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2015-03-13T00:05:59Z

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Die '''leere Summe''' ist in der [[Mathematik]] der Sonderfall einer [[Summe]] mit null [[Summand]]en. Der leeren Summe wird der Wert [[Null]], das [[Neutrales Element|neutrale Element]] der [[Addition]], zugewiesen. Das Gegenstück der leeren Summe für die Multiplikation ist das [[Leeres Produkt|leere Produkt]].

== Definition ==

Eine [[Summe]] von [[Zahl]]en heißt ''leer'', wenn die [[Menge (Mathematik)|Menge]] der Zahlen, über die summiert wird, die [[leere Menge]] ist. Das Resultat der leeren Summe wird als die Zahl [[Null]] definiert. In der Summenschreibweise bedeutet dies

: <math>\sum_{i \in I} a_i = 0</math>,

wenn die [[Index (Mathematik)#Indexmenge|Indexmenge]] <math>I = \emptyset</math> ist. Insbesondere erhält man eine leere Summe, wenn bei einer endlichen Summe der Startindex <math>m</math> größer als der Endindex <math>n</math> ist. Es gilt also

: <math>\sum_{i=m}^n a_i = 0</math>,

wann immer <math>m > n</math> ist, denn die Indexmenge <math>I = \{ j \in \Z \mid m \leq j \leq n \}</math> ist dann leer.<ref>{{Literatur|Autor=Heuser|Titel=Lehrbuch der Analysis – Teil 1|Verlag=Springer|Jahr=2009|Seiten=90f}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Liesen, Mehrmann|Titel=Lineare Algebra: Ein Lehrbuch über die Theorie mit Blick auf die Praxis|Verlag=Gabler|Jahr=2012|Seiten=924}}</ref> Da es genau eine Möglichkeit gibt, nichts zu addieren, spricht man auch von ''der'' leeren Summe.

== Verallgemeinerungen ==

Summen sind nicht nur für Zahlen definiert, sondern auch in allgemeineren [[Algebraische Struktur|algebraischen Strukturen]], wie beispielsweise [[Vektorraum|Vektorräumen]], [[Körper (Algebra)|Körpern]], [[Ring (Algebra)|Ringen]] oder [[Abelsche Gruppe|abelschen Gruppen]]. Die leere Summe von Elementen einer solchen algebraischen Struktur ergibt dann das [[Neutrales Element|neutrale Element]] der Struktur bezüglich der Addition. Beispielsweise ergibt die leere Summe von [[Vektor]]en <math>v_i</math> eines Vektorraums <math>V</math> den [[Nullvektor]] <math>0_V</math>, das heißt

: <math>\sum_{i \in \emptyset} v_i = 0_V</math>,

denn der Nullvektor stellt in <math>V</math> gerade das neutrale Element bezüglich der [[Vektoraddition]] dar.<ref>{{Literatur|Autor=Deiser, Lasser, Vogt, Werner|Titel=12 × 12 Schlusselkonzepte Zur Mathematik|Verlag=Springer|Jahr=2011|Seiten=114}}</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Harro Heuser]]
|Titel=Lehrbuch der Analysis – Teil 1
|Verlag=Springer
|Jahr=2009
|ISBN=3-8348-0777-X}}
* {{Literatur
|Autor=Jörg Liesen, [[Volker Mehrmann]]
|Titel=Lineare Algebra: Ein Lehrbuch über die Theorie mit Blick auf die Praxis
|Verlag=Gabler
|Jahr=2012
|ISBN=978-3-8348-0081-7}}
* {{Literatur
|Autor=Oliver Deiser, Caroline Lasser, Elmar Vogt, [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]
|Titel=12 × 12 Schlusselkonzepte Zur Mathematik
|Verlag=Springer
|Jahr=2011
|ISBN=3-8274-2298-1}}

== Weblinks ==

{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Summe und Produkt#Leere Summe|Mathe für Nicht-Freaks: Leere Summe}}
* {{PlanetMath|id=emptysum|title=empty sum|author=pahio}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Addition]]
[[Kategorie:Algebra]]

Leere Summe - Versionsgeschichte

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