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2023-05-18T03:15:45Z

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Das '''Prinzip von Inklusion und Exklusion''' (auch Prinzip der Einschließung und Ausschließung oder Einschluss-Ausschluss-Verfahren) ist eine zur Bestimmung der [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] einer [[Menge (Mathematik)|Menge]] hilfreiche Technik. Sie findet vor allem in der [[Kombinatorik]], der [[Zahlentheorie]] und der [[Stochastik]] Anwendung.

Das Prinzip drückt dazu die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Kardinalität]] einer Ursprungsmenge <math>X</math> durch die Kardinalitäten ihrer [[Mengenlehre#Teilmenge|Teilmengen]] aus. Diese sind in aller Regel einfacher zu bestimmen. Namensgebend ist dabei das Vorgehen, bei dem zunächst durch die [[Summe]] der Größen nicht notwendigerweise [[disjunkt]]er Teilmengen die Größe von <math>X</math> von oben abgeschätzt wird ''(Inklusion),'' anschließend jedoch durch die [[Subtraktion]] der Größe des gemeinsamen [[Mengenlehre#Schnittmenge|Schnittes]] der Teilmengen dies wieder zu korrigieren versucht wird ''(Exklusion).''

== Das Prinzip ==

[[Datei:Inclusion-exclusion.svg|mini|Prinzip von Inklusion und Exklusion am Beispiel von drei Mengen]]
Es ist ein bekanntes Ergebnis, dass für je zwei endliche Mengen <math>A</math> und <math>B</math>
:<math>|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|</math>
gilt. Hierbei kann man bereits das Prinzip von Inklusion und Exklusion erkennen. Durch <math>|A| + |B|</math> wird zunächst die Kardinalität von <math>|A \cup B|</math> von oben abgeschätzt. Diese zu hohe Zahl wird anschließend durch die Subtraktion von <math>|A \cap B|</math> korrigiert. Zweck dieser Korrektur ist es, diejenigen Elemente einmal wieder abzuziehen, die sowohl in <math>A</math> als auch in <math>B</math> enthalten sind und somit zunächst doppelt gezählt wurden.

Anhand der nebenstehenden Abbildung lässt sich erkennen, dass eine Verallgemeinerung auf drei endliche Mengen
:<math>|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|</math>
ergibt.

Im Allgemeinen wollen wir die Kardinalität der Vereinigung von <math>n</math> endlichen Mengen
:<math>X = A_1 \cup A_2 \cup \dotsb \cup A_n</math>
bestimmen. Als erste Näherung erhalten wir durch Inklusion die Summe der Kardinalitäten der <math>A_i</math>. Diese Summe kann jedoch zu groß sein, da wir [[Element (Mathematik)|Elemente]] aus dem Schnitt zweier Mengen <math>A_i \cap A_j</math> mehrfach zählen würden, es gilt also
:<math>|X| \leq \sum_{1 \leq i \leq n} |A_i|\;.</math>
Um dies zu korrigieren, können wir nun durch Exklusion die Summe der Kardinalitäten der Schnittmengen aller Mengenpaare wieder abziehen. Dann gilt
:<math>|X| \geq \sum_{1 \leq i \leq n} |A_i| ~ -\sum_{1 \leq i<j \leq n} |A_i \cap A_j|\;.</math>
Denn Elemente des Schnittes dreier Mengen <math>A_i \cap A_j \cap A_k</math> würden – obwohl nur ''zwei''mal zu häufig bei der Inklusion mitgezählt – durch <math>|A_i \cap A_j|</math>, durch <math>|A_i \cap A_k|</math> und durch <math>|A_j \cap A_k|</math> ''drei''mal wieder abgezogen. Dies nun durch Inklusion, also durch Addition der Summe der Größe aller Schnitte aus drei Mengen, zu korrigieren, ergibt
:<math>|X| \leq \sum_{1 \leq i \leq n} |A_i| ~ -\sum_{1 \leq i<j \leq n} |A_i \cap A_j| ~+ \sum_{1 \leq i<j<k \leq n} |A_i \cap A_j \cap A_k|\;.</math>
Darauf folgt durch Exklusion
:<math>|X| \geq \sum_{1 \leq i \leq n} |A_i| ~ -\sum_{1 \leq i<j \leq n} |A_i \cap A_j| ~+ \sum_{1 \leq i<j<k \leq n} |A_i \cap A_j \cap A_k| ~ -\sum_{1 \leq i<j<k<l \leq n} |A_i \cap A_j \cap A_k \cap A_l|</math>
und so weiter, wobei beispielsweise <math>\sum_{1 \leq i<j<k \leq n}</math> bedeutet, dass über alle geordneten Tripel <math>(i,j,k)</math> summiert wird, die den Ungleichungen <math>1 \leq i<j<k \leq n</math> genügen.

