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2023-04-19T17:46:59Z

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Der '''James-Raum''', benannt nach [[Robert C. James]] und eingeführt 1951, ist ein in der Mathematik betrachteter, spezieller [[Vektorraum]]. Es handelt sich um einen [[Banachraum]], der [[Isometrie|isometrisch]] [[Isomorphismus|isomorph]] zu seinem [[Bidualraum]] ist, ohne [[reflexiver Raum|reflexiv]] zu sein.<ref>James ''A non-reflexive Banach space isometric with its second conjugate space'', Proceedings National Academy of Sciences, Bd. 37, 1951, S. 174–177, [https://www.pnas.org/content/37/3/174?sid=b260b11f-ab7d-4263-9024-2a1df9a318d7 Online, PDF-Datei]</ref> Lange Zeit ist diese Eigenschaft für unmöglich gehalten worden. Der James-Raum kann auch zur Konstruktion weiterer Beispiele herangezogen werden.

== Definition ==
Als Menge ist der James-Raum <math>J</math> im [[Folgenraum]] <math>c_0</math> der reellen [[Nullfolge]]n enthalten. Für eine Folge <math>(\alpha_n)_n \in c_0</math> definiere <math>\|(\alpha_n)_n\|_a \in [0,\infty]</math> als Maß für die Variation der Folgenglieder durch

:<math>\|(\alpha_n)_n\|_a \,:=\, \frac{1}{\sqrt{2}}\sup \left\{ \left(\sum_{n=1}^{m-1}(\alpha_{p_n}-\alpha_{p_{n+1}})^2 + (\alpha_{p_m}-\alpha_{p_1})^2\right)^{\frac{1}{2}};\, m\ge 2,\, p_1 < \ldots < p_m \right\}.</math>

Das Supremum wird dabei über alle natürlichen Zahlen <math>m\ge 2</math> und alle streng aufsteigenden Folgen <math>p_1 < \ldots < p_m</math> natürlicher Zahlen gebildet. Schließlich sei

:<math>J := \{ (\alpha_n)_n \in c_0;\, \|(\alpha_n)_n\|_a < \infty \}.</math>

<math>J</math> ist damit die Menge der reellen Nullfolgen <math>(\alpha_n)_n</math>, deren Schwankung im Sinne der Zahl <math>\|(\alpha_n)_n\|_a</math> beschränkt ist. So liegt zum Beispiel die Folge <math>(\alpha_n)_n = \left(1,-1,\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}, \ldots, \frac{1}{\sqrt{n}},-\frac{1}{\sqrt{n}}, \ldots\right)</math> nicht in <math>J</math>.

Man kann zeigen, dass <math>J</math> ein Vektorraum bzgl. der komponentenweisen Operationen ist und dass <math>\|\cdot \|_a</math> eine [[Norm (Mathematik)|Norm]] ist, die <math>J</math> zu einem [[Banachraum]] macht. Das ist der sogenannte James-Raum.

== Basis in J ==
Sei <math>e_n</math> der <math>n</math>-te Einheitsvektor in <math>J</math>, das heißt <math>e_n = (0,\ldots,0,1,0,\ldots)</math>, wobei die 1 an der <math>n</math>-ten Stelle steht. Man kann zeigen, dass <math>(e_n)_n</math> eine [[Schauderbasis|monotone, schrumpfende Basis]] in <math>J</math> ist und daher <math>\|(\alpha_n)_n\|_a = \lim_{m\to\infty}\left\|\sum_{n=1}^m \alpha_n e_n\right\|_a = \sup_{m\in \N}\left\|\sum_{n=1}^m \alpha_n e_n\right\|_a</math> gilt.

== Bidualraum ==
Ausgehend von den Eigenschaften der Basis <math>(e_n)_n</math> kann man zeigen, dass die kanonische Einbettung <math>Q:J\rightarrow J''</math> in den [[Bidualraum]] nicht surjektiv ist, genauer ist die [[Kodimension]] von <math>Q(J)</math> in <math>\,J''</math> gleich 1, das heißt <math>J''/Q(J)\cong \R</math>.<ref>Robert E. Megginson: ''An Introduction to Banach Space Theory'', Springer New York (1998), ISBN 0-387-98431-3, Kapitel 4.5 - James Space</ref>

<math>J</math> ist daher nicht reflexiv.
Dennoch gelingt es, einen isometrischen Isomorphismus zwischen <math>\,J</math> und <math>\,J''</math> zu konstruieren.
Die Beweise sind sehr technisch und werden daher hier nicht weiter besprochen.

== Gegenbeispiele ==
Der James-Raum kann zur Konstruktion einer Reihe von Gegenbeispielen verwendet werden. Obige Betrachtung zeigt, dass ein Banachraum, der isometrisch isomorph zu seinem Bidualraum ist, nicht notwendig reflexiv ist, was eine ältere Vermutung widerlegt.

Viele unendlich-dimensionale Banachräume <math>X</math> haben die Eigenschaft <math>X\oplus X \cong X</math>. Alle unendlich-dimensionalen Hilberträume haben diese Eigenschaft, denn nach dem [[Satz von Fischer-Riesz]] sind diese isomorph zu <math>\ell^2(I)</math> für unendliches <math>I</math>, und es ist <math>\ell^2(I)\oplus \ell^2(I) \cong \ell^2(I\times\{0,1\}) \cong \ell^2(I)</math>. Auch für den [[Folgenraum]] <math>c_0</math> sieht man leicht, dass <math>((\alpha_n)_n, (\beta_n)_n) \mapsto (\alpha_1, \beta_1, \alpha_2, \beta_2, \ldots)</math> ein isometrischer Isomorphismus <math>c_0\oplus c_0 \cong c_0</math> ist.

Für den James-Raum gilt das nicht, denn man kann zeigen, dass im Falle <math>J\oplus J\cong J</math> auch <math>\R \cong J''/Q(J) \cong (J\oplus J)''/Q(J\oplus J) \cong J''/Q(J)\oplus J''/Q(J) \cong \R^2</math> gelten müsste, was aber offensichtlich nicht der Fall ist.

Aus einem <math>\Complex</math>-Banachraum <math>X</math> kann man durch Einschränkung der [[Skalarmultiplikation]] auf <math>\R</math> einen reellen Vektorraum <math>X_{\R}</math> machen. <math>J</math> ist ein Beispiel für einen reellen Banachraum, der nicht isomorph zu einem <math>X_{\R}</math> für einen komplexen Banachraum <math>X</math> ist. Wäre nämlich <math>J\cong X_{\R}</math>, so könnte auch <math>X</math> nicht reflexiv sein, <math>Q(X)</math> hätte also mindestens die komplexe Kodimension 1 und daher die reelle Kodimension 2 in <math>\,X''</math>, aber die reelle Kodimension von <math>Q(J)</math> im Bidual ist 1.

Der James-Raum ist auch ein Beispiel für einen Banachraum mit einer Schauderbasis, der keine unbedingte Basis besitzt. Dass J keine unbedingte Basis besitzt, folgt aus der Tatsache, dass der Bidualraum eines unendlich-dimensionalen Banachraums mit unbedingter Basis nicht [[Separabler Raum|separabel]] ist, <math>J''</math> aber ist separabel, da <math>J</math> es ist und <math>J\cong Q(J)</math> 1-kodimensional in <math>J''</math> ist.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Normierter Raum]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

James-Raum - Versionsgeschichte

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