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2022-05-20T08:35:32Z

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In der [[Funktionentheorie]] ist eine '''ganze Funktion''' eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die in der gesamten [[Komplexe Zahl#Komplexe Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]] <math>\mathbb{C}</math> [[Holomorphe Funktion|holomorph]] (also [[Analytische Funktion|analytisch]]) ist. Typische Beispiele ganzer Funktionen sind [[Polynom]]e oder die [[Exponentialfunktion]] sowie Summen, Produkte und Verknüpfungen davon, etwa die [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und die [[Hyperbelfunktion]]en.

== Eigenschaften ==
Jede ganze Funktion kann als eine überall konvergierende [[Potenzreihe]] um ein beliebiges Zentrum dargestellt werden. Weder der [[Logarithmus]] noch die [[Wurzelfunktion]] sind ganz.

Eine ganze Funktion kann eine [[isolierte Singularität]], insbesondere sogar eine [[wesentliche Singularität]] im komplexen [[Unendlich#Funktionentheorie|Punkt im Unendlichen]] (und nur da) besitzen.

Eine wichtige Eigenschaft ganzer Funktionen ist der [[Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]]: Beschränkte ganze Funktionen sind [[Konstante Funktion|konstant]]. Damit lässt sich recht elegant der [[Fundamentalsatz der Algebra]] beweisen. Der [[Satz von Picard|kleine Satz von Picard]] ist eine beträchtliche Verschärfung des Satzes von Liouville:
Eine ''nichtkonstante'' ganze Funktion nimmt alle Werte der komplexen Zahlenebene an, bis auf möglicherweise einen.
Letztere Ausnahme illustriert beispielsweise die [[Exponentialfunktion]], die nicht den Wert 0 annimmt.

== Weitere Beispiele ==
[[Datei:AiryBi Real Surface.png|mini|Die Airy-Funktion <math>\operatorname{Bi}(x+iy)</math> (hier der Realteil) ist eine ganze Funktion.]]
* der Kehrwert der [[Gammafunktion]] <math>1/\Gamma(z)</math>
* die [[Fehlerfunktion]] <math>\operatorname{erf}(z)</math>
* der [[Integralsinus]] <math>\operatorname{Si}(z)</math>
* die [[Airy-Funktion]]en <math>\operatorname{Ai}(z)</math> und <math>\operatorname{Bi}(z)</math>
* die [[Fresnelsche Integrale|Fresnelschen Integrale]] <math>S(z)</math> und <math>C(z)</math>
* die [[Riemannsche Xi-Funktion]] <math>\xi(z)</math>
* die [[Besselsche Differentialgleichung|Besselfunktionen]] erster Art <math>J_n(z)</math> für ganzzahlige <math>n</math>
* die [[Struve-Funktion]]en <math>H_n(z)</math> für ganzzahlige <math>n > -2</math>
* der [[Größter gemeinsamer Teiler|größte gemeinsame Teiler]] bezüglich einer natürlichen Zahl <math>n</math> in der verallgemeinerten Form<ref>Wolfgang Schramm: ''The Fourier transform of functions of the greatest common divisor''. In: ''Integers – The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory'', 8, 2008, A50 ([http://www.integers-ejcnt.org/i50/i50.Abstract.html Abstract])</ref>
** <math>\textstyle\operatorname{ggT}(n,z) = \sum\limits_{m=1}^n e^{2\pi i \frac{m}{n} z} \sum\limits_{d|n}\frac{c_d(m)}{d} \quad \text{mit} \quad c_d(m) = \!\!\!\!\sum\limits_{k=1 \atop \operatorname{ggT}(k,d)=1}^d \!\!\!\! e^{2\pi i \frac{k}{d} m}</math> ([[Ramanujansumme]])

== Literatur ==
* [[Klaus Jänich]]: ''Funktionentheorie. Eine Einführung''. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2004
* [[Reinhold Remmert]]: ''Funktionentheorie I''. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1992
* [[Eberhard Freitag]], Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2000

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=EntireFunction |title=Entire Function}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Ganze Funktion - Versionsgeschichte

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