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Die '''hamiltonsche Mechanik''', benannt nach [[William Rowan Hamilton]], ist ein Teilgebiet der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]]. Sie untersucht die Bewegung im [[Phasenraum]]. Dabei handelt es sich um die Menge der Paare von Orts- und [[Impuls]]<nowiki/>werten, die man bei dem betrachteten System von Teilchen anfänglich frei vorgeben kann. Danach bestimmt die '''[[Hamilton-Funktion]]''' durch die '''[[Hamiltonsche Bewegungsgleichungen|hamiltonschen Bewegungsgleichungen]]''', wie sich die Orte und Impulse der Teilchen (bei Vernachlässigung von [[Reibung]]) [[Zeitentwicklung|mit der Zeit ändern]].

Die Bewegungsgleichungen wurden 1834 von [[William Rowan Hamilton]] angegeben.

Alle [[Bewegungsgleichung]]en, die aus einem [[Hamiltonsches Prinzip|Wirkungsprinzip]] folgen, kann man als dazu äquivalente hamiltonsche Bewegungsgleichungen formulieren. Diese haben zwei entscheidende Vorteile:
* Zum einen besagt der [[Satz von Liouville (Physik)|Satz von Liouville]], dass die Bewegung im Phasenraum volumentreu ist. Daraus folgt, dass es bei der Bewegung im Phasenraum keine [[Wirbel (Strömungslehre)|Wirbel]] und [[Staupunkt]]e gibt, vergleichbar dem Fluss einer inkompressiblen Flüssigkeit.
* Zum anderen besitzen die hamiltonschen Bewegungsgleichungen eine große Gruppe von Transformationen, die [[kanonische Transformation|kanonischen Transformationen]], die es gestatten, sie in andere, manchmal lösbare hamiltonsche Gleichungen zu transformieren.

Mit den hamiltonschen Bewegungsgleichungen untersucht man insbesondere integrable und chaotische Bewegung und verwendet sie in der [[Statistische Physik|statistischen Physik]].

== Einzelheiten ==
Ein '''hamiltonsches mechanisches System''' <math>(M,\omega,\mathcal{H})</math> besteht
* aus einer <math>2n</math>-dimensionalen [[Glatte Mannigfaltigkeit|glatten Mannigfaltigkeit]] <math>M</math> genannt [[Phasenraum]] (zum Beispiel <math>\mathbb{R}^{2n}</math>) und einer [[symplektische Struktur|symplektischen Struktur]] <math>\omega</math>, was <math>(M,\omega)</math> zu einer [[symplektische Mannigfaltigkeit|symplektischen Mannigfaltigkeit]] macht.
* einer [[glatte Funktion|glatten Funktion]] <math>\mathcal{H}\colon M\to \mathbb{R}</math> genannt [[Hamilton-Funktion]].<ref>{{Literatur| Autor=[[Wladimir Igorewitsch Arnold]] |Datum=1989 |Titel=Mathematical Methods of Classical Mechanics |Ort=Ägypten |Hrsg=Springer |Seiten=161}}</ref>

Die Hamilton-Funktion <math>\mathcal H(t,q,p)</math> eines Systems von Teilchen ist ihre [[Energie]] als Funktion des Phasenraumes. Sie hängt von den [[Generalisierte Koordinate|(verallgemeinerten) Ortskoordinaten]] <math>q=(q_1, q_2, \dots, q_n)</math> und von den [[Generalisierter Impuls|(verallgemeinerten) Impulskoordinaten]] <math>p=(p_1, p_2, \dots, p_n)</math> der Teilchen ab und kann auch von der Zeit <math>t</math> abhängen.

Die Zahl <math>n</math> der Koordinaten und Impulse nennt man die Zahl der Freiheitsgrade. Der Phasenraum ist <math>2n</math>-dimensional.

