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2026-02-28T13:01:31Z

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{{Dieser Artikel|stellt den Begriff der Festkörperphysik dar. Für das historische physikalische Konzept siehe [[Elektromagnetische Masse]].}}

Die '''effektive Masse''' <var>m</var>* ist in der [[Festkörperphysik]] die scheinbare [[Masse (Physik)|Masse]] eines [[Teilchen]]s oder [[Quasiteilchen]]s in einem [[Kristall]] im Rahmen einer [[semiklassisch]]en Beschreibung. Ähnlich wie die [[reduzierte Masse]] erlaubt die effektive Masse die Verwendung einer vereinfachten [[Bewegungsgleichung]].

In vielen Situationen verhalten sich [[Elektron]]en und [[Defektelektron|Löcher]] in einem Kristall, als wären sie [[Freies Teilchen|freie Teilchen]] im [[Vakuum]], nur mit einer veränderten Masse. Diese effektive Masse wird üblicherweise angegeben in Einheiten der Elektronenmasse (<var>m</var>e = 9,11 × 10−31 [[Kilogramm|kg]]). Experimentelle Methoden zur Bestimmung der effektiven Masse bedienen sich u. a. der [[Zyklotronresonanz]].

Die Grundidee ist, dass sich der Energie-Impuls-Zusammenhang (d. h. die [[Dispersionsrelation]]) eines Teilchens oder Quasiteilchens in der Nähe eines [[lokales Minimum|lokalen Minimums]] [[Reihenentwicklung|entwickeln]] lässt als:

:<math>E = E_0 + \frac{1}{2 m^*} (p-p_0)^2 + \mathcal{O}\left((p-p_0)^3\right)</math>

mit
* der [[Energie]] <math>E</math>
* der [[Ruheenergie]] <math>E_0</math>
* dem [[Impuls]] ''p''
* den höheren [[Term]]en <math>\mathcal O</math>.
Der quadratische Term sieht dabei aus wie die [[kinetische Energie]] eines Teilchens der Masse <var>m</var>*.

== Definition und Eigenschaften ==
=== Effektive Masse im Kristallgitter ===
Die effektive Masse wird analog zum [[Newtonsche Gesetze|zweiten Newtonschen Gesetz]] definiert (<math>a = \tfrac{1}{m} \cdot F</math>, [[Beschleunigung]] gleich [[Kraft]] pro [[Masse (Physik)|Masse]]):

Eine [[Quantenmechanik|quantenmechanische]] Beschreibung des Kristall-Elektrons in einem äußeren elektrischen Feld ''E'' liefert die [[Bewegungsgleichung]]

::<math>a = \frac{1}{\hbar^2} \cdot \frac{\mathrm d^2 \varepsilon}{\mathrm d k^2} \cdot qE </math>,

mit
* der Beschleunigung ''a''
* der [[reduzierte Planck-Konstante|reduzierten Planck-Konstante]] ''<math>\hbar</math>''
* der Energie <math>\varepsilon(k)</math> als Funktion von ''k'' (die [[Dispersionsrelation]])
* der [[Wellenzahl]] ''k'' der dem Elektron zugeschriebenen [[Bloch-Funktion]] (oft etwas lax als [[Impuls]] bezeichnet, da <math> p=\hbar \cdot k</math> der [[Quasiimpuls]] des Teilchens ist)
* der [[Elektrische Ladung|Ladung]] ''q'' des Elektrons.

Ein freies Elektron im Vakuum hingegen würde folgende Beschleunigung erfahren:

::<math>a = \frac{1}{m_\mathrm e} \cdot qE </math>

Somit beträgt die effektive Masse ''m*'' des Elektrons im Kristall

:<math>\Rightarrow m^{*} = \hbar^2 \cdot \left[ \frac{\mathrm d^2 \varepsilon}{\mathrm d k^2} \right]^{-1}</math>.

Für ein freies Teilchen ist die Dispersionsrelation [[Quadratische Funktion|quadratisch]], und somit wäre die effektive Masse dann konstant (und gleich der tatsächlichen Elektronenmasse).

In einem Kristall dagegen ist die Situation komplexer: Die Dispersionsrelation ist im Allgemeinen ''nicht'' quadratisch, was zu einer geschwindigkeitsabhängigen effektiven Masse führt, s. a. bei der [[Bandstruktur]]. Das Konzept der effektiven Masse ist deshalb am nützlichsten im Bereich von Minima oder Maxima der Dispersionsrelation, wo sie durch quadratische Funktionen angenähert werden kann. Die effektive Masse ist also [[proportional]] zur inversen [[Krümmung]] der [[Bandstruktur|Bandkante]]. Die interessante Physik des [[Halbleiter]]s spielt sich ab:
* in einem Minimum des [[Leitungsband]]es (Krümmung positiv = effektive Masse der Elektronen positiv) und
* in einem Maximum des [[Valenzband]]es (Krümmung negativ = effektive Masse der Elektronen negativ).
Einem Loch ordnet man die negative effektive Elektronenmasse im Valenzband zu, die somit wieder positiv ist.

