imported>Mathling: Multinomialverteilung verlinkt, aber schon eher im Text als vom VisualEditor vorgeschlagen

2025-06-15T12:37:54Z

Multinomialverteilung verlinkt, aber schon eher im Text als vom VisualEditor vorgeschlagen

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[[Datei:MultivariateNormal.png|mini|Darstellung der Standardabweichungsellipse einer [[Mehrdimensionale Normalverteilung|zweidimensionalen Normalverteilung]] sowie der beiden Marginalverteilungen (rot und blau).]]
Als '''Randverteilungen''' oder '''Marginalverteilung''' werden in der [[Stochastik]] die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en von Teilfamilien einer gegebenen [[Familie (Mathematik)|Familie]] von [[Zufallsvariable]]n bezeichnet. Die Verteilung der gesamten Familie wird zur Verdeutlichung auch [[Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen|gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen]] genannt. Sind beispielsweise <math>X</math> und <math>Y</math> Zufallsvariablen (auf demselben [[Wahrscheinlichkeitsraum]]), dann heißen die Verteilungen der einzelnen Variablen <math>X</math> und <math>Y</math> die Randverteilungen des [[Zufallsvektor]]s <math>(X,Y)</math>.

Randverteilungen kann man sowohl für diskrete als auch für stetige Merkmale berechnen. Wie bei Verteilungen allgemein unterscheidet man dementsprechend:
* ''[[Diskretheit|diskrete]] Randverteilungen''
* ''[[Stetige Funktion|stetige]] Randverteilungen''

Außerdem kann man die Randverteilung sowohl für [[absolute Häufigkeit]]en als auch für [[relative Häufigkeit]]en bilden. Die einzelnen Werte der Randverteilung nennt man dann Randhäufigkeiten (auch Marginalhäufigkeiten oder marginale Häufigkeiten). Die Randhäufigkeiten für kategorial unterteilte (distinkte) Merkmale lassen sich am Rand einer [[Kontingenztafel]] ablesen. Sie sind hier die Summen der Häufigkeiten über das vernachlässigte Merkmal hinweg.

== Beispiel anhand von Kontingenztafeln ==
Randverteilungen diskreter Merkmale lassen sich in Kontingenztafeln darstellen. Am Rand dieser Tafel lassen sich die Randhäufigkeiten, die zusammen die Randverteilung bilden, als Summen über das vernachlässigte Merkmal ablesen.

Beispielsweise ist hier eine Kontingenztafel mit absoluten Häufigkeiten zu sehen.
{| class="wikitable"
|-
! !! Mann !! Frau !! Randhäufigkeiten
|-
!class="hintergrundfarbe5"| Klasse 10 || 10|| 10|| 20
|-
!class="hintergrundfarbe5"| Klasse 11 || 4|| 16 || 20
|-
!class="hintergrundfarbe5"| Randhäufigkeiten || 14|| 26|| 40
|}

Die Randhäufigkeit in der Klasse 10 zu sein unter der Vernachlässigung dessen, ob man männlich oder weiblich ist, beträgt 20. Die entsprechende Randhäufigkeit für Klasse 11 ist ebenso 20. Die Randverteilung ist also gleichverteilt, weil es gleich viele Schüler in beiden Klassen gibt. Das Merkmal Klasse ist distinkt, das heißt in klar abgegrenzte Kategorien unterteilt.

Dieselbe Tabelle wäre auch mit relativen Häufigkeiten denkbar. Die relativen Randhäufigkeiten sind dann gemäß der [[Relative Häufigkeit#Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit|frequentistischen Interpretation]] ein Schätzer für die '''Randwahrscheinlichkeiten'''.

Es gibt allerdings auch Merkmale, die nicht in Kategorien unterteilt sind, wie zum Beispiel Körpergröße. Diese Merkmale sind stetig, weil es fließende Übergänge zwischen allen möglichen Ausprägungen des Merkmals gibt. Solche Merkmale lassen sich nicht in Tabellen darstellen. Um die Darstellung in einer Kontingenztafel dennoch zu ermöglichen, ist es möglich, das Merkmal in [[Klasseneinteilung (Statistik)|Klassen]] (gemeint sind hier Kategorien) einzuteilen, indem man sogenannte Klassengrenzen festlegt.<ref>P. Heinz Müller (Hrsg.): ''Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Lexikon der Stochastik.'' Akademie-Verlag, Berlin 1980, S. 116 und S. 124.</ref> Das stetige Merkmal Körpergröße könnten man einteilen, indem man als Klassengrenze 142 cm festlegt und die Personen in Leute größer als 142 cm und nicht größer als 142 cm einteilt. Für diese in Klassen eingeteilte Gruppen lassen sich nun wieder ''Klassenhäufigkeiten'' messen, die man in einer Kontingenztafel einträgt. Da eine Person, die in einer Klasse (> 142) ist, nicht zugleich in einer anderen Klasse (≤ 142) sein kann, spricht man auch von einer Einteilung in [[disjunkt]]e Mengen.