Die Hamilton-Funktion bestimmt die zeitliche Entwicklung der Teilchenorte und Teilchenimpulse durch die '''hamiltonschen Bewegungsgleichungen:'''
:<math>
\dot q_k
=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}q_k
=\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_k}\,,
\quad
\dot p_k
=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}p_k
=-\frac{\partial \mathcal H}{\partial q_k} \,,\quad k=1, 2, \dots, n
</math>

Dies ist ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung für die <math>2n</math> unbekannten Funktionen der Zeit, <math>q(t),p(t)\,.</math>

Wenn die Hamilton-Funktion nicht explizit von <math>t</math> abhängt, dann schneiden sich die Lösungskurven nicht und es geht durch jeden Punkt des Phasenraums eine Lösungskurve.

Bei zeitabhängigen <math>\mathcal H(t,q,p)</math> kann man die Zeit als einen zusätzlichen Freiheitsgrad <math>t=q_0</math> mit zugehörigem Impuls <math>p_0</math> und der zeitunabhängigen Hamilton-Funktion <math>\hat{\mathcal H}(q_0,q,p_0,p) = \mathcal H(q_0,q,p)+p_0</math> auffassen. Daher beschränken wir uns im Folgenden auf zeitunabhängige Hamilton-Funktionen. Allerdings ist die Funktion <math>\mathcal H(q_0,q,p)+p_0</math> nicht nach unten beschränkt und die Hyperfläche konstanter Energie <math>\hat{\mathcal H}=E </math> ist nicht, wie bei einigen Überlegungen vorausgesetzt, kompakt.

== Teilchen im Potential ==

Bei einem Teilchen der Masse <math>m</math>, das sich nichtrelativistisch in einem Potential <math>V</math> bewegt, setzt sich die Hamilton-Funktion aus [[Kinetische Energie|kinetischer]] und [[Potentielle Energie|potentieller Energie]] zusammen:
:<math>\mathcal H(\mathbf q,\mathbf p)=\frac{\mathbf p^2}{2\,m}+V(\mathbf q)</math>

Die zugehörigen hamiltonschen Bewegungsgleichungen
:<math>\dot q_k =\frac{p_k}{m}\ ,\ \dot{p}_k = - \frac{\partial V}{\partial q_k}</math>
sind Newtons Gleichungen für die Bewegung in einem konservativen Kraftfeld,
:<math>m\,\ddot q_k = F_k = - \frac{\partial V}{\partial q_k}\,.</math>

Beispielsweise ist die potentielle Energie eines eindimensionalen <math>(n=1)</math> harmonischen Oszillators nach dem [[Hookesches Gesetz|Hookeschen Gesetz]] <math>V(q)=\frac 1 2 \,m\,\omega^2 \,q^2</math>. Obige Bewegungsgleichung wird zu
:<math>m\,\ddot q = - m\,\omega^2\, q</math>
und man erhält, dass die Bahn um die Ruhelage <math>q=0</math> schwingt:
:<math>q(t) = A\, \cos \bigl(\omega\,(t-t_0)\bigr)\,.</math>
Dabei ist <math>A</math> die Amplitude und <math>t_0</math> eine Zeit, zu der diese maximale Auslenkung durchlaufen wird.

== Freies relativistisches Teilchen ==

Für ein [[Relativitätstheorie|relativistisches]], freies Teilchen mit der [[Energie-Impuls-Relation|Energie-Impuls-Beziehung]] <math>E^2-\mathbf p^2\,c^2=m^2\,c^4</math> ist die Hamilton-Funktion<ref>{{Literatur |Autor= L. D. Landau, E. M. Lifschitz |Titel= Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 2, Klassische Feldtheorie - |Auflage=8. |Verlag=Akademie Verlag |Ort=Berlin |Datum= 1981 |ISBN= |Seiten= 32}}</ref>
:<math>\mathcal H(\mathbf q,\mathbf p)=\sqrt{m^2\,c^4+ \mathbf p^2\,c^2}.</math>
Die hamiltonschen Bewegungsgleichungen besagen, wie die Geschwindigkeit mit dem Impuls zusammenhängt und dass sich der Impuls nicht mit der Zeit ändert:
:<math>\dot q_k = \frac{\partial \mathcal H }{\partial p_k} = \frac{p_k\,c^2}{\sqrt{m^2\,c^4 + \mathbf p^2\,c^2}} \,,\quad k=1, 2, 3 </math>
:<math>\dot p_k =-\frac{\partial \mathcal H}{\partial q_k} =0 </math>

Wenn die Hamilton-Funktion wie in diesen Beispielen nicht von der Zeit abhängt, behält das System von Teilchen seine anfängliche Energie, sie ist dann eine Erhaltungsgröße.