Bei Elektronenenergien weit weg von solchen Extrema kann die effektive Masse auch im Leitungsband [[Negative Zahl|negativ]] oder sogar [[unendlich]] werden (siehe [[Gunn-Effekt]]).

Diese auf den ersten Blick eigenartige Eigenschaft kann man sich im [[Welle-Teilchen-Dualismus|Wellenbild]] durch die Bragg-Reflexion im eindimensionalen Gitter erklären: Mit der [[Bragg-Gleichung|Bragg-Bedingung]]

:<math>2 \cdot d \cdot \sin \theta = n \cdot \lambda</math>

für die Reflexion an den Ionen„ebenen“ (<math>\theta = 90^\circ</math> und <math>\lambda = 2 \pi / k</math>) folgt

:<math>k = \frac{n \cdot \pi}{d}</math>.

Interpretation
* Für kleine Beträge von <math>k</math> wird die Bedingung kaum erfüllt, die Elektronen bewegen sich entsprechend ihrer freien Masse ''m''e.
* Für größere Beträge von k wird zunehmend reflektiert, bis effektiv keine Beschleunigung durch ein elektrisches Feld möglich ist; jetzt ist <math>m^* = \infty</math>.
* Bei noch größeren k-Werten führt eine Beschleunigung durch ein externes Feld durch die Wirkung der internen Kräfte (Wechselwirkung mit [[Phonon]]en im [[Welle-Teilchen-Dualismus|Teilchenbild]]) unter Umständen zu einer Beschleunigung entgegengesetzt zur erwarteten Richtung, die effektive Masse ist folglich negativ.

=== Effektive Masse ohne Kristallfeld ===
Durch Modifikation der Energie-Impuls-Relation <math>\varepsilon(k)</math> der Atome in einem [[Bose-Einstein-Kondensat]] gelang es 2017, ihnen in einem gewissen Impulsbereich eine negative effektive Masse (gemäß der obigen Formel) zu geben.<ref>{{Literatur |Autor=Khamehchi, M. A.; Hossain, Khalid; Mossman, M. E.; Zhang, Yongping; Busch, Th.; Forbes, Michael McNeil; Engels, P. |Titel=Negative-Mass Hydrodynamics in a Spin-Orbit–Coupled Bose-Einstein Condensate |Sammelwerk=Physical Review Letters |Band=118 |Nummer=15 |Datum=2017 |Seiten=155301 |DOI=10.1103/PhysRevLett.118.155301 |Online=[http://link.aps.org/pdf/10.1103/PhysRevLett.118.155301 online] |Abruf=2017-04-19 |Sprache=en}}</ref> Die Autoren schreiben klar von „effektiver Masse“, Spekulationen über die Erzeugung von „negativer Masse“ als solcher (wie etwa in [[Spiegel Online]]<ref name="SPON-1143681">{{Internetquelle |autor=koe |url=https://www.spiegel.de/wissenschaft/technik/washington-forscher-erzeugen-negative-masse-a-1143681.html |titel=Washington: Forscher erzeugen negative Masse |werk=[[Spiegel Online]] |datum=2017-04-18 |abruf=2020-04-13 |sprache=de}}</ref>) erscheinen derzeit unbegründet.

== Effektive Masse als Tensor ==
Die effektive Masse ist im Allgemeinen richtungsabhängig (bezüglich der [[Kristallachse]]n) und somit eine [[tensor]]ielle Größe. Für diesen Tensor gilt:

:<math>\left(\frac{1}{m^{*}}\right)_{ij} = \frac{1}{\hbar^2} \cdot \frac{\partial^2 \varepsilon}{\partial k_i \partial k_j}</math>

Dies bedeutet insbesondere, dass die Beschleunigung <math>\vec a = \frac{1}{m^*}q \vec E</math> der Elektronen in einem [[Elektrisches Feld|elektrischen Feld]] ''nicht'' [[Parallelität (Geometrie)|parallel]] zum Feldvektor <math>\vec E</math> sein muss. Insbesondere wird es (analog zum [[Trägheitstensor]]) aufgrund der [[Symmetrische_Matrix#Symmetrische_Tensoren|Symmetrie]] von ''m*'' ein [[Hauptachsentransformation|Hauptachsensystem]] geben, in welchem ''(1/m*)ij'' [[Diagonalmatrix|Diagonalform]] annimmt, mit den zugehörigen [[Eigenwert]]en auf der Diagonalen. Liegt das elektrische Feld <math>\vec E</math> dann entlang einer dieser Hauptachsen (was sich durch Drehung des Kristalls im konstanten Feld erreichen lässt), so geht nur der zugehörige Eigenwert ein. Da nicht alle Eigenwerte gleich sein müssen, gibt es i. A. Hauptachsen mit großem und solche mit kleinem Eigenwert der effektiven Masse. Kleine Eigenwerte führen bei konstantem elektrischen Feld zu einer höheren Beschleunigung der Ladungsträger. Mit steigender Temperatur nehmen die effektiven Massen zu.

