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2026-03-27T14:53:35Z

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'''Lineare Vorhersage''' (engl. ''linear prediction'') ist ein [[Mathematik|mathematisches Verfahren]] der [[Zeitreihenanalyse]], welches zukünftige Werte eines [[Signal]]s bzw. einer diskreten Zeitreihe als eine [[lineare Funktion]] der Werte der Vergangenheit der gleichen Zeitreihe [[Schätzfunktion|schätzt]].

Eine Variante ist das [[Ökonometrie|ökonometrische]] Verfahren, welches zusätzlich die Werte einer weiteren Zeitreihe berücksichtigt, von denen die betrachtete Zeitreihe abhängt,.

Für [[Zentrierung (Statistik)|zentrierte]], reelle und [[Stationärer stochastischer Prozess|stationäre]] Zeitreihen sind die [[Koeffizient]]en der Schätzfunktionen durch die [[Yule-Walker-Gleichungen]] gegeben, dies entspricht der Modellierung durch einen [[ARMA-Modell|AR(p)-Prozess]]. Weiter werden Verfahren der [[Orthogonalprojektion|orthogonalen Projektion]] ([[Gram-Schmidt-Verfahren]]) angewendet.

Die Bezeichnung ''linear prediction'' wird auch abkürzend für die Anwendung dieser Theorie in der [[digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]] verwendet, siehe ''[[Linear Predictive Coding|linear predictive coding]]''.

== Mathematische Darstellung ==
Eine übliche (eindimensionale) Darstellung ist

:<math>\widehat{x}(n) := \sum_{i=1}^p a_i x(n-i)\,</math>,

mit <math>p,n \in \mathbb N</math> und <math>x(i) \in \mathbb R</math>, wobei <math>\widehat{x}(n)</math> der vorhergesagte Wert, <math>x(n-i)</math> die bereits beobachteten Werte und <math>a_i \in \mathbb R</math> die Schätzkoeffizienten darstellen. Der Schätzfehler hat die Darstellung

:<math>e(n) = x(n) - \widehat{x}(n)\,</math>,

worin <math>x(n)</math> den wahren Wert zum Zeitpunkt <math>n</math> bezeichnet.

Die Prognoseverfahren unterscheiden sich in der Art und Weise, wie die Parameter <math>a_i</math> bestimmt werden. Üblicherweise werden die Parameter so bestimmt, dass der [[Mittlerer quadratischer Fehler|mittlere quadratische Fehler]] minimiert wird. Dann spricht man von einer '''Besten Linearen [[Erwartungstreue]]n [[Vorhersagemodell|Vorhersage]]''', kurz '''BLEV''' ({{enS}} ''Best Linear Unbiased Prediction'', kurz ''BLUP''). BLUP als auch BLUE wurden in den 1950er Jahren von [[Charles Roy Henderson]] eingeführt.

Für mehrdimensionale Zeitreihen wird eine Fehlermetrik der Gestalt

:<math>e(n) := \|x(n) - \widehat{x}(n)\|\,</math>

definiert, wobei für <math>\|\cdot\|</math> eine geeignete [[Norm (Mathematik)#Vektornormen|Vektornorm]] gewählt wird.

== Literatur ==
* Jens-Peter Kreiß und Georg Neuhaus: ''Einführung in die Zeitreihenanalyse.'' Springer-Verlag, Berlin 2006, ISBN 3-540-33571-4.
* Robinson, G.K. (1991). That BLUP is a Good Thing: The Estimation of Random Effects. ''Statistical Science'' 6 (1): 15–32. {{DOI|10.1214/ss/1177011926}} {{JSTOR|2245695}}

== Weblinks ==
* [http://www.mi.uni-koeln.de/~jost/ws11/zeitr_7.pdf Vorhersage bei stationaren Zeitreihen] (abgerufen am 20. Juli 2018)
* [https://authors.library.caltech.edu/25063/1/S00086ED1V01Y200712SPR003.pdf The Theory of Linear Prediction] (abgerufen am 20. Juli 2018)
* [https://www.cs.tut.fi/~tabus/course/ASP/LectureNew7.pdf Linear Prediction] (abgerufen am 20. Juli 2018)
* [https://www.csd.uoc.gr/~hy474/bibliography/LinearPredictionHistory.pdf The History of Linear Prediction] (abgerufen am 20. Juli 2018)
* [https://www.dit.ie/media/electricalengineering/documents/mikelgainza/92.pdf Linear Prediction. The Technique, Its Solution and Application to Speech] (abgerufen am 20. Juli 2018)

[[Kategorie:Zeitreihenanalyse]]
[[Kategorie:Signalverarbeitung]]

Lineare Vorhersage - Versionsgeschichte

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