imported>Christian1985: /* Dualität von H1 und BMO */ einheitlichkeit

2026-02-18T18:47:32Z

Dualität von H1 und BMO: einheitlichkeit

Neue Seite

Der '''BMO-Raum''' ist ein Objekt aus der [[Harmonische Analyse|harmonischen Analysis]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]]. Die Abkürzung BMO steht für „{{lang|en|bounded mean oscillation}}“. Der [[Funktionenraum]] BMO wurde 1961 von [[Fritz John]] und [[Louis Nirenberg]] eingeführt. Dieser Raum ist ein [[Dualraum]] zum [[Hardy-Raum|reellen Hardy-Raum]] <math>H^1(\R^n)</math> ([[Charles Fefferman]], [[Elias Stein (Mathematiker)|Elias Stein]] 1972).<ref>Angekündigt 1971 von {{Webarchiv | url=http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams%2F1183532944 | wayback=20160304054253 | text=Fefferman ''Characterization of bounded mean oscillation'', Bulletin AMS, Band 77, 1971, S. 587/8}}. Der Aufsatz von Fefferman, Stein erschien 1972 in Acta Mathematica.</ref>

== Definitionen ==
=== Sharp-Funktion ===
Sei <math>f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\R^n)</math> eine [[lokal integrierbare Funktion]], so ist <math>f^\sharp</math> definiert durch
:<math>f^\sharp(x) = \sup_{\{B|x \in B\}} \frac{1}{\mu(B)} \int_B |f(y) - f_B| \mathrm{d} \mu(y),</math>
wobei das Supremum über alle Bälle <math>B</math>, welche <math>x</math> enthalten, gebildet wird. Mit <math>f_B</math> wird das [[Mittelwertintegral]]
:<math>f_B = \frac{1}{\mu(B)} \int_B f(z) \mathrm{d} \mu(z)</math>
bezeichnet. Diese Funktion ist eine [[Maximalfunktion]].

=== BMO-Raum ===
Eine lokal integrierbare Funktion <math>f</math> heißt BMO-Funktion, falls <math>f^\sharp</math> beschränkt ist.
Um eine [[Norm (Mathematik)|Norm]] auf diesem Funktionenraum zu erhalten, identifiziert man alle konstanten Funktionen miteinander und setzt
:<math>\|f\|_{\operatorname{BMO}} = \|f^\sharp\|_{L^\infty(\R^n)}.</math>
Würde man die konstanten Funktionen nicht miteinander identifizieren, so wäre <math>\|.\|_{\operatorname{BMO}}</math> nur eine [[Halbnorm]], also nicht definit. Mit dieser Norm wird der BMO-Raum zu einem [[Banachraum]]. Beispiele für BMO-Funktionen sind alle beschränkten, messbaren Funktionen und <math>\log(|P|)</math> für ein [[Polynom]] P, welches nicht identisch null ist.

== Eigenschaften ==
=== John-Nirenberg-Ungleichung ===
{{Hauptartikel|John-Nirenberg-Ungleichung}}

Sei <math>f\in \operatorname{BMO}(\R^n)</math>, dann existieren für jeden Ball <math>B\in\R^n</math> zwei Konstanten <math>c_1(n),c_2(n)>0</math>, so dass
:<math>\mu(\{x\in B\colon |f(x)-f_B|>t\})\leq c_1\mu(B)\exp\left(\frac{-c_2t}{\|f\|_\text{BMO}} \right)</math>
für alle <math>t>0</math>. Die Ungleichung gilt nicht in jedem BMO-Raum. Gilt sie in dem Raum, so sagt man, dass dieser Raum die ''John-Nirenberg-Eigenschaft'' besitzt.<ref>{{Literatur|Autor=Galia Dafni, Ryan Gibara und Andrew Lavigne|Titel=BMO and the John-Nirenberg Inequality on Measure Spaces|Sammelwerk=[[Analysis and Geometry in Metric Spaces]]|Band=8|Nummer=1|Datum=2020|Seiten=335-362|DOI=10.1515/agms-2020-0115}}</ref>

== Dualität von H<sup>1</sup> und BMO ==
[[Charles Fefferman]] zeigte 1971, dass der BMO-Raum ein Dualraum von <math>H^1</math>, dem reellen Hardy-Raum mit p = 1, ist. Die Paarung zwischen <math>f \in H^1</math> und <math>g \in \operatorname{BMO}</math> ist gegeben durch
:<math>T_g(f) = (f,g) = \int_{\R^n}f(x)g(x) \, \mathrm{d} x</math>.
Dann ist die Abbildung <math>\operatorname{BMO}\rightarrow (H^1)', g\mapsto T_g</math> ein Banachraum-Isomorphismus (nicht [[Isometrie|isometrisch]]), in diesem Sinne ist <math>\operatorname{BMO}</math> Dualraum von <math>H^1</math>.

Obiger Integralausdruck muss jedoch sorgsam definiert werden, da dieses Integral im Allgemeinen nicht absolut konvergiert. Jedoch gibt es für <math>f \in H^1</math> einen dichten Unterraum <math>H^1_a</math>, auf dem das Integral absolut konvergiert. Mit Hilfe des [[Satz von Hahn-Banach|Satzes von Hahn-Banach]] kann man dann das Funktional auf ganz <math>H^1</math> fortsetzen. Als Raum <math>H^1_a</math> kann man den Raum der H<sup>1</sup>-Funktionen mit kompaktem Träger und mit <math>\textstyle \int_{\mathbb{R^n}} f(x) \mathrm{d} x = 0</math> wählen. Dies ist genau der Unterraum, welcher eine endliche [[Hardy-Raum#Atomare_Zerlegung|atomare Zerlegung]] besitzt. Eine wichtige Konsequenz, welche sich aus dem Beweis zur Dualität ergibt, ist die folgende Ungleichung, die für <math>f \in H^1</math> und <math>g \in \operatorname{BMO}</math> gilt:
:<math>\int_{\R^n}f(x)g(x) \, \mathrm{d} x \leq c\int_{\R^n}M_\Phi(f)(x)\mathrm{d} x \int_{\mathbb{R}^n}g^\sharp(x) \, \mathrm{d} x = c\|f\|_{H^1(\R^n)} \|g\|_{\operatorname{BMO}}</math>.
Dabei ist <math>M_\Phi(\cdot)</math> die [[nicht-tangentiale Maximalfunktion]].

== Literatur ==
* Elias M. Stein: ''Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals'', Princeton University Press 1993, ISBN 0-691-03216-5

==Einzelnachweise==
<references />

{{SORTIERUNG:Bmoraum}}
[[Kategorie:Normierter Raum]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

BMO-Raum - Versionsgeschichte

imported>Christian1985: /* Dualität von H1 und BMO */ einheitlichkeit