== Wirkungsprinzip ==

Die hamiltonschen Bewegungsgleichungen folgen aus dem [[Hamiltonsches Prinzip|hamiltonschen Prinzip]] der stationären Wirkung.
Von allen denkbaren Bahnen im Phasenraum,
:<math>\Gamma\colon t \mapsto \bigl(q(t),p(t)\bigr)\,,</math>
die anfänglich zur Zeit <math>\underline{t}</math> durch den Anfangspunkt

:<math>\bigl(\underline q, \underline p\bigr)=\bigl(q(\underline t),p(\underline t)\bigr)</math>
und schließlich zur Zeit <math>\overline{t}</math> durch den Endpunkt

:<math>\bigl(\overline q, \overline p\bigr)=\bigl(q(\overline t),p(\overline t)\bigr)</math>
laufen, ist die physikalisch durchlaufene Bahn diejenige, auf der die [[Wirkung (Physik)|Wirkung]]

:<math>W[\Gamma]=\int\limits_{\underline t}^{\overline t}\mathrm d t\,\left(\sum_{i=1}^n p_i(t)\,
\frac{\mathrm d q_i(t)}{\mathrm d t} - \mathcal H(q(t),p(t)) \right)</math>
stationär ist.

Betrachtet man nämlich eine einparametrige Schar von Kurven
:<math>\Gamma_\alpha\colon t \mapsto \bigl(q(t,\alpha),p(t,\alpha)\bigr)\,,</math>
die anfänglich zur Zeit <math>\underline{t}</math> durch den Anfangspunkt

:<math>\bigl(\underline q, \underline p\bigr)=\bigl(q(\underline t,\alpha),p(\underline t,\alpha)\bigr)</math>
und schließlich zur Zeit <math>\overline{t}</math> durch den Endpunkt

:<math>\bigl(\overline q, \overline p\bigr)=\bigl(q(\overline t,\alpha),p(\overline t,\alpha)\bigr)</math>
laufen, so ist die Wirkung <math>W[\Gamma_\alpha]</math> für <math>\alpha=0</math> extremal, falls dort die Ableitung nach <math>\alpha</math> verschwindet.

Wir bezeichnen diese Ableitung als Variation der Wirkung
:<math>\delta W = \frac{\partial W[\Gamma_\alpha]}{\partial \alpha}_{|_{\alpha=0}}\,.</math>

Ebenso ist
:<math>\delta q_i = \frac{\partial q_i(t,\alpha)}{\partial \alpha}_{|_{\alpha=0}}</math>
die Variation des Ortes und

:<math>\delta p_i = \frac{\partial p_i(t,\alpha)}{\partial \alpha}_{|_{\alpha=0}}</math>
die Variation des Impulses.

Die Variation der Wirkung ist nach der Kettenregel
:<math>
\delta W=\sum_{i=1}^n \int\limits_{\underline t}^{\overline t}\mathrm d t \left(
\delta p_i(t)\,\frac{\mathrm d q_i(t)}{\mathrm d t}+
p_i(t)\,\frac{\mathrm d \delta q_i(t)}{\mathrm d t}
- \delta q_i(t)\,\frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i}_{|_{(q(t),p(t))}} -
\delta p_i(t)\,\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i}_{|_{(q(t),p(t))}}\right)\,.
</math>

