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2025-08-17T10:09:31Z

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{{Dieser Artikel|behandelt den Begriff '''Resultante''' aus der Mathematik, für den Begriff aus der Mechanik siehe [[Resultierende]].}}

In der [[Mathematik]] ist die '''Resultante''' ein Werkzeug der kommutativen Algebra, um zwei Polynome auf das Vorhandensein gemeinsamer Nullstellen zu prüfen. In Erweiterung auf multivariate polynomiale Gleichungssysteme kann die Resultante dazu verwendet werden, nacheinander die Variablen des Systems zu eliminieren. Zu diesem Zweck wurden die Resultante und ähnliche Konstruktionen im Verlaufe des 19. Jahrhunderts untersucht, zuerst für Systeme mit Symmetrien, 1882 durch [[Leopold Kronecker|L. Kronecker]] auch für den allgemeinen Fall. In modernen [[Computeralgebrasystem]]en werden Resultanten bzw. deren mehrdimensionale Analoga benutzt, um aus einer vorher bestimmten [[Gröbner-Basis]] auf die Lösungen (bzw. deren Approximationen) eines Gleichungssystems zu schließen.

== Definition ==
Seien <math>f</math> und <math>g</math> zwei [[Polynom]]e von Grad <math>m</math> bzw. <math>n</math> aus <math>R[X]</math>, dem [[Polynomring]] in einer Unbestimmten <math>X</math> über einem [[Kommutativer Ring|kommutativen unitären Ring]] <math>R</math>, ausgeschrieben
:<math>f=f_0+f_1X+\dotsb+f_mX^m</math> und <math>g=g_0+g_1X+\dotsb+g_nX^n</math>.

Die Resultante dieser beiden Polynome ist die [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] der [[Sylvestermatrix]].

:<math>\operatorname{Res}(f,g)=\det
\begin{pmatrix}
f_m & f_{m-1} & \cdots & & f_0 & & & \\
& f_m & f_{m-1} & \cdots & & f_0 & & \\
& & \ddots & & & & \ddots & \\
& & & f_m & f_{m-1} &\cdots & & f_0 \\
g_n & g_{n-1} & \cdots & & g_0 & & & \\
& g_n & g_{n-1} & \cdots && g_0 & & \\
& & \ddots & & & & \ddots & \\
& & & g_n & g_{n-1} & \cdots & & g_0 \\
\end{pmatrix}
</math>

Die [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] besteht aus <math>n</math> Zeilen mit den Koeffizienten von <math>f</math> und <math>m</math> Zeilen mit den Koeffizienten von <math>g</math>. Alle in der obigen Matrix nicht beschrifteten Einträge sind Null. Die Sylvestermatrix ist also eine quadratische Matrix mit <math>m + n</math> Zeilen und Spalten.

== Eigenschaften ==
Da die Determinante eine in den Zeilen und Spalten alternierende multilineare Form ist, folgt leicht:
:<math> \operatorname{Res}(f,g) = (-1)^{mn}\operatorname{Res}(g,f) </math>

Die ([[Transponierte]] der) Sylvestermatrix ist die Systemmatrix der Gleichung <math>fp-gq=0</math>, aufgefasst als [[lineares Gleichungssystem]] in den Koeffizienten der [[Minor (Lineare Algebra)#Kofaktoren|Kofaktor]]-Polynome
:<math>p=p_0 + p_1X + \dotsb + p_{n-1}X^{n-1}</math> und <math>q = q_0 + q_1X + \dotsb +q_{m-1}X^{m-1}</math>.
Haben die Polynome <math>f</math> und <math>g</math> einen gemeinsamen Faktor, so verschwindet die Resultante. Für die Aussage in der anderen Richtung benötigt man noch, dass der Ring <math>R</math> ein [[Faktorieller Ring|faktorieller]] [[Integritätsbereich]], d. h. ohne [[Nullteiler]] und mit eindeutiger [[Primfaktorzerlegung]], ist. Das ist immer der Fall, wenn <math>R</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]] ist, z. B. der Körper der rationalen oder [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] oder ein Polynomring darüber. Sind diese Bedingungen erfüllt und gilt <math>\operatorname{Res}(f,g)=0</math>, so enthalten <math>f</math> und <math>g</math> einen gemeinsamen Faktor mit positivem Grad.

Ist der Koeffizientenbereich <math>R</math> ein Körper <math>K=R</math> und zerfallen die Polynome <math>f</math> und <math>g</math> in einer geeigneten Erweiterung über <math>K</math> (etwa in einem Zerfällungskörper <math>L\supset K</math>) in die Linearfaktoren
:<math>f(X)=f_m\cdot(X-a_1)\dotsm(X-a_m)</math> und <math>g(X)=g_n\cdot (X-b_1)\dotsm(X-b_n)</math> mit <math>a_i, b_j \in L</math>,
so kann die Resultante als Ausdruck in den Nullstellen dargestellt werden:
:<math>
\operatorname{Res}(f,g) = (f_m)^n\,g(a_1)\dotsm g(a_m) = (-1)^{mn}(g_n)^m\,f(b_1)\dotsm f(b_n) = (f_m)^n\,(g_n)^m\prod_{i=1}^m\prod_{j=1}^n(a_i-b_j)
</math>.
Da es sich bei dem rechten Doppelprodukt um ein in den <math>a_i</math> symmetrisches Polynom und ebenso in den <math>b_j</math> symmetrisches Polynom handelt, ist es nach dem Hauptsatz über symmetrische Polynome als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen der <math>a_i</math> und <math>b_j</math> (also in den Koeffizienten der Polynome <math>f, g</math>) darstellbar und liegt daher tatsächlich im Koeffizientenkörper <math>K</math>.

Mit Hilfe der [[Cramersche Regel|cramerschen Regel]] kann man zeigen, dass es immer Polynome <math>A</math> und <math>B</math> mit Koeffizienten in <math>R</math> gibt, so dass
:<math> Af+Bg=\operatorname{Res}(f,g)</math>
gilt. Die Koeffizienten von <math>A</math> und <math>B</math> ergeben sich aus der letzten Spalte der [[Minor (Mathematik)|Komplementärmatrix]] der Sylvestermatrix.

== Beziehung zum Euklidischen Algorithmus ==
Eine ähnliche Formel erhält man durch den [[Erweiterter euklidischer Algorithmus|erweiterten Euklidischen Algorithmus]]. In der Tat kann aus diesem ein effizientes Berechnungsverfahren für die Resultante abgeleitet werden, das Subresultanten-Verfahren.

== Literatur ==
* [[Siegfried Bosch]]: ''Algebra.'' 7., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-540-92811-9, {{doi|10.1007/978-3-540-92812-6}}.

[[Kategorie:Theorie der Polynome]]
[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Polynom]]

Resultante - Versionsgeschichte

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