imported>PerfektesChaos: tk k

2019-07-30T01:02:07Z

tk k

Neue Seite

{{Anker|Antihomomorphismus}}In der [[Mathematik]] ist ein '''Antihomomorphismus''' eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die auf zwei [[Mengenlehre|Mengen]] mit jeweils einer [[Zweistellige Verknüpfung|zweistelligen Verknüpfung]] definiert ist und die die Reihenfolge der Operanden umkehrt. {{Anker|Antiisomorphismus}}Ein '''Antiisomorphismus''' ist ein [[Bijektivität|bijektiver]] Antihomomorphismus. {{Anker|Antiendomorphismus}}Ein '''Antiendomorphismus''' ist ein Antihomomorphismus, bei dem [[Definitionsmenge]] und [[Zielmenge]] übereinstimmen. Ein '''Antiautomorphismus''' ist ein Antiisomorphismus, der gleichzeitig Antiendomorphismus ist.

== Formale Definition ==
Seien <math>D \, </math> und <math>Z \, </math> Mengen, auf denen jeweils eine Rechenvorschrift oder [[zweistellige Verknüpfung]], z. B. eine Multiplikation,
: <math>d_1 \times_{\!D} d_2 = d \, </math>      und      <math>z_1 \times_{\!Z} z_2 = z \, </math>
existiert und sei
: <math>\phi\colon D \to Z</math>
eine [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] zwischen den beiden Mengen. Dann wird <math>\phi \, </math> Antihomomorphismus genannt, wenn
: <math>\phi(d_1 \times_{\!D} d_2) = \phi(d_2) \times_{\!Z} \phi(d_1) \, </math>
ist. Im Gegensatz zum [[Homomorphismus]] kehrt der Antihomomorphismus in der Zielmenge die Faktoren um.

== Beispiele ==
# In der [[Gruppentheorie]] ist die Inversionsabbildung<br />       <math>\phi \colon G \to G \qquad</math> mit <math>\qquad \phi(g) = g^{-1} \, </math><br /> ein Antiautomorphismus.
# In der [[Ringtheorie]] ist ein Antihomomorphismus eine Abbildung zwischen zwei Ringen, die bei der Multiplikation die Reihenfolge umkehrt, während diese bei der – ohnehin kommutativen – Addition keine Rolle spielt. Ein wichtiges Beispiel ist die [[Transponierte Matrix|Transposition einer Matrix]]<br />       <math>\begin{align}
(A+B)^T &= A^T + B^T\\
(A \cdot B)^T &= B^T \cdot A^T\\
\end{align}</math>
# Ein weiteres Beispiel für einen Ringantihomomorphismus ist die [[Quaternion#Konjugation|Konjugation]] bei den [[Quaternion]]en:<br />       <math>\begin{align}
\overline{x+y} &= \bar x+\bar y\\
\overline{x\cdot y} &= \bar y\cdot\bar x\\
\end{align}</math>
# Ist ''G'' eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] und <math>\psi\colon G\to G</math> ein Automorphismus, so ist <math>g\mapsto \psi(g^{-1})</math> ein Antiautomorphismus.

== Involutiver Antiautomorphismus ==
Die ersten 3 der oben genannten Antiautomorphismen sind gleichzeitig [[Involution (Mathematik)|Involutionen]], d. h. die doppelte Ausführung ergibt die [[identische Abbildung]]. Mit den Bezeichnungen von oben gilt nämlich:
# <math>(g^{-1})^{-1}=g \, </math>
# <math> \left(A^T\right)^T = A</math>
# <math>\overline{(\bar x)} = x</math>.
Man spricht dann von einem involutiven Antiautomorphismus. Gelegentlich findet sich auch die etwas verkürzte Bezeichnung „Anti-Involution“.

Der Antiautomorphismus im letzten Beispiel ist nur dann involutiv, wenn der Automorphismus <math>\psi \, </math> selbst schon involutiv ist.

== Bemerkung ==
Bei einem Antihomomorphismus (und einem Antiisomorphismus) kann entweder in der Definitionsmenge oder in der Zielmenge die Verknüpfung, wenn es keine weitere Bezugnahme auf sie gibt, durch eine dritte <math>\times \, </math> ersetzt werden, sagen wir:
: <math>z_2 \times_{\!Z} z_1 =: z_1 \times z_2 \, </math>.
Durch eine solche Umdefinition wird der Antihomomorphismus zu einem [[Homomorphismus]] in der neuen Verknüpfung.

Bei Antiendomorphismen (und Antiautomorphismen) ist die Bezugnahme aber von vornherein doppelt, da die Verknüpfung in Definitionsmenge und Zielmenge dieselbe ist. Hier wird durch eine Umdefinition nichts gewonnen.

== Weitere Eigenschaften ==
Ist die Verknüpfung der Zielmenge [[Kommutativgesetz|kommutativ]], dann ist ein Antihomomorphismus dasselbe wie ein Homomorphismus.

Die [[Komposition (Mathematik)|Zusammensetzung]] von zwei Antihomomorphismen ergibt einen Homomorphismus. Die Komposition eines Antihomomorphismus mit einem Homomorphismus ergibt einen Antihomomorphismus.

== Siehe auch ==
* [[Gegenring]]

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=Antiautomorphism |title=Antiautomorphism}}

[[Kategorie:Algebra]]

Antihomomorphismus - Versionsgeschichte

imported>PerfektesChaos: tk k