigen kann, was aber in den natürlichen Zahlen nicht möglich ist.

Diese Beweismethode ist eine Umkehrung der
[[Induktion (Mathematik)|vollständigen Induktion]]
(so wie <math>\neg B \Rightarrow \neg A</math> [[Logische Äquivalenz|logisch äquivalent]] zu <math>A \Rightarrow B</math> ist),
basiert aber auf derselben Wohlordnungseigenschaft der natürlichen Zahlen.

== Anwendungsbeispiel ==

Ein Beispiel für diese Beweismethode ist folgende Aussage:

Die Untergruppen der additiven [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>(\Z,+)</math> der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] sind genau die Teilmengen <math>m\Z</math> mit <math>m\geq0</math>.

Beweis:

Dass diese Teilmengen Untergruppen sind, ist leicht nachzuprüfen. Sei nun <math>U</math> eine beliebige Untergruppe von <math>\Z</math>. Enthält <math>U</math> keine positive ganze Zahl, dann ist <math>U=\left\{0\right\}=0\Z</math>. Andernfalls sei <math>m</math> die kleinste positive ganze Zahl in <math>U</math>.
Sei <math>x</math> irgendein Element aus <math>U</math>, wir müssen zeigen, dass <math>x=mq</math> für eine ganze Zahl <math>q</math> ist.
Dazu dividieren wir <math>x</math> [[Division mit Rest|mit Rest]] durch <math>m</math>, also <math>x=mq+r</math>, mit <math>q,r</math> ganzzahlig und <math>0 \leq r < m</math>. Weil <math>r=x-mq</math> in <math>U</math> liegt, wäre <math>0<r<m</math> ein Widerspruch zur Wahl von <math>m</math> als kleinstem positiven Element von <math>U</math>, also ist <math>r=0</math> und <math>x=mq</math>.

== Einzelnachweise ==
<references/>

== Literatur ==
* Oliver Deiser: ''Einführung in die Mengenlehre'', Springer, 2004, ISBN 978-3540204015, Seite 238–250

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Mengenlehre: Wohlordnungssatz|Beweis des Wohlordnungssatzes und der Äquivalenz zum Auswahlaxiom}}

[[Kategorie:Satz (Mengenlehre)]]

[[he:עקרון הסדר הטוב]]