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2021-03-12T20:17:45Z

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Die '''Cauchy-Relationen''' beschreiben [[Symmetrie (Physik)|Symmetrieeigenschaften]] des [[Hookesches Gesetz#Verallgemeinertes hookesches Gesetz|Elastizitätstensors]] eines Materials.

== Beschreibung ==
Die Cauchy-Relationen geben häufig näherungsweise vorhandene Symmetrieeigenschaften des Elastizitätstensor wieder:

:<math>c_{iijk} = c_{ijik}</math>

mit <math>i \neq j,k</math>. Dabei ist der [[Elastizitätstensor]] <math>c_{ijkl}</math> ist folgendermaßen über ein verallgemeinertes [[Hookesches Gesetz]] definiert, das Spannungen (Spannungstensor <math>\sigma_{ij}</math>) mit Verformungen (Verzerrungstensor <math>\varepsilon_{ij}</math>) verknüpft:

:<math>\sigma_{ij} = \sum_{kl} c_{ijkl}\varepsilon_{kl}</math>

mit <math>i,j,k,l = 1,2,3</math>. Allgemein ist der Elastizitätstensor ein [[Tensor]] 4. Stufe mit 81 Komponenten. Durch die Cauchy-Relationen kann die Anzahl zu bestimmenden Komponenten reduziert werden. Nach der (Kristall-)Gittertheorie haben die Cauchy-Relationen Gültigkeit, wenn folgende Voraussetzungen mehr oder weniger (siehe [[#Einschränkungen|Einschränkungen]]) erfüllt sind:
# es wirken reine Zentralkräfte zwischen den Bausteinen,
# die einzelnen Bausteine sitzen innerhalb des Kristallgitters in einem Symmetriezentrum,
# es sind keine Anharmonizitäten vorhanden, d. h., bei der Bildung des Gitterpotentials nach den Bewegungen/Verschiebungen der Bausteine verschwinden Glieder höherer Ordnung (größer 2. Ordnung),
# die thermische Energie der Substanzen ist vernachlässigbar und
# fehlende Initialspannungen.

== Einschränkungen ==

Eine strenge Gültigkeit der Cauchy-Relationen ist nicht zu erwarten, da insbesondere Punkt 4. nicht exakt erfüllt werden kann. Sogar bei tiefen Temperaturen werden die Cauchy-Relationen von keiner Substanz erfüllt.

Die Abweichungen von den Cauchy-Relationen <math>g_{mn}</math> sind ein Tensor 2. Stufe mit neun Komponenten und lassen sich als
:<math>c_{iijk} - c_{ijik} = g_{mn}(-1)^{m \cdot n(m-n)/2}</math>
mit <math>m \neq i,j</math> sowie <math>n \neq i,k</math> und <math>m,n,i,j,k = 1,2,3</math> beschreiben. Die Transformation des Tensors liefert beim Wechsel des kartesischen Bezugssystems mit den Grundvektoren <math>e_{p}</math> direkt den Beweis dafür. So ist
:<math>g'_{mn} = \sum_{p,q} a_{mp}a_{nq}g_{pq}</math>
mit <math>g'_{mn}</math> als Komponenten dieses Tensors in einem neuen Bezugssystem mit den Grundvektoren <math>e'_{m}</math>, die sich aus den Grundvektoren <math>e_{p}</math> anhand von
:<math>e'_{m} = \sum_{p} a_{mp}e_{p}</math>
ergeben.
Daraus folgen physikalisch wichtige Invarianzeigenschaften aus den Abweichungen der Cauchy-Relationen. Die Komponenten <math>g_{mm}</math> mit <math>m = 1,2,3</math> verhalten sich z. B. [[Symmetrie (Physik)|invariant]] gegenüber einer Drehung des kartesischen Bezugssystems um die Achse <math>e_{m}</math>. <math>g_{mm}</math> ist daher eine charakteristische Größe der Ebene, die senkrecht auf <math>e_{m}</math> steht. Folglich finden die Bindungsmerkmale der atomaren Bausteine einer homogenen und quasihomogenen Substanz Ausdruck in der skalaren Invariante <math>G = g_{11} + g_{22} + g_{33}</math>.

Beispielsweise werden [[kristallin]]e Materialien mit [[Kubisches Kristallsystem|kubischer]] [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]] und isotrope Substanzen (wie Glas) nur durch eine unabhängige Komponente <math>g</math> beschrieben.
Bei Substanzen mit vorherrschender Ionen-, Metall-, [[Van-der-Waals-Kräfte|Van-der-Waals]]- und [[Wasserstoffbrückenbindung]]en ist der Querkontraktionskoeffizient <math>c_{iijj}</math> größer als der entsprechende Scherwiderstand <math>c_{ijij}</math> und somit <math>g_{mm} > 0</math>. Oft besitzen diese Substanzen Strukturen mit maximaler [[Packungsdichte (Kristallographie)|Packungsdichte]] der atomaren Bausteine. Gerichtete Bindungsanteile sprich [[kovalent]]e Bindungen oder eine beträchtliche richtungsabhängige Überlappung der [[Elektronenwolke]]n in Substanzen zeigen <math>g_{mm} < 0</math>. Beispiele hierfür sind [[Gerüstsilikate]], [[Magnesiumoxid]], [[Beryllium]], [[Aluminiumoxid]] ([[Korund]]), Gläser reich an [[Siliciumdioxid]] (je größer der Siliciumdioxid-Gehalt, desto kleiner <math>g</math>) und [[Lithiumfluorid]].
[[Kovalent]]e Bindungen tragen zu höheren Scherwiderständen und zu niedrigen Querkontraktionskoeffizienten bei. Strukturell und chemisch verwandte Kristallarten und [[Strukturtyp#Isotypie|isotype]] Stoffreihen zeigen folgende Merkmale:
# Durch die Substitution von Hauptgruppenelementen durch Nebengruppenelemente oder durch Bausteine mit geringerer Symmetrie innerhalb von Strukturen einer Substanz nimmt <math>g_{mm}</math> zu. Dies wird verursacht durch steigende Querkontraktionskoeffizienten und sinkende Scherwiderstände.
# Ist die Polarisierbarkeit der substituierten Bausteine größer, so nimmt <math>g_{mm}</math> leicht zu.
# Da für Substanzen mit simpler Struktur <math>\mathrm d \log(g_{mm}) / \mathrm dT</math> oftmals positiv ist, erhöht sich mit zunehmender Temperatur die Abweichung der Cauchy-Relationen. Stoffe mit asymmetrischen Bausteinen folgen nicht diesem Verhalten.

Festzuhalten ist noch die Tatsache, dass auch nur feine Unterschiede in der Struktur einiger Stoffe sich auf die <math>g</math>-Werte niederschlagen. Diese Werte dienen somit als Indikator für Strukturdifferenzen.

== Literatur ==

*G. Leibfried: ''Mechanische und thermische Eigenschaften der Kristalle.'' In: S. Flügge (Hrsg.): ''Handbuch der Physik.'' Band VII, 1. Auflage, Springer, Berlin/Göttingen/Heidelberg 1955.
*{{Literatur|Autor=S. Haussühl|Titel=Die Abweichungen von den Cauchy-Relationen|Sammelwerk=Physik der kondensierten Materie|Band=6|Nummer=3|Jahr=1967|Seiten=181–192|ISSN=0722-3277|DOI=10.1007/BF02422715}}

[[Kategorie:Klassische Mechanik]]

Cauchy-Relationen - Versionsgeschichte

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