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2024-01-03T01:54:44Z

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Die '''Gesamtnorm''' ist in der [[Mathematik]] eine auf der [[Maximumsnorm]] basierende [[Matrixnorm]]. Sie ist definiert als das [[Maximales und minimales Element|betragsmaximale]] Matrixelement multipliziert mit dem [[Geometrisches Mittel|geometrischen Mittel]] aus der Anzahl der Zeilen und Spalten der [[Matrix (Mathematik)|Matrix]]. Die Gesamtnorm ist [[Submultiplikativität|submultiplikativ]] und unter bestimmten Einschränkungen an die Dimensionen der Matrix mit allen [[p-Norm|''p''-Normen]] [[Matrixnorm#Verträglichkeit mit einer Vektornorm|verträglich]], sie ist aber keine [[Operatornorm]]. Sie wird insbesondere in der [[Numerische lineare Algebra|numerischen linearen Algebra]] eingesetzt.

== Definition ==

Die Gesamtnorm <math>\| \cdot \|_G</math> einer [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen]] (''m'' × ''n'')-[[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> mit <math>\mathbb K</math> als dem [[Körper (Algebra)|Körper]] der reellen oder komplexen Zahlen ist definiert als

:<math>\| A \|_G := \sqrt{m n} \cdot \!\max_{{i=1, \ldots , m} \atop {j=1, \ldots , n}} | a_{ij} |</math>,

also das [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] aus dem [[Geometrisches Mittel|geometrischen Mittel]] der Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix mit dem [[Maximales und minimales Element|Maximum]] der [[Betragsfunktion|Beträge]] aller Matrixelemente <math>a_{ij}</math>. Die Gesamtnorm entspricht damit bis auf den Vorfaktor dem maximalen Eintrag eines [[Vektor]]s der Länge <math>m \cdot n</math>, in dem alle Einträge der Matrix untereinander notiert sind, und damit der [[Maximumsnorm]] dieses Vektors.

Für den Spezialfall einer quadratischen Matrix <math>A \in {\mathbb K}^{n \times n}</math> ist die Gesamtnorm durch

:<math>\| A \|_G = n \cdot \!\max_{i,j=1, \ldots , n} | a_{ij} |</math>

gegeben.

== Beispiele ==

'''Reelle Matrix'''

Die Gesamtnorm der reellen (2 × 2)-Matrix

:<math>A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \\ \end{pmatrix}</math>

ist gegeben als

:<math>\| A \|_G = 2 \cdot \max_{i, j = 1, 2} | a_{ij} |= 2 \cdot \max \{ | 1 | , | {-}1 | , | {-}2 | , | 3 | \} = 2 \cdot \max \{ 1 , 1 , 2 , 3 \} = 6</math>.

'''Komplexe Matrix'''

Die Gesamtnorm der komplexen (2 × 2)-Matrix

:<math>A=\begin{pmatrix} 1 & i \\ -2i & 3-4i \\ \end{pmatrix}</math>

ist gegeben als

:<math>\| A \|_G = 2 \cdot \max_{i, j = 1, 2} | a_{ij} | = 2 \cdot \max \{ | 1 | , | i | , | {-}2i | , | 3-4i | \} = 2 \cdot \max \{ 1 , 1 , 2 , 5 \} = 10</math>.

== Eigenschaften ==

=== Normaxiome ===

Da die [[Matrizenaddition|Summe]] zweier Matrizen <math>A, B \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> und die [[Skalarmultiplikation|Multiplikation]] einer Matrix mit einem [[Skalar (Mathematik)|Skalar]] komponentenweise definiert sind, folgen die Normeigenschaften [[Definitheit]], [[Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und [[Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] direkt aus den entsprechenden Eigenschaften der Maximumsnorm für Vektoren. Die Skalierung mit dem konstanten Vorfaktor <math>\sqrt{mn}</math> hat dabei keinen Einfluss auf die Aussagen.

=== Submultiplikativität ===

Die Gesamtnorm ist [[Submultiplikativität|submultiplikativ]], das heißt für Matrizen <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> und <math>B \in {\mathbb K}^{n \times l}</math> gilt

:<math>\| A \, B \|_G \leq \| A \|_G \cdot \| B \|_G</math>,

wie mit Hilfe der [[Dreiecksungleichung]] und mit der Abschätzung einer Summe von Matrixelementen durch das entsprechende Vielfache des maximalen Elements über