Bei der Berechnung der [[Zustandsdichte]] fließt die effektive Masse mit ein. Um die Form des [[isotrop]]en Falls beibehalten zu können, definiert man einen [[Mittelwert]] als '''Zustandsdichtemasse''':

:<math>m_{d} = \sqrt[3]{N^2 \cdot m_{1}^{*} \cdot m_{2}^{*} \cdot m_{3}^{*}}</math>

mit
* dem [[Entartungsfaktor]] N, der die Zahl der äquivalenten Minima angibt (meist 6 oder 8)
* den [[Eigenwert]]en <math>m_{i}^{*}</math> desTensors der effektiven Masse.

Die Leitfähigkeit bzw. [[Beweglichkeit (Physik)|Mobilität]] ist [[proportional]] zur [[Kehrwert|reziproken]] effektiven Masse. In [[anisotrop]]en Systemen lässt sich eine mittlere Mobilität angeben, in der man die '''Leitfähigkeitsmasse''' <math>m_{c}</math> verwendet:

:<math>\frac{1}{m_{c}} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{m_{1}^{*}} + \frac{1}{m_{2}^{*}} + \frac{1}{m_{3}^{*}} \right)</math>

== Effektive Masse für Silizium ==
=== Leitungsband ===
Für Elektronen im Leitungsband gilt bei einer Temperatur von <math>T = 1{,}4 \,\mathrm{K}</math> nahe dem [[absoluter Nullpunkt|absoluten Nullpunkt]]:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Formelzeichen || Effektive Masse
|-
| <math>m_{1}^{*} </math>|| <math>0{,}19 \, m_\mathrm e</math>
|-
| <math>m_{2}^{*} </math>|| <math>0{,}19 \, m_\mathrm e</math>
|-
| <math>m_{3}^{*} </math>|| <math>0{,}91 \, m_\mathrm e</math>
|}
Man nennt
* die zwei gleichen Massen <math>m_{1}^{*} = m_{2}^{*}</math>: ''transversale Masse'' <math>m_\mathrm{t}</math>
* die Masse <math>m_{3}^{*}</math>: ''longitudinale Masse'' <math>m_\mathrm{l}</math>.
Die Zustandsdichtemasse (<math>N = 6</math>) ist:
* bei <math>T = 4{,}2 \, \mathrm{K}</math>: <math>m_{d} = 1{,}06 \, m_\mathrm e</math>
* bei <math>T = 300 \, \mathrm{K}</math>: <math>m_{d} = 1{,}09 \, m_\mathrm e</math>.<ref>{{cite journal |author=Martin Green |title=Intrinsic concentration, effective densities of states, and effective mass in silicon |journal=Journal of Applied Physics |volume=67 |issue=6 |pages=2944–2954 |doi=10.1063/1.345414 |date=1990 |language=en}}</ref>
Die [[Leitfähigkeit]]smasse bei <math>T = 1{,}4 \, \mathrm{K}</math> ist <math>m_{c} = 0{,}26 \, m_\mathrm e</math>.

=== Valenzband ===
Im Valenzband gibt es auf Grund von [[Spin-Bahn-Wechselwirkung]] (<math>l=1, s=1/2</math>) an der [[Bandkante]] zwei Subbänder:
* die schweren Löcher (''heavy holes'') mit <math>j=3/2</math> und <math>m_j=\pm3/2</math> und
* die leichten Löcher (''light holes'') mit <math>j=3/2</math> und <math>m_j=\pm1/2</math>.
Beide haben unterschiedliche effektive Massen, bei <math>T = 4{,}2 \, \mathrm{K}</math> ist:
* <math>m_\mathrm{hh} = 0{,}54 \, m_\mathrm e</math> und
* <math>m_\mathrm{lh} = 0{,}15 \, m_\mathrm e</math>.

Darüber hinaus gibt es noch ein weiteres Subband (''split off band'') mit <math>j=1/2</math>, das energetisch abgesenkt gegenüber der Valenzbandkante ist; bei <math>T = 4{,}2 \, \mathrm{K}</math> ist <math>m_\mathrm{so} = 0{,}25 \, m_\mathrm e</math>.

Die Zustandsdichtemasse des Valenzbands ist:
* bei <math>T = 4{,}2 \, \mathrm{K}</math>: <math>m_{d} = 0{,}59 \, m_\mathrm e</math>
* bei <math>T = 300 \, \mathrm{K}</math>: <math>m_{d} = 0{,}81 \, m_\mathrm e</math>.<ref>''Landolt-Börnstein'': Condensed Matter (III); Semiconductors (41); Group IV Elements, IV-IV and III-V Compounds (A1); Electronic, Transport, Optical and Other Properties (β); Silicon: conduction band, effective masses; Silicon: valence band, effective masses</ref>

== Weblinks ==
* [http://ece-www.colorado.edu/~bart/book/effmass.htm Anwendungen und Werte für einige Halbleiter (University of Colorado, englisch)]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4400801-6|LCCN=sh85041189}}

[[Kategorie:Festkörperphysik]]

Effektive Masse - Versionsgeschichte

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