Den zweiten Term schreiben wir als vollständige Zeitableitung und einen Term, bei dem <math>\delta q_i</math> ohne Zeitableitung auftritt:
:<math>
p_i(t)\,\frac{\mathrm d \delta q_i(t)}{\mathrm d t}=
\frac{\mathrm d \bigl(p_i(t)\, \delta q_i(t)\bigr)}{\mathrm d t} -
\frac{\mathrm d p_i(t)}{\mathrm d t}\, \delta q_i(t)
</math>
Das Integral über die vollständige Ableitung ergibt <math>\bigl(p_i(t)\, \delta q_i(t)\bigr)</math> zur Anfangs- und Endzeit und verschwindet, weil dann <math>\delta q_i</math> verschwindet, denn es gehen alle Kurven der Schar durch dieselben Anfangs- und Endpunkte. Fassen wir schließlich die Terme mit <math>\delta q_i</math> und <math>\delta p_i</math> zusammen, so beträgt die Variation der Wirkung
:<math>
\delta W=\sum_{i=1}^n \int\limits_{\underline t}^{\overline t}\mathrm d t \left(
-\delta q_i(t)\left(\frac{\mathrm d p_i(t)}{\mathrm d t}+
\frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i}_{|_{(q(t),p(t))}}\right) +
\delta p_i(t)\left(\frac{\mathrm d q_i(t)}{\mathrm d t}-
\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i}_{|_{(q(t),p(t))}}\right)\right)\,.
</math>
Damit die Wirkung stationär ist, muss dieses Integral für alle <math>\delta q_i</math> und alle <math>\delta p_i</math> verschwinden, die anfänglich und schließlich verschwinden. Das ist genau dann der Fall, wenn die Faktoren verschwinden, mit denen sie im Integral auftreten:
:<math>
0 = \frac{\mathrm d p_i(t)}{\mathrm d t}+
\frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i}_{|_{(q(t),p(t))}}
</math>
:<math>
0= \frac{\mathrm d q_i(t)}{\mathrm d t}-
\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i}_{|_{(q(t),p(t))}}
</math>
Die Wirkung ist also stationär, wenn die hamiltonschen Bewegungsgleichungen gelten.

== Zusammenhang zur Lagrange-Funktion ==

Die Hamilton-Funktion ist die bezüglich der Geschwindigkeiten <math>\dot q=(\dot q_1,\dot q_2\dots \dot q_n)</math> [[Legendre-Transformation|Legendre-Transformierte]] der [[Lagrange-Funktion]] <math>\mathcal L(q,\dot q):</math>
:<math>\mathcal H(q,p)=
\sum_{k=1}^n p_k\, \dot q_k(q,p) - \mathcal L(q,\dot q(q,p))</math>
Dabei sind auf der rechten Seite mit den Geschwindigkeiten <math>\dot q</math> diejenigen Funktionen <math>\dot q(q,p)</math> gemeint, die man erhält, wenn man die Definition der Impulse
:<math>p_k = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_k}</math>
nach den Geschwindigkeiten auflöst.

Wenn man die Definition der Impulse invertieren und nach den Geschwindigkeiten auflösen kann, dann gelten die hamiltonschen Bewegungsgleichungen genau dann, wenn die [[Euler-Lagrange-Gleichung]]en der Wirkung
:<math>W[\Gamma]=\int_{\underline t}^{\overline t}\mathrm d t\,
\mathcal L(q(t),\dot q(t))</math>
erfüllt sind.
Denn die partielle Ableitung von <math>\mathcal H</math> nach den Impulsen ergibt nach der Kettenregel und der Definition der Impulse
:<math>
\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} = \dot q_i +
\sum_j p_j \frac{\partial \dot q_j}{\partial p_i} -
\sum_j \frac{\partial \dot q_j}{\partial p_i}
\underbrace{\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_j}}_{p_j}
=
\dot q_i\,.
</math>
Ebenso ergibt die Ableitung nach den Ortskoordinaten
:<math>
\frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i} =
\sum_j p_j \frac{\partial \dot q_j}{\partial q_i} -
\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i}
-
\sum_j \frac{\partial \dot q_j}{\partial q_i}
\underbrace{\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_j}}_{p_j}
=
-\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i}\,.
</math>
Die Euler-Lagrange-Gleichung besagt
:<math>
\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i}
= \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}
= \dot{p}_i\,.
</math>
Also gelten die hamiltonschen Bewegungsgleichungen, wenn die Euler-Lagrange-Gleichung gilt. Umgekehrt gilt die Euler-Lagrange-Gleichung, wenn die hamiltonschen Bewegungsgleichungen gelten.

