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2024-12-01T20:00:47Z

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Die '''diskrete Sinustransformation''' (DST, {{enS|''discrete sine transform''}}) ist eine [[Reelle Zahl|reellwertige]], [[Diskretheit|diskrete]], [[Lineare Abbildung|lineare]], [[Orthogonale Abbildung|orthogonale]] [[Transformation (Mathematik)|Transformation]], die ähnlich wie der [[Imaginäre Zahl|imaginäre Teil]] der [[Diskrete Fourier-Transformation|diskreten Fouriertransformation]] (DFT) ein [[zeitdiskretes Signal]] vom [[Zeitbereich]] (bei Zeitsignalen) bzw. dem Ortsbereich (bei räumlichen Signalen) in den [[Frequenzspektrum|Frequenzbereich]] transformiert.

Sie ist eng verwandt mit der [[Diskrete Kosinustransformation|diskreten Kosinustransformation]] (DCT), basiert aber im Gegensatz auf der [[Gerade und ungerade Funktionen|ungeraden]] [[Sinusfunktion]].<ref>S. A. Martucci: ''Symmetric convolution and the discrete sine and cosine transforms'', in ''Proceedings of the IEEE in Signal Processing'', Ausgabe ''SP-42'', 1994, S. 1038–1051.</ref>

Anwendung der DST, wie auch der DCT, liegen bei der Lösung von [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]]. Bei dem Videostandard [[H.265]] kann die DST bei bestimmten Einstellungen zum Einsatz kommen.<ref name="vid256"/> Im Gegensatz zur DCT besitzt die DST in den meisten Fällen keine wesentliche Anwendung im Bereich der [[Signalverarbeitung]] und [[Datenkompression]].

== Definition ==
[[Datei:DST-symmetries.svg|mini|upright=1.5|Unterschiedliche [[periodische Fortsetzung]]en bei DST-I bis DST-IV an einer 9 Elemente langen Beispielfolge in rot.]]
Es gibt in Summe acht verschiedene Formen der DST, die in der Literatur mit DST-I bis DST-VIII bezeichnet werden. Sie unterscheiden sich durch die Art, wie die endliche Folge am Anfang der Folge ungerade fortgesetzt wird. Die DST-I bis DST-IV ist, bis auf einen konstanten Faktor, gleichwertig zur reellwertigen, ungeraden DFT mit gerader Ordnung. Die verschiedenen Arten der DST bilden dabei jeweils die reellwertige Eingabefolge, aus dem Orts- bzw. Zeitbereich, mit ''N'' Elementen ''x''[''n''] auf eine reellwertige Ausgabefolge, den Spektralbereich, ''X''[''n''] ab:

:<math>x[n]=x_0, \ldots, x_{N-1} \Rightarrow X[n]=X_0, \ldots, X_{N-1}</math>

Die vier gebräuchlichsten DST-Arten sind DST-I bis DST-IV:

=== DST-I ===
Die DST-I ist bezüglich ihrer Randwerte ungerade am Anfang um ''x''−1 und ungerade am Ende um ''x''''N''.

:<math>X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \sin \left[\frac{\pi}{N+1} (n+1) (k+1) \right] \quad \quad k = 0, \dots, N-1</math>

=== DST-II ===
Die DST-II ist bezüglich ihrer Randwerte ungerade am Anfang um ''x''−1/2 und ungerade am Ende um ''x''''N''−1/2.

:<math>X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \sin \left[\frac{\pi}{N} \left(n+\frac{1}{2}\right) (k+1)\right] \quad \quad k = 0, \dots, N-1</math>

=== DST-III ===
Die DST-III ist bezüglich ihrer Randwerte ungerade am Anfang um ''x''−1 und gerade am Ende um ''x''''N''−1.

:<math>X_k = \frac{(-1)^k}{2} x_{N-1} + \sum_{n=0}^{N-2} x_n \sin \left[\frac{\pi}{N} (n+1) \left(k+\frac{1}{2}\right) \right] \quad \quad k = 0, \dots, N-1</math>

=== DST-IV ===
Die DST-IV ist bezüglich ihrer Randwerte ungerade am Anfang um ''x''−1/2 und gerade am Ende um ''x''''N''−1/2.

:<math>X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \sin \left[\frac{\pi}{N} \left(n+\frac{1}{2}\right) \left(k+\frac{1}{2}\right) \right] \quad \quad k = 0, \dots, N-1</math>

== Inverse Transformation ==
Wie jede Transformation besitzt auch die DST eine inverse Transformation. Die Inverse der DST-I ist die DST-I mit einem konstanten Faktor 2/(''N''+1). Die Inverse der DST-IV ist die DST-IV mit dem konstanten Faktor 2/''N''. Die Inverse der DST-II ist die DST-III mit einem Faktor 2/''N'' und umgekehrt.

Ähnlich wie bei der DCT sind die Vorfaktoren der DST in der Literatur nicht einheitlich festgelegt. Beispielsweise wird von manchen Autoren ein zusätzlicher Faktor von <math>\sqrt{2/N}</math> eingeführt, um den zusätzlichen Faktor bei der inversen Operation zu vermeiden. Durch geeignete Wahl des konstanten Faktors kann die Transformationsmatrix eine [[orthogonale Matrix]] darstellen.

== Literatur ==
*{{Literatur
|Autor = Vladimir Britanak, Patrick C. Yip, K. R. Rao
|Titel = Discrete Cosine and Sine Transforms: General Properties, Fast Algorithms and Integer Approximations
|Verlag = Academic Press | Jahr = 2007 | ISBN = 978-0-12373624-6 }}

== Weblinks ==
* [http://www.fftw.org/ FFTW]. Eine quelloffene C-Bibliothek unter der [[GNU General Public License|GPL]] zur Berechnung der DST-I bis DST-IV ein einer oder mehrerer Dimensionen.
* [http://fftw.org/fftw-paper-ieee.pdf The Design and Implementation of FFTW3] (engl.; PDF; 342 kB)

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="vid256">{{Internetquelle | url= http://keyj.emphy.de/files/projects/videocomp.pdf | titel= Videokompressionsverfahren - von MPEG-1 bis H.264 und H.265 | autor= Martin Fiedler | zugriff=2014-03-10}}</ref>
</references>

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]
[[Kategorie:Diskrete Transformation]]

Diskrete Sinustransformation - Versionsgeschichte

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