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Das nach [[Hendrik Anthony Kramers]] benannte '''Kramers-[[Theorem]]''', auch mit dem Namen '''Kramers-[[Entartung (Quantenmechanik)|Entartung]]''' bezeichnet, ist eine [[Theorie|theoretische]], [[Quantenmechanik|quantenmechanische]] Aussage zum [[Entartungsgrad]] der [[Energie]]-Zustände eines Systems mit [[halbzahlig]]em [[Spin|Gesamtspin]] (z. B. einer beliebigen Anzahl an [[Boson]]en und einer ungeraden an [[Fermion]]en wie den [[Elektron]]en). Demnach ist für den Fall, dass auf das System höchstens ein [[elektrisches Feld]] wirkt und der Gesamtspin des Systems halbzahlig ist, jeder Energiezustand mindestens zweifach entartet und zudem in jedem Fall geradzahlig entartet. Wirkt auf das betrachtete System z. B. explizit ein [[magnetisches Feld]], so gilt die Aussage des Kramers-Theorems nicht.<ref>[[Albert Messiah]]: ''Quantenmechanik.'' Band 2, 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 1985, ISBN 3-11-010265-X, S. 165.</ref>

Aus dem Kramers-Theorem folgt, dass durch alleiniges Anlegen eines elektrischen Feldes die Entartung eines beliebigen Energie-Zustandes niemals vollständig aufgehoben werden kann.<ref name="Schwabl">[[Franz Schwabl]]: ''Quantenmechanik für Fortgeschrittene.'' 5. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-85075-5, S. 232.</ref>

== Mathematische Formulierung ==
Für die Zustände <math>\left|\psi\right\rangle</math> des Systems wird die [[Bra-Ket|Bra-Ket-Notation]] verwendet. Es sei <math>T</math> der [[Semilinearform|semilineare]], [[Unitärer Operator|unitäre Operator]], der eine [[Zeitumkehr (Physik)|Zeitumkehr]] bewirkt. Für ein System von <math>N_{i}</math>-Teilchen mit jeweiligem Spin <math>s_{i}</math> und damit Gesamtspin <math>S=\sum\nolimits_{i} N_{i}s_{i}</math> gilt <math>T^{2}=\exp\left(2 \pi i S\right)</math>.

Als Voraussetzung sei der [[Hamiltonoperator]], der das Vielteilchen-System beschreibt, zeitumkehrinvariant <math>\left(THT^{\dagger}=H\right)</math>. Hieraus folgt für einen beliebigen Gesamtspin <math>S</math>, dass wenn <math>\left|\psi\right\rangle</math> ein [[Eigenzustand]] von <math>H</math> zum Energie-[[Eigenwert]] <math>E</math> ist, dann auch <math>T\left|\psi\right\rangle</math> ein solcher Eigenzustand von <math>H</math> zum Eigenwert <math>E</math> ist:

:<math> THT^{\dagger}=H \quad \wedge \quad H\left|\psi\right\rangle = E \cdot \left|\psi\right\rangle \qquad \Rightarrow \qquad HT\left|\psi\right\rangle = E \cdot T\left|\psi\right\rangle</math>

Dass <math>\left|\psi\right\rangle</math> für einen halbzahligen Gesamtspin <math>S</math> [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängig]] von <math>T\left|\psi\right\rangle</math> ist, folgt aus <math>T^{2}=\exp\left(2 \pi i S\right)=-1</math> und der Semilinearität von <math>T</math>, speziell der Eigenschaft <math>T\lambda=\overline{\lambda}T</math> für <math>\lambda \in \mathbb{C}</math>:<ref name="Schwabl" />

:<math>\exists n\in \mathbb{N}: N=2n+1 \qquad \Rightarrow \qquad \nexists \alpha \in \mathbb{C}: T\left|\psi\right\rangle = \alpha \cdot \left|\psi\right\rangle</math>

Das Kramers-Theorem gilt in Anwesenheit elektrischer Felder, da diese die Zeitumkehrinvarianz des Hamiltonoperators <math>H</math> nicht beeinflussen, während die Anwesenheit magnetischer Felder die Zeitumkehrinvarianz des Hamiltonoperators <math>H</math> aufhebt. (Zur Form des Hamiltonoperators siehe [[Hamiltonoperator#Geladenes, spinloses Teilchen im elektromagnetischen Feld|geladenes, spinloses Teilchen im elektromagnetischen Feld]], weitere additive Terme für die Berücksichtigung der Spins können die Zeitumkehrinvarianz nicht wiederherstellen.)

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* [[Lew Dawidowitsch Landau|L. D. Landau]], [[Jewgeni Michailowitsch Lifschitz|J. M. Lifschitz]]: ''Lehrbuch der theoretischen Physik.'' Band 3: ''Quantenmechanik.'' 9. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1990, ISBN 3-05-500067-6.

[[Kategorie:Quantenmechanik]]

Kramers-Theorem - Versionsgeschichte

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