Beispielsweise hängt beim freien, relativistischen Teilchen mit der Lagrange-Funktion<ref>{{Literatur |Autor= L. D. Landau, E. M. Lifschitz |Titel= Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 2, Klassische Feldtheorie - |Auflage=8. |Verlag=Akademie Verlag |Ort=Berlin |Datum= 1981 |ISBN= |Seiten= 30}}</ref>
:<math>\mathcal L= - m\,c^2 \sqrt{1-\dot{\mathbf q}^2/c^2}</math>
der Impuls gemäß
:<math>\mathbf p = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\mathbf q}} =\frac{m \dot{\mathbf q}}{\sqrt{1-\dot{\mathbf q}^2/c^2}}</math>
von der Geschwindigkeit ab. Umgekehrt ist die Geschwindigkeit daher die Funktion
:<math>\dot{\mathbf q}=\frac{\mathbf p\,c^ 2}{\sqrt{m^2\,c^4+\mathbf p^2\,c^2}}</math>
des Impulses. In die obige Gleichung für <math>\mathcal H</math> eingesetzt

:<math>\begin{align}
\mathcal H(\mathbf q,\mathbf p) & = \mathbf p\cdot \dot{\mathbf q}(\mathbf q,\mathbf p) - {\mathcal L}(\mathbf q,\dot{\mathbf q}(\mathbf q,\mathbf p)) = \frac{{\mathbf p}^2 \,c^2}{\sqrt{m^2\,c^4+\mathbf p^2\,c^2}} + m\,c^2 \sqrt{1-\frac{{\mathbf p}^2\,c^2}{m^2\,c^4+\mathbf p^2\,c^2}}= \\
& = \frac{{\mathbf p}^2 \,c^2}{\sqrt{m^2\,c^4+\mathbf p^2\,c^2}} + \frac{m^2 \,c^4}{\sqrt{m^2\,c^4+\mathbf p^2\,c^2}}=\sqrt{m^2\,c^4+ \mathbf p^2\,c^2}
\end{align}</math>

ergibt sich die schon angegebene Hamilton-Funktion des freien, relativistischen Teilchens.

Hängt die Lagrange-Funktion nicht explizit von der Zeit ab, dann besagt das [[Noether-Theorem]], dass die Energie
:<math>E(q,\dot q)=\sum_k \dot q_k \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_k} - \mathcal L</math>
auf den physikalischen Bahnen ihren anfänglichen Wert behält. Der Vergleich mit der Legendre-Transformation zeigt, dass es sich bei der Hamilton-Funktion um diese Energie handelt, bei der die Geschwindigkeiten als Funktion der Impulse aufzufassen sind:
:<math>\mathcal H(q,p) = E(q,\dot q(q,p))</math>

== Poisson-Klammer ==
Der Wert einer Phasenraumfunktion <math>\Phi(t,q,p)</math> ändert sich auf Bahnen <math>(q(t),p(t))</math> mit der Zeit dadurch, dass er explizit von <math>t</math> abhängt und dadurch, dass sich der Bahnpunkt ändert:

:<math>\frac{\mathrm d \Phi(t,q(t),p(t))}{\mathrm d t} =
\frac{\partial \Phi}{\partial t} +
\sum_i \left(
\frac{\partial \Phi}{\partial q_i}\frac{\mathrm d q_i}{\mathrm d t}+
\frac{\partial \Phi}{\partial p_i}\frac{\mathrm d p_i}{\mathrm d t}\right) \, .</math>

Die physikalisch durchlaufenen Bahnen genügen den hamiltonschen Bewegungsgleichungen:

:<math>\frac{\mathrm d \Phi(t,q(t),p(t))}{\mathrm d t} =
\frac{\partial \Phi}{\partial t} +
\sum_i \left(
\frac{\partial \Phi}{\partial q_i}\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i}
-
\frac{\partial \Phi}{\partial p_i}\frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i}\right) \, .</math>

Mit der von [[Siméon Denis Poisson]] eingeführten [[Poisson-Klammer]] zweier Phasenraumfunktionen <math>\Phi</math> und <math>\Psi</math>