== Satz ==

Es lässt sich folgende allgemeine Aussage beweisen.

Gegeben sei eine endliche Menge <math>X</math>, die sich als Vereinigung von <math>n</math> Teilmengen <math>A_1, A_2, \dotsc, A_n</math> schreiben lässt, d. h. <math>X = \bigcup_{i=1}^n A_i</math>. Es bezeichne im Folgenden zu einer Indexmenge <math>I \subseteq \{1, 2, \dotsc, n\}</math> die Menge <math>A_I</math> den Schnitt über alle durch die Elemente der Indexmenge bezeichneten Teilmengen, also:
:<math>A_I := \bigcap_{i \in I} A_i</math> mit dem Spezialfall <math>A_\emptyset = X</math>
Dann gilt:
:<math>|X| = \sum_{\emptyset \not= I \subseteq \{1, \dotsc, n\}} \left(-1\right)^{|I|+1}|A_I|</math>
oder gleichwertig auch
:<math>\sum_{I \subseteq \{1, \dotsc, n\}} \left(-1\right)^{|I|+1}|A_I| = 0</math>

Mit anderen Worten: Betrachtet man alle möglichen Schnitte <math>A_I</math> (außer dem leeren Schnitt <math>A_\emptyset</math>), so ist die Kardinalität von <math>X</math> gleich der Summe der Kardinalität aller Schnitte einer ungeraden Anzahl an Teilmengen (Inklusion) minus der Summe der Kardinalität aller Schnitte einer geraden Anzahl an Teilmengen (Exklusion), formal:
:<math>|X| = \sum_{{I \subseteq \{1, \dotsc, n\},}\atop{|I|~\text{ungerade}}} |A_I| - \sum_{{\emptyset \not= I \subseteq \{1, \dotsc, n\},}\atop{|I|~\text{gerade}}} |A_I|</math>

== Anwendung ==

Eine Anwendung des Prinzips liefert die ''Siebformel von [[Henri Poincaré|Poincaré]] und [[James Joseph Sylvester|Sylvester]],'' auch ''Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten'' genannt:

Für die [[Wahrscheinlichkeit]] von beliebigen [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignissen]] <math>A_i</math> aus einem [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega, \Sigma, P)</math> gilt:

:<math>P\left(\bigcup_{i=1}^nA_i\right) = \sum_{k=1}^n\left((-1)^{k+1}\!\!\sum_{I\subseteq\{1, \dotsc, n\},\atop |I|=k}\!\!\!\! P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\right)</math>

Wegen der [[Additivität]] von [[Maß (Mathematik)|Maßen]] lässt sich der oben angegebene heuristische Beweis für das Prinzip von Inklusion und Exklusion, der mit Mitteln der elementaren Mengentheorie geführt wurde, direkt auf Wahrscheinlichkeiten übertragen.

Beispielsweise gilt für drei Ereignisse <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> stets
:<math>{P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)}</math>.

Allgemein gilt diese Aussage auch schon für [[Inhalt (Maßtheorie)|endliche Inhalte]] auf [[Ring (Mengensystem)|Ringen]].

== Beispiel ==

{{Hauptartikel|Fixpunktfreie Permutation}}
Beim vorweihnachtlichen Brauch des Wichtelns beschenkt sich eine Gruppe gegenseitig. Jeder beschenkt genau eine Person und wird wiederum von genau einer Person beschenkt. Dabei wird per Los zufällig festgelegt, wer welches Geschenk erhält. Idealerweise sollte jeder das Geschenk eines anderen erhalten. Es kann jedoch passieren, dass jemand zufällig sein eigenes Geschenk bekommt. Für die betreffende Person wäre es mit der Überraschung vorbei. Doch wie wahrscheinlich ist dieser Fall bei einer Gruppe von <math>n</math> Personen?

Mathematisch ausgedrückt möchte man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A := „Mindestens eine Person erhält ihr eigenes Geschenk“ ermitteln. Dies ist äquivalent dazu, dass mindestens eines der Ereignisse A<sub>i</sub> := „Person i erhält ihr eigenes Geschenk“ für <math>i\in\{1, \dotsc, n\}</math> zutrifft, wobei <math>n</math> die Anzahl Personen ist, die am Wichteln teilnimmt. Der rechte Term der Siebformel

