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2025-03-11T13:51:36Z

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In der [[Mathematik]] ist die '''Mangoldt-Funktion''' (auch '''Von Mangoldt-Funktion'''), benannt nach dem deutschen Mathematiker
[[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|Hans von Mangoldt]], eine [[zahlentheoretische Funktion]], die üblicherweise mit <math>\Lambda</math> bezeichnet wird.

Die Mangoldt-Funktion besitzt die Eigenschaft, dass [[Zusammengesetzte Zahl|zusammengesetzte]] Zahlen rausgefiltert werden und nur die [[Primzahl]]en und [[Primzahlpotenz]]en übrig bleiben. Der Wert der Mangoldt-Funktion ist dann der [[Logarithmus]] der Primzahl.

== Definitionen und grundlegende Eigenschaften ==

Die '''Mangoldtsche Funktion''' ist definiert als

:<math>\Lambda(n)=\begin{cases}\log(p)&\text{falls }n\text{ sich als }n=p^k\text{ darstellen }\mathrm{l\ddot asst,}\text{ wobei }p\text{ prim und }k\in\N^+\\0&\text{sonst}\end{cases}</math>

=== Erläuterungen ===

Für [[Zusammengesetzte Zahl|zusammengesetzte Zahlen]] <math>n</math> also
:<math>\Lambda(n) = 0 \iff n = p_1^{r_1},\dots,p_n^{r_n}, \qquad n\geq 2</math>
wobei <math>p_1^{r_1},\dots,p_n^{r_n}</math> ihre [[Primfaktorzerlegung]] bezeichnet.

Das heißt, die Mangoldt-Funktion ''filtert'' in einem ersten Schritt sozusagen die Primzahlen und Primzahlpotenzen raus, in dem die zusammengesetzten Zahlen mit <math>0</math> identifiziert werden. In einem zweiten Schritt werden die Primzahlpotenzen und die Primzahlen mit dem Logarithmus der zugrundeliegenden Primzahl identifiziert.

Die ersten Werte von <math>\Lambda(n)</math> sind
:<math>0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0, \log 7, \log 2,\log 3,0,\log 11,0,\log 13,0,0,\log 2,\log 17,0,\log 19,0,0,0\dots</math>

Die Mangoldt-Funktion ist weder eine [[Zahlentheoretische Funktion#Additive Funktionen|additive Funktion]] noch [[Zahlentheoretische Funktion#Multiplikative Funktionen|multiplikative Funktion]].

=== exp(Λ(n)) ===

<math>\exp(\Lambda(n))</math> lässt sich explizit angeben als

:<math>e^{\Lambda(n)}=\frac{\operatorname{kgV}(1,2,3,\dotsc,n)}{\operatorname{kgV}(1,2,3,\dotsc,n-1)}</math>

wobei <math>\rm kgV</math> das [[Kleinstes gemeinsames Vielfaches|kleinste gemeinsame Vielfache]] bezeichnet.

Die ersten Werte der Folge <math>\exp(\Lambda(n))</math> sind
:<math>1, 2, 3, 2, 5, 1, 7, 2, 3, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 2, 17, 1, 19, 1, 1, 1,\dots </math> ({{OEIS|A014963}})

=== Summierte Mangoldt-Funktion ===

Die summierte Mangoldt-Funktion,

:<math>\psi(n)=\sum_{i=1}^n\Lambda(i),</math>

wird auch als [[Tschebyschow-Funktion]] bezeichnet. Sie spielt beim Beweis des [[Primzahlsatz]]es eine Rolle.

=== Teilersummen ===

Bezeichne mit <math>\mu(n)</math> die [[Möbius-Funktion]]. Alle in diesem Abschnitt folgenden Formeln gelten für <math>n\in\mathbb{N}</math>. Es gilt
:<math>\sum_{d\mid n}\Lambda(d)=\log n\,</math>
Weiter gilt
:<math>\Lambda(n)=\sum_{d\mid n}\mu\left(d\right)\log\left(\frac nd\right)\qquad (1)</math>
:<math>\Lambda(n)=-\sum_{d\mid n}\mu(d)\log d\quad\quad (2)</math>
:<math>\Lambda(n)=\sum_{d\mid n}\mu\left(\frac nd\right)\cdot\log d</math>
:<math>\sum_{d\mid n}\mu\left(\frac nd\right)\Lambda(d)=-\mu(n)\log n</math>

Durch Anwendung der [[Möbius-Inversion|Mobius-Inversionsformel]] kann <math>(1)</math> gezeigt werden, <math>(2)</math> folgt daraus.