== Definition ==
Gegeben sei eine <math>\Omega_1\times\cdots\times\Omega_n</math>-wertige Zufallsvariable <math> Z=(X_1, \dotsc, X_n )</math> mit einer [[Multivariate Verteilung|multivariaten Verteilung]] <math> P_Z </math> als [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]. Dann heißt die Verteilung
: <math> P_{X_i}(A):=P_Z(\Omega_1 \times \dotsb \times \Omega_{i-1}\times A \times \Omega_{i+1} \times \dotsb \times \Omega_n )</math>

die ''i-te Randverteilung'' oder die ''i-te Marginalverteilung'' von <math> Z </math>. Alternativ wird sie auch definiert als
: <math> P_{X_i}(A)=P(X_1\in \Omega_1, \dotsc, X_{i-1}\in \Omega_{i-1},X_i\in A , X_{i+1}\in \Omega_{i+1}, \dotsc, X_{n}\in \Omega_{n} ) </math>.

Im Zweidimensionalen mit <math> Z=(X,Y) </math> wäre also die erste Randverteilung
:<math> P_X(A)=P_Z(A \times \Omega_2 ) \text{ bzw. } P_X(A)=P(X\in A, Y \in \Omega_2) </math>.

Allgemeiner lassen sich Randverteilungen auch für jede Teilmenge <math> J \subset I= \{1, \dotsc, n\} </math> definieren. Ist <math> |J|=m </math>, so heißen sie m-dimensionale Randverteilungen. Sie sind dann definiert durch
: <math> P_{X_J}(A) \;=\; \begin{cases} P(X_i\in A_i) & \mbox{wenn } i \in J \\ X_{i}\in \Omega_i & \mbox{sonst.} \end{cases}</math>

für
: <math>A = \prod_{i \in J} A_i</math>.

== Elementare Eigenschaften ==
* Es existieren genau <math>\tbinom{n}{m}</math> m-dimensionale Randverteilungen.
* Aus Sicht der Maßtheorie handelt es sich bei Randverteilungen um die [[Bildmaß]]e unter den [[Projektion (Mengenlehre)|Projektionen]] auf eine oder mehrere Koordinaten.
* Sind die <math> X_i </math> [[stochastisch unabhängige Zufallsvariablen]], so ist die [[Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen|gemeinsame Verteilung]] der <math> X_i </math> genau das [[Produktmaß|Produkt]] der eindimensionalen Randverteilungen.

== Abgeleitete Begriffe ==
=== Rand-Verteilungsfunktion ===
Besitzt <math> Z </math> die [[Verteilungsfunktion]] <math> F_Z \colon \R^n \to [0,1] </math>, so lässt sich auch eine '''Rand-Verteilungsfunktion''' als Verteilungsfunktion der Randverteilungen angeben. Für die eindimensionalen Randverteilungen ist sie definiert als
:<math> F_{X_i}(x_i)=F_Z(\infty, \dotsc, \infty, x_i, \infty, \dotsc, \infty) </math>.

Alle Komponenten bis auf die i-te werden also auf unendlich gesetzt. Analog geht man bei den m-dimensionalen Rand-Verteilungsfunktionen vor. Alle Komponenten in <math> J </math> bleiben erhalten, alle anderen werden auf unendlich gesetzt. Für den zweidimensionalen Fall mit <math> Z=(X,Y) </math> ergibt sich dann als die erste Randverteilungsfunktion
:<math> F_X(x)=F_Z(x, \infty) </math>.

=== Randdichte ===
Ebenso lassen sich für Randverteilungen auch [[Wahrscheinlichkeitsdichte]]n angeben, die '''Randdichten''' genannt werden. Das sind diejenigen Funktionen <math> f_{X_i} </math>, für die
: <math> F_{X_i}(x_i)= \int_{-\infty}^{x_i}f_{X_i}(t)\ \mathrm d t </math>

gilt. Besitzt <math> Z </math> eine gemeinsame Dichte <math> f_Z(x_1, \dotsc, x_n) </math>, so lässt sich die '''Rand-Dichte''' auch als
: <math> f_{X_i}(x_i):= \int_{-\infty}^{\infty} \dotsi \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \dotsi \int_{-\infty}^{\infty} f_Z(x_1, \dotsc, x_{i-1}, x_i, x_{i+1}, \dotsc, x_n)\ \mathrm d x_{1} \dotsm \mathrm d x_{i-1}\mathrm d x_{i+1} \dotsm \mathrm d x_{n} </math>

definieren. Für m-dimensionale Rand-Dichten geht man analog vor, man integriert dann über alle Komponenten, die nicht in <math> J </math> enthalten sind. Im Zweidimensionalen mit <math> Z=(X,Y) </math> erhält man dann mittels Integration über die jeweils andere Komponente als Rand-Dichten
: <math>f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_Z(x,y)\ \mathrm dy</math>
: <math>f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_Z(x,y)\ \mathrm dx</math>

=== Rand-Wahrscheinlichkeitsfunktion ===
Ebenso wie Rand-Dichten lassen sich auch '''Rand-Wahrscheinlichkeitsfunktionen''' angeben. Im Wesentlichen wird dabei nur die Integration durch die Summation ersetzt. Hat <math> Z </math> eine gemeinsame [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] <math> f_Z(x_1, \dotsc, x_n )</math>, so ist die i-te Rand-Wahrscheinlichkeitsfunktion gegeben als
: <math> f_{X_i}(x_i)=\sum_{j \neq i \atop x_j \in \Z} f_Z(x_1, \dotsc, x_n ) </math>.

