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2025-02-27T11:46:44Z

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Als '''Maschenstromverfahren''' bezeichnet man ein in der [[Elektrotechnik]] verwendetes Verfahren zur [[Netzwerkanalyse (Elektrotechnik)|Netzwerkanalyse]]. Mit dieser Methode lassen sich die [[Elektrischer Strom|Zweigströme]] bestimmen. Denn jedes elektrische Netzwerk kann auf diese Weise durch ein lineares Gleichungssystem (im [[Gleichgewicht (Systemtheorie)#Stationärer Zustand|stationären Zustand]] mit [[Elektrisches Bauelement#Lineare und nichtlineare Bauelemente|linearen Bauelementen]]) oder durch ein Differentialgleichungssystem (bei [[Instationarität|in-stationären Vorgängen]] mit Kondensatoren und Induktivitäten) beschrieben und berechnet werden.
Vorteilhaft für eine Berechnung mit dem Maschenstromverfahren ist ein Netzwerk, welches durch einen [[Planarer Graph|planaren Graphen]] dargestellt werden kann, also keine Leitungskreuzungen besitzt.
Die Berechnung von nicht-planaren Netzwerken ist ebenso möglich, aber für die Handrechnung weniger geeignet.
Alternativ kann das [[Knotenpotenzialverfahren]] verwendet werden.

== Vorgehen ==
[[Datei:Brücke.svg|mini|Wien-Brücke]]
[[Datei:Baum beispiele.svg|mini|hochkant=0.7|Varianten der Bäume zur oberen Schaltung]]
[[Datei:Baum masche.svg|mini|In das Baum-Diagramm eingezeichnete Maschen]]

;Baum wählen:
* Das Netzwerk vereinfachen, d. h. Parallelschaltungen vereinen.
* Ideale [[Stromquelle]]n als Sehne wählen, das Gleichungssystem vereinfacht sich dadurch.
* Nicht-ideale Stromquellen in äquivalente [[Spannungsquelle]]n umwandeln.
*: <math>U_0=I_q \cdot R_i\ ;\ R_i(\mathrm{Spannungsquelle}) = R_i(\mathrm{Stromquelle})</math>
* [[Netzwerkanalyse (Elektrotechnik)#Baum|Baum]] markieren.
;Maschen festlegen
* Jede Masche (M) läuft über nur ''eine'' Sehne, ansonsten schließt sich diese über die Äste des Baumes
* Bei jeder Masche muss der Umlaufsinn festgelegt werden. Vom Umlaufsinn hängt die Wahl der [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] ab.
;Matrix aufstellen:

:<math> [R] \cdot [I_M] = [U_{qM}] </math><ref>{{Internetquelle |url=https://www.jku.at/fileadmin/gruppen/203/Lernhilfen/PBS_UE_2019-10-28_inkl_Loesung.pdf |titel=Beispielsammlung ET1 VO |hrsg=JKU, Institut für Nachrichtentechnik und Hochfrequenzsysteme |seiten=42 |abruf=2024-12-20 |kommentar=Matrixeinträge sind Leitwerte}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://www.n.ethz.ch/~zrene/et1/download/ubung5.pdf |titel=Elektrotechnik I Übung 5 Maschenstrom- und Knotenpotentialverfahren |hrsg=Eidgenössische Technische Hochschule Zürich |abruf=2024-12-20}}</ref>, mit komplexen Größen <math> [\underline Z] \cdot [\underline {I}_M] = [ \underline {U}_{qM}] </math>

:<math> \begin{pmatrix}
r_{11} & \dots & r_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
r_{n1} & \dots & r_{nn}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
i_{M1} \\
\vdots \\
i_{Mn}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
u_{qM1} \\
\vdots \\
u_{qMn}
\end{pmatrix}

</math>

In die Hauptdiagonale der Widerstands[[Matrix (Mathematik)|matrix]] trägt man die Summe aller Widerstände, über die sich die jeweilige Masche schließt, ein. Die Dimension der Matrix ist die Anzahl der Maschen abzüglich der idealen Stromquellen im Netzwerk.
:<math> r_{ii} = \sum R\ \mathrm{in} \ M_i</math>
In die anderen Felder trägt man die Summen der Widerstände ein, mit denen sich die Maschen überschneiden. Bei gegensätzlichem Umlaufsinn bekommt die Summe ein negatives Vorzeichen.
:<math>r_{ij} = r_{ji} = \sum [R\ \mathrm{in} \ M_i\ \mathrm{und} \ M_j \cdot \mathrm{Umlaufsinn}(M_i,M_j)]</math>
In die Quellspannungsmatrix trägt man die Summe aller Spannungsquellen ein, die in der jeweiligen Masche liegen. Das Vorzeichen ist positiv, wenn der Umlaufsinn ''ungleich'' dem Spannungspfeil ist.
:<math>u_{qMi} = \sum [U_q\ \mathrm{in} \ M_i \cdot (-1) \cdot \mathrm{Pfeil}(U_q,M_i)]</math>
Ideale Stromquellen (Iq) müssen anders behandelt werden. Die zugehörige Masche (MIq) wird nicht in die Matrix aufgenommen, sowohl Zeile als auch Spalte entfallen. Die Lösung des Maschenstromes ist bereits gegeben, IMi = Iq. Der Überlappung mit den anderen Maschen wird Rechnung getragen, indem der Spannungsabfall auf den gemeinsamen Widerständen durch die ideale Stromquelle in die Quellspannungsmatrix mit einfließt.
:<math>u_{qMi} = \sum [U_q\ \mathrm{in}\ M_i \cdot (-1) \cdot \mathrm{Pfeil}(U_q,M_i)] - I_q \cdot \sum [R\ \mathrm{in}\ M_i\ \mathrm{und}\ M_{Iq} \cdot \mathrm{Umlaufsinn}(M_i,M_{Iq})]</math>

;Gleichungssystem lösen:
Die aufgestellten Gleichungen bilden ein [[lineares Gleichungssystem]], für das es eine Vielzahl von [[Lineares Gleichungssystem#Lösungsverfahren|Lösungsverfahren]] gibt.

;Zweigströme berechnen:
Nach dem Überlagerungsprinzip berechnet sich der Strom in einem Zweig (vorzeichenrichtig) aus der Summe der Maschenströme, die diesen durchlaufen.

Beispiel:
:<math> I_1 = -I_{M2}</math>

== Siehe auch ==
* [[Knotenpotentialverfahren]]
* [[Kirchhoffsche Regeln]]
* [[Netzwerkanalyse (Elektrotechnik)]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Oliver Haas, Christian Spieker
|Titel=Aufgaben zur Elektrotechnik 1
|Verlag=Oldenbourg
|Ort=München
|Datum=2012
|ISBN=3-486-71680-8
|Seiten=81–103
|Online={{Google Buch |BuchID=hnOo5QRkDOEC |Seite=83 |Hervorhebung=Umlaufanalyse}}}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Elektrischer Strom]]
[[Kategorie:Theoretische Elektrotechnik]]

Maschenstromverfahren - Versionsgeschichte

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