::<math>\bigl\{\Phi, \Psi\bigr \}=
\sum_i \left(
\frac{\partial \Phi}{\partial q_i}\frac{\partial \Psi}{\partial p_i}
-
\frac{\partial \Phi}{\partial p_i}\frac{\partial \Psi}{\partial q_i}\right)</math>

gilt also

:<math>\frac{\mathrm d \Phi(t,q(t),p(t))}{\mathrm d t} =
\frac{\partial \Phi}{\partial t} + \bigl\{\Phi, \mathcal H \bigr \}
\, .</math>

Mit [[Poisson-Klammer]]n geschrieben gleicht das Formelbild der hamiltonschen Bewegungsgleichungen den [[Heisenbergsche Bewegungsgleichung|heisenbergschen Bewegungsgleichungen]] der [[Quantenmechanik]].

Als Koordinatenfunktionen aufgefasst haben die Phasenraumkoordinaten die Poisson-Klammern

:<math>\{q_i,q_j\}=0=\{p_i,p_j\}\,,\,\{q_i,p_j\}=\delta_{ij} \, .</math>

Ihnen entsprechen in der Quantenmechanik nach kanonischer Quantisierung die kanonischen Vertauschungsrelationen.

Die Poisson-Klammer ist antisymmetrisch, linear und genügt der Produktregel und der [[Jacobi-Identität]].
Für alle Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> und alle Phasenraumfunktionen <math>\Psi, \Phi, \Lambda</math> gilt
* <math>\{\Psi,\Phi\}= -\{\Phi,\Psi\} \, ,</math>
* <math>\{\Psi,a\,\Phi+b\,\Lambda\}= a\,\{\Psi,\Phi\}+b\,\{\Psi,\Lambda\} \, ,</math>
* <math>\{\Psi,\Phi\,\,\Lambda\}=\{\Psi,\Phi\}\,\Lambda + \Phi\,\{\Psi,\Lambda\} \, ,</math>
* <math>\{\Psi,\{\Phi,\Lambda\}\} + \{\Phi,\{\Lambda,\Psi\}\} + \{\Lambda,\{\Psi,\Phi\}\} = 0 \, .</math>

Die differenzierbaren Phasenraumfunktionen bilden eine [[Lie-Algebra]] mit der [[Poisson-Klammer]] als [[Lie-Klammer|Lie-Produkt.]]

== Hamiltonscher Fluss ==

Zu jeder (zeitunabhängigen) Phasenraumfunktion <math>\Phi</math> gehört das Vektorfeld <math>v_{\Phi}\,,</math>
:<math>v_\Phi(\Psi)=\{\Psi,\Phi\}\,,</math>
das Phasenraumfunktionen <math>\Psi</math> längs der Kurven ableitet, die die hamiltonschen Gleichungen mit <math>\mathcal H = \Phi</math> lösen.

Die Abbildung <math>\Phi_t</math> der Anfangswerte der Lösungskurven <math>(q(0),p(0))</math> auf <math>(q(t),p(t))</math> ist der zu <math>\Phi</math> gehörige hamiltonsche Fluss.

== Symplektische Struktur ==

Der Phasenraum mit seiner Poisson-Klammer ist eine [[symplektische Mannigfaltigkeit]] mit der symplektischen Form
:<math>\omega=\sum_i \mathrm d q_i\,\mathrm d p_i\,.</math>
Angewendet auf die zu <math>\Phi</math> und <math>\Psi</math> gehörigen Vektorfelder ergibt diese Zweiform die Poisson-Klammer der beiden Funktionen:
:<math>\omega\,(v_\Phi,v_\Psi)=\{\Phi,\Psi\}</math>

Die symplektische Form ist invariant unter jedem hamiltonschen Fluss. Dies besagt Folgendes:
Ist anfänglich eine zweidimensionale Fläche <math>F</math> im Phasenraum gegeben, dann wird sie mit der Zeit durch den hamiltonschen Fluss einer Phasenraumfunktion <math>\Phi</math> auf die Fläche <math>\Phi_t(F)</math> abgebildet. Die mit der symplektischen Form gemessene Größe der Anfangsfläche stimmt mit der Größe zu jeder späteren Zeit überein. Hamiltonscher Fluss ist flächentreu:
:<math>\int_F\omega = \int_{\Phi_t(F)}\omega</math>