Ebenso erhält man die m-dimensionalen Randverteilungen durch Summation, wenn man die Komponenten von Interesse nicht mitsummiert. Im zweidimensionalen mit <math> Z=(X,Y) </math> ergibt sich dann
: <math>f_X(x_i) = \sum_{k\in K} f_Z(x_i, y_k)</math>
: <math>f_Y(y_k) = \sum_{i\in I} f_Z(x_i, y_k)</math>.

== Beispiel Multinomialverteilung ==
=== In zwei Dimensionen ===
Sei als Beispiel <math> Z=(X,Y) </math> zweidimensional [[Multinomialverteilung|multinomialverteilt]], also <math> Z \sim M(n,(p,1-p)) </math>. Demnach hat <math> Z </math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion
: <math>f_Z(x,y) \;=\; \begin{cases} {n \choose x,y} \; p^{x} (1-p)^y & \mbox{wenn } x+y = n \\ 0 & \mbox{sonst.} \end{cases}</math>.

Hierbei ist <math> {n \choose x,y} </math> der [[Multinomialkoeffizient]]. Setzt man <math> y=n-x </math>, so ergibt sich direkt
: <math> f_Z(x,y)={n \choose x} p^x (1-p)^{n-x} </math>.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lässt sich also unabhängig von <math> y </math> darstellen. Demnach ist die Randdichte von <math> X </math>, die durch Aufsummieren über alle <math> y </math> entsteht, wieder genau die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math> Z </math>, bloß ohne <math> y </math> als Variable. Es ist also
: <math> f_X(x)={n \choose x} p^x (1-p)^{n-x} </math>,

die Randverteilung der Multinomialverteilung ist also eine [[Binomialverteilung]] mit den Parametern <math> p </math> und <math> n </math>.

=== In mehreren Dimensionen ===
Sei <math> Z=(X_1, \dotsc, X_m) </math> und <math>m</math>-dimensional multinomialverteilt, also <math> Z\sim M(n,(p_1, \dotsc, p_m) ) </math> mit <math> p_1 + \dotsb + p_m =1 </math>. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist dann
: <math>f_Z(x_1, \dotsc, x_m) \;=\; \begin{cases} {n \choose x_1, \dotsc, x_m} \; p_1^{x_1} \dotsm p_k^{x_m} & \mbox{wenn } x_1, \dotsc, x_m \in \mathbb{N}_0\mbox{ und } x_1 + \dotsb + x_m = n \\ 0 & \mbox{sonst} \end{cases}</math>.

Zur Berechnung der ersten Randverteilung summiert man nun über alle <math> x_2, x_3, \dotsc, x_m </math>. Zur Vereinfachung der Rechnung gruppiert man <math> p_2 + \dotsb + p_m = 1 - p_1 </math> und <math> x_1 = n - (x_2 + \dotsb + x_m) </math>. Mithilfe des [[Multinomialtheorem]]s folgt dann, dass die Randverteilung wieder binomialverteilt ist mit den Parametern <math> n </math> und <math> p_1 </math>.

== Verwandte Konzepte ==
Oftmals sollen einerseits Randverteilungen mit einer speziellen [[Verteilung einer Zufallsvariable|Verteilung]] generiert werden. Anderseits soll die [[gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen]] mit ihren Abhängigkeiten richtig dargestellt werden. Solche [[Multivariate Verteilung|multivariaten Verteilungen]] sind nicht nur durch die Randverteilungen und die [[Korrelation]] beschrieben, vielmehr muss die Abhängigkeit oftmals genauer beschrieben und modelliert werden. Z. B. erwartet man bei der Modellierung von Bondreturns möglicherweise, dass auch der Spread zwischen den beiden Returns in einem plausiblen Korridor verbleibt. Daher ist es bei der Modellierung von multivariaten Verteilungen oftmals notwendig oder nützlich, die Randverteilungen und ihre Abhängigkeit voneinander separat zu modellieren. Dies erfolgt über die Kalibrierung einer [[Copula (Mathematik)|Copula]].

Mittels der Randverteilungen lässt sich aus einer multivariaten Verteilung die [[bedingte Verteilung]] bestimmen. Sie modelliert, dass bereits Wissen über den Wert einer Zufallsvariable vorhanden ist.

== Literatur ==
* I. N. Bronstein: ''Taschenbuch der Mathematik.'' Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-8171-2006-0.
* [[Norbert Henze]]: ''Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls.'' Vieweg+Teubner Verlag 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, [[doi:10.1007/978-3-8348-9351-2]].
* {{Literatur
|Autor=Christian Hesse
|Titel=Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie
|Auflage=1.
|Verlag=Vieweg
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2003
|ISBN=3-528-03183-2
|DOI=10.1007/978-3-663-01244-3}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Stochastik]]

Randverteilung - Versionsgeschichte

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