:<math>P\left(\bigcup_{i=1}^nA_i\right) = \sum_{k=1}^n\left((-1)^{k+1}\!\!\sum_{I\subseteq\{1, \dotsc, n\},\atop |I|=k}\!\!\!\! P\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\right)</math>
kann vereinfacht werden zu
:<math>{nP(A_1) - \binom{n}{2}P(A_1\cap A_2) + \binom{n}{3}P(A_1\cap A_2\cap A_3) - \binom{n}{4}P(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4)}</math>
:: <math>{+ \binom{n}{5}P(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4\cap A_5) - \dotsb + \dotsb + (-1)^{n+1}P(A_1\cap \dotsb \cap A_n)}</math>,
da in diesem Beispiel die Wahrscheinlichkeiten aller Schnittmengen mit derselben Anzahl an Teilmengen gleich sind.
Die Wahrscheinlichkeit, dass <math>k</math> bestimmte Personen jeweils ihre eigenen Geschenke ziehen, beträgt
:<math>P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap\dotsb\cap A_{k})=\frac{1}{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\dotsm\cdot(n-k+1)}</math>.

Mit Hilfe der Definition des [[Binomialkoeffizient]]en erhält man somit
:<math>{P(A_{1}\cup\dotsb\cup A_{n})=n\cdot\frac{1}{n}-\frac{n(n-1)}{1\cdot2}\cdot\frac{1}{n(n-1)}+\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot2\cdot3}\cdot\frac{1}{n(n-1)(n-2)}}</math>
::<math>{- \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1\cdot2\cdot3\cdot4}\cdot\frac{1}{n(n-1)(n-2)(n-3)}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}\cdot\frac{1}{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}}</math>
::<math>{- \dotsb+\dotsb-\dotsb+\dotsb+(-1)^{n+1}\cdot\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot\dotsm\cdot n}}</math>.

Nach dem Kürzen der Brüche ergibt sich
:<math>{P(A_{1}\cup\dotsb\cup A_{n})=1-\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3}-\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}-\dotsb+\dotsb-\dotsb+\dotsb+(-1)^{n+1}\cdot\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot\dotsm\cdot n}}</math>.

Mit der Summenschreibweise lässt sich das verkürzt als <math>P(A_{1}\cup\dotsb\cup A_{n})=1-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}}{k!}</math> ausdrücken.

Bei großen Gruppen müssen ziemlich viele Summanden addiert werden und die Fakultät <math>k!</math> wird schnell extrem groß. In diesem Fall ist es zweckmäßig, den Grenzwert dieser Summe für <math>n\to\infty</math> zu bilden:
:<math>\lim_{n\to\infty}\left(1-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}}{k!}\right)=1-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!}=1-e^{-1}=1-\frac{1}{e}\approx63{,}2\,\%</math>

Bei der Reihe handelt es sich um die Auswertung der [[Taylorreihe]] mit Entwicklungsstelle <math>0</math> der natürlichen [[Exponentialfunktion]] an der Stelle <math>x=-1</math>, weshalb sich die Lösung auf insgesamt <math>1-\frac{1}{e}</math> vereinfacht. Dieser Wert kann als Näherung für großes <math>n</math> betrachtet werden. In großen Gruppen beträgt die Wahrscheinlichkeit demnach etwa <math>63{,}2\,\%</math>, dass mindestens eine Person ihr eigenes Geschenk erhält.<ref>Sinngemäß in leicht anderer Einkleidung in: Norbert Henze: ''Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls.'' Springer Spektrum, 1. Auflage, Wiesbaden 1997, S. 74–77.</ref><ref>{{Literatur |Autor=Stefan Bartz |Titel=Selbst-Bewichtelungen in 2 von 3 Spielen |Sammelwerk=Stochastik in der Schule |Nummer=33 |Datum=2013 |Online=https://www.stefanbartz.de/dateien/Selbst-Bewichtelungen.pdf |Format=PDF |KBytes=684}}</ref>

== Siehe auch ==

* [[Bonferroni-Ungleichung]]
* [[Schubfachprinzip]]

== Weblinks ==

{{Wikiversity|Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Vorlesung 3|Eine Vorlesung über die Siebformel im Rahmen eines Kurses zur diskreten Mathematik}}

== Literatur ==

* [[Norbert Henze]]: ''Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls.'' Springer Spektrum, 10. Auflage, Wiesbaden 2016, S. 70–76.
* Klaus Dohmen: ''Improved Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes – Inequalities and Identities of Inclusion-Exclusion Type.'' Springer-Verlag, 2003, ISBN 3-540-20025-8.
* Stasys Jukna: ''Extremal Combinatorics.'' Springer, Mai 2001, ISBN 3-540-66313-4.

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Kombinatorik]]
[[Kategorie:Mengenlehre]]

Prinzip von Inklusion und Exklusion - Versionsgeschichte

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