:<math>\begin{align} \| A \, B \|_G & = \sqrt{ml} \cdot \!\max_{{i=1, \ldots , m} \atop {k=1, \ldots , l}} \left| \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{jk} \right| \leq \sqrt{ml} \cdot \!\max_{{i=1, \ldots , m} \atop {k=1, \ldots , l}} \sum_{j=1}^n | a_{ij} | \cdot | b_{jk} | \leq \sqrt{ml} \cdot n \cdot \!\max_{{i=1, \ldots , m} \atop {j=1, \ldots , n}} | a_{ij} | \cdot \!\max_{{j=1, \ldots , n} \atop {k=1, \ldots , l}} | b_{jk} | = \\ & = \sqrt{mn} \cdot \!\max_{{i=1, \ldots , m} \atop {j=1, \ldots , n}} | a_{ij} | \cdot \sqrt{nl} \cdot \!\max_{{j=1, \ldots , n} \atop {k=1, \ldots , l}} | b_{jk} | = \| A \|_G \cdot \| B \|_G \end{align}</math>

gezeigt werden kann. Hieraus erklärt sich auch der Grund für die Skalierung, da die Gesamtnorm ohne diesen Vorfaktor im Allgemeinen nicht submultiplikativ ist.

=== Verträglichkeit ===

Die Gesamtnorm ist mit allen [[p-Norm|''p''-Normen]] [[Matrixnorm#Verträglichkeit mit einer Vektornorm|verträglich]], sofern <math>m \leq n</math> für <math>p < 2</math> und <math>m \geq n</math> für <math>p > 2</math> gilt. Unter diesen Einschränkungen gilt für eine Matrix <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> und einen Vektor <math>x \in {\mathbb K}^n</math> die Ungleichung

:<math>\| A \, x \|_p \leq \| A \|_G \cdot \| x \|_p </math>.

Die Verträglichkeit folgt dabei aus der Ungleichungskette

:<math>\begin{align} \| A \, x \|_p^p & = \sum_{i=1}^m \left| \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right|^p \! \leq \sum_{i=1}^m \max_{j=1, \ldots , n} | a_{ij} |^p \cdot \left| \sum_{j=1}^n x_j \right|^p \! \leq m \cdot \!\max_{{i=1, \ldots ,m} \atop {j=1, \ldots , n}} | a_{ij} |^p \cdot \| x \|_1^p \leq \\ & \leq \frac{m}{(\sqrt{m n} \, )^p} \, \| A \|^p_G \cdot n^{p-1} \, \| x \|^p_p = \left( \frac{m}{n} \right)^{1-p/2} \| A \|^p_G \cdot \| x \|^p_p \, ,\end{align}</math>

wobei der Vorfaktor unter genau den obigen Bedingungen durch [[Eins]] beschränkt ist. Dabei wurde die 1-Norm durch die ''p''-Norm über <math>\| x \|_1 \leq \sqrt[p]{n^{p-1}} \, \| x \|_p</math> abgeschätzt und wie bei der Submultiplikativität die Summe durch das Maximum ersetzt und wiederholt die Dreiecksungleichung angewandt.

Die Gesamtnorm ist damit immer mit der [[Euklidische Norm|euklidischen Norm]] verträglich. Mit der [[Summennorm]] und allen anderen ''p''-Normen für <math>p<2</math> ist sie nur verträglich, falls die Zahl der Zeilen höchstens so groß wie die der Spalten ist. Mit der Maximumsnorm und allen anderen ''p''-Normen für <math>p>2</math> ist sie nur kompatibel, falls die Zahl der Zeilen mindestens so groß wie die der Spalten ist. Für quadratische Matrizen ist die Gesamtnorm mit allen ''p''-Normen verträglich.

=== Nichtdarstellbarkeit als Operatornorm ===

Die Gesamtnorm ist keine [[Operatornorm]] und damit keine [[natürliche Matrixnorm]], das heißt, es gibt keine Vektornorm <math>\| \cdot \|,</math> sodass

:<math>\max_{x \neq 0}\frac{\| Ax \|}{\| x \|} = \| A \|_G</math>

gilt, da jede Operatornorm für die [[Einheitsmatrix]] <math>I \in {\mathbb K}^{n \times n}</math> den Wert Eins besitzen muss, jedoch <math>\| I \|_G = n</math> für <math>n \geq 2</math> einen Wert größer als Eins ergibt. Wird die Gesamtnorm für die Einheitsmatrix auf Eins skaliert, dann geht die Submultiplikativität verloren, die eine weitere Eigenschaft jeder Operatornorm ist.

== Literatur ==

* {{Literatur
|Autor=[[Gene Golub]], Charles van Loan
|Titel=Matrix Computations
|Auflage=3.
|Verlag=Johns Hopkins University Press
|Datum=1996
|ISBN=0-8018-5414-8}}
* {{Literatur
|Autor=Roger Horn, Charles R. Johnson
|Titel=Matrix Analysis
|Verlag=Cambridge University Press
|Datum=1990
|ISBN=0-521-38632-2}}
* {{Literatur
|Autor=Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler
|Titel=Numerische Mathematik
|Auflage=8.
|Verlag=Vieweg & Teubner
|Datum=2011
|ISBN=978-3-8348-1551-4}}

[[Kategorie:Numerische lineare Algebra]]
[[Kategorie:Norm (Mathematik)]]

Gesamtnorm - Versionsgeschichte

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