Hierbei bedeutet <math>d\mid n</math>, dass <math>d</math> ein positiver Teiler von <math>n</math> ist, d. h. die Summen laufen über alle positiven Teiler von <math>n</math>.

==== Folgerungen ====

Sei <math>p</math> eine Primzahl, Beziehung <math>(2)</math> kann man zum Beispiel nützen, wenn man [[Primzahlzwillinge]] <math>(p,p+2)</math> untersucht
:<math>\sum\limits_{p\leq x}\Lambda(p+2)=-\sum\limits_{p\leq x}\sum_{d\mid p+2}\mu(d)\log d.</math>

== Dirichlet-Reihen ==

Die Mangoldt-Funktion spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der [[Dirichletreihe]]n.

Es gilt
:<math>\log\zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty\frac1{n^s}\frac{\Lambda(n)}{\log n}\qquad\quad\mathrm{f\ddot ur\;Re}(s)>1.</math>

Die [[logarithmische Ableitung]] davon liefert einen Zusammenhang zwischen der [[Riemannsche Zetafunktion|Riemannschen <math>\zeta</math>-Funktion]] und der Mangoldt-Funktion:

:<math>\frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{n=1}^\infty\frac{\Lambda(n)}{n^s}\qquad\quad\mathrm{f\ddot ur\;Re}(s)>1.</math>

Allgemeiner gilt sogar: Ist <math>f</math> multiplikativ und ihre Dirichletreihe <math>F</math>
:<math>F(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{f(n)}{n^s}</math>
konvergiert für gewisse <math>s</math>, dann gilt
:<math>\frac{F^\prime(s)}{F(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}.</math>

== Verallgemeinerte Mangoldt-Funktion ==

Die verallgemeinerte Mangoldt-Funktion ist definiert als
:<math>\Lambda_k(n)=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\log^k(n/d)</math>
wobei <math>\mu</math> die [[Möbius-Funktion]] bezeichnet und <math>k\in \mathbb{Z}_+</math>.

Als [[Dirichlet-Faltung]] geschrieben
:<math>\Lambda_k(n)=(\mu \ast \log^k)(n).</math>

Im Fall <math>k=1</math> erhält man die gewöhnliche Mangoldt-Funktion <math>\Lambda_1=\Lambda</math>.<ref>{{Literatur|Titel=Opera de Cribro|Autor=John Friedlander und Henryk Iwaniec|Herausgeber=American Mathematical Society|Jahr=2010|ISBN=978-0-8218-4970-5|Sammelwerk=American Mathematical Society Colloquium Publications |Seiten=23| Band=57|Sprache=en}}</ref>

=== Eigenschaften ===
* Für <math>k\geq 1</math> gilt folgende Rekursion<ref>{{Literatur|Autor= J. B. Friedlander, D.R. Heath-Brown, H. Iwaniec, J. Kaczorowski|Titel=Analytic Number Theory: Lectures Given at the C.I.M.E. Summer School Held in Cetraro, Italy, July 11-18, 2002|Ort=Deutschland|Hrsg=Physica-Verlag|Datum=2006|Seiten=16}}</ref>
::<math>\Lambda_{k+1}(n)=\Lambda_k(n) \log(n)+(\Lambda_k \ast \Lambda) (n)</math>
* Es folgt aus der [[Rekursion]], dass wenn <math>\omega(n)>k</math> dann ist <math>\Lambda_k(n)=0</math>.

== Abschätzen der Mangoldt-Funktion ==

Das Abschätzen der Mangoldt-Funktion ist ein zentrales Problem der analytischen [[Zahlentheorie]]. Es gibt hierzu verschiedene Methoden wie [[Winogradows Methode]], der Null-Dichte-Methoden (englisch zero density methods) und [[Vaughans Identität]].

== Referenzen ==
* {{MathWorld|MangoldtFunction|Mangoldt Function}}
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Mangoldt_function Springerlink]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Zahlentheoretische Funktion]]
[[Kategorie:Mangoldt (Adelsgeschlecht)]]

Mangoldt-Funktion - Versionsgeschichte

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