Da das Flächenelement <math>\omega</math> invariant ist, ist auch das Volumenelement <math>\omega^n=n!\,\mathrm d^nq\,\mathrm d^n p</math> invariant unter hamiltonschem Fluss. Dieser Befund ist Liouvilles Theorem. Das Volumen eines Bereichs <math>B</math> des Phasenraumes ändert sich nicht bei hamiltonscher Zeitentwicklung:
:<math>\int_B\omega^n = \int_{\Phi_t(B)}\omega^n</math>

Insbesondere bleibt der Bereich, innerhalb dessen sich das System anfänglich wegen der Messfehler befindet, gleich groß. Daraus kann man allerdings nicht schließen, dass sich anfängliche Unkenntnis nicht vergrößert. Bei chaotischer Bewegung können Anfangswerte, die sich zunächst nur durch kleine Messfehler unterschieden, auf einen großen Bereich mit vielen kleinen Löchern wie Schlagsahne verteilt werden. Auch Schlagen von Sahne vergrößert ihr mikroskopisch ermitteltes Volumen nicht.

== Kanonische Transformation ==

Die Hamilton-Gleichungen vereinfachen sich, falls die Hamilton-Funktion von einer Variablen, beispielsweise <math>q_1\,,</math> nicht abhängt. Dann liegt eine Symmetrie vor: die Hamilton-Funktion ist invariant unter der Verschiebung von <math>q_1\,.</math> Umgekehrt können bei Vorliegen einer Symmetrie (in einer Umgebung eines Punktes, der kein Fixpunkt ist) die Orts- und Impulsvariablen so gewählt werden, dass die Hamilton-Funktion von einer Variablen <math>q_1</math> nicht abhängt. Dann ist einfach <math>p_1(t)=p_1(0)\,.</math>

== Integrable Bewegung ==

Die Bewegungsgleichungen sind integrabel, wenn die Hamilton-Funktion nur von den Impulsen abhängt. Dann sind die Impulse konstant und die Ableitungen der Hamilton-Funktion nach den Impulsen sind die zeitlich konstanten Geschwindigkeiten, mit denen die Koordinaten <math>q</math> linear zunehmen,
:<math>\dot q_k =\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_k}=\omega_k(p)\,,\ \dot p_k =-\frac{\partial \mathcal H}{\partial q_k}=0\,,\
p_k(t)=p_k(0)\,,\ q_k(t)=\omega_k(p)\,t+q_k(0)\,.</math>
Ist zudem die Phasenraumfläche konstanter Energie <math>\mathcal{H}(q,p)=E</math> kompakt, dann handelt es sich bei den Koordinaten <math>q_k</math> um die Winkel auf einem Torus, die um <math>2\pi</math> vergrößert wieder denselben Punkt benennen,
:<math>q_k \sim q_k + 2\pi\,.</math>
Der Phasenraum solch eines [[Integrables System|integrablen Systems]] besteht aus <math>n</math>-dimensionalen [[Torus|Tori]], um die sich die Lösungskurven der hamiltonschen Gleichungen winden.

== Zusammenhang mit der Quantenmechanik ==

So wie in der Mechanik die Hamilton-Funktion die [[Zeitentwicklung]] bestimmt, so bestimmt der [[Hamilton-Operator]] die Zeitentwicklung in der Quantenmechanik. Man erhält ihn für viele quantenmechanische Systeme aus der Hamilton-Funktion des entsprechenden klassischen Systems durch [[Erste Quantisierung|kanonische Quantisierung]], indem man den algebraischen Ausdruck für <math>\mathcal H(q,p)</math> als Funktion von Operatoren <math>q</math> und <math>p</math> liest, die den [[Kanonische Vertauschungsrelationen|kanonischen Vertauschungsrelationen]] genügen.

== Quellen ==

* [[Vladimir Arnold|V. I. Arnold]]: ''Mathematical Methods of Classical Mechanics.'' Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-96890-3.

== Einzelnachweise ==
<references responsive />

[[Kategorie:Theoretische Mechanik]]
[[Kategorie:William Rowan Hamilton als Namensgeber]]

Hamiltonsche Mechanik - Versionsgeschichte

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