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Anwendung: Itō-Prozess

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Die Theorie der '''stochastischen Integration''' befasst sich mit [[Integralrechnung|Integralen]] und Differentialgleichungen in der [[Stochastik]]. Sie verallgemeinert die Integralbegriffe von [[Lebesgueintegral|Henri Léon Lebesgue]] und [[Stieltjesintegral|Thomas Jean Stieltjes]] auf eine breitere Menge von [[Stieltjesintegral|Integratoren]]. Es sind [[stochastische Prozesse]] mit unendlicher [[Variation (Mathematik)|Variation]], insbesondere der [[Wiener-Prozess]], als Integratoren zugelassen. Die Theorie der stochastischen Integration stellt dabei die Grundlage der [[Stochastische Analysis|stochastischen Analysis]] dar, deren Anwendungen sich zumeist mit der Untersuchung [[Stochastische Differentialgleichung|stochastischer Differentialgleichungen]] beschäftigen.

== Geschichte ==
Schon [[Norbert Wiener]] untersuchte Integrale von deterministischen Integranden <math>f(t)</math> bezüglich der brownschen Bewegung der Form<ref>{{Literatur |Autor=J. L. Doob |Hrsg=American Mathematical Society |Titel=Wiener's work in probability theory |Sammelwerk=Bulletin of the American Mathematical Society |Band=72 |Datum=1966 |Seiten=69-72 |Online=https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society-new-series/volume-72/issue-1.P2/Wieners-work-in-probability-theory/bams/1183527585.full}}</ref>
:<math>\int f(t)\mathrm{d}_t X(t,\omega)</math>
und [[Integralrechnung#Mehrdimensionale Integration|mehrdimensionale]] stochastische Integrale dieser Form. [[Itō Kiyoshi]] verallgemeinerte diese Resultate und die moderne Theorie der stochastischen Integration baut im Wesentlichen auf seiner Arbeit auf. 2000 wurde ein versiegelter Umschlag von [[Wolfgang Döblin]] aus dem Jahre 1940 geöffnet. Darin befanden sich Resultate über die stochastische Integration, die er Itō Kiyoshi vorwegnahm. Döblin verstarb allerdings im selben Jahr, weshalb die Arbeit unentdeckt blieb.

== Stochastische Integration ==
Es existieren verschiedene stochastische Integralbegriffe.

Generell muss, um klassische stochastische Integrale zu konstruieren (Wiener, Itō, Stratonowitsch), der Integrand <math>X</math> gewisse Kriterien der Messbarkeit und Integrierbarkeit erfüllen. Sei hier <math>\mathcal{M}_{0,\operatorname{loc}}^{c}</math> der [[Mathematischer Raum|Raum]] der <math>\mathcal{F}_t</math>-[[Adaptierter stochastischer Prozess|adaptierten]], stetigen lokalen Martingale <math>M=(M_t)_{t\geq 0}</math> mit <math>M_0=0</math>. Für <math>M\in \mathcal{M}_{0,\operatorname{loc}}^{c} </math> mit <math>\mathbb{E}[\langle M\rangle_{\infty}]<\infty</math> definiert man den [[Lp-Raum|L<sup>2</sup>]]-[[Hilbert-Raum]] der [[Äquivalenzklasse]]n von <math>\mathcal{L}^2([0,\infty)\times \Omega,\mathcal{B}([0,\infty))\otimes \mathcal{F}_{\infty},\mu_M)</math>, wobei <math>\mu_M</math> für <math>\Xi\in\mathcal{B}([0,\infty))\otimes \mathcal{F}_{\infty}</math> durch
:<math>\mu_M(\Xi)=\mathbb{E}\left[\int_0^{\infty}1_{\Xi}(s,\omega) \mathrm{d}\langle M\rangle_s(\omega)\right]</math>
definiert ist (die Norm wird durch <math>\mu_M</math> induziert). Die richtige Wahl der Integranden sind die <math>L^2(\mu_M)</math>-integrierbaren [[Progressiv messbarer stochastischer Prozess|progressiv-messbaren]] <math>X</math>. Möchte man allgemeiner gegen nicht-stetige Semimartingale integrieren, dann muss man die Klasse der Integranden auf vorhersagbare Prozesse beschränken.<ref>{{Literatur |Autor=Daniel Revuz und Marc Yor |Hrsg=Springer |Titel=Continuous Martingales and Brownian Motion |Sammelwerk=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften |Band=293 |Datum=1999 |Sprache=en}}</ref>
=== Integralbegriff nach Wiener ===
Sei <math>C</math> der [[Klassischer Wiener-Raum|klassische Wiener-Raum]] mit dem [[Wienerprozess#Wiener-Maß|Wiener-Maß]] <math>\mu_W</math>. Sei <math>F\colon C \to \mathbb{R}</math> ein Funktional auf <math>C</math>, dann nennt man das Integral
:<math>\int_C F(\omega)\mathrm{d}\mu_W(\omega)</math>
''Wiener-Integral''.<ref>{{Literatur |Autor=Alexandre Joel Chorin |Hrsg=American Mathematical Society |Titel=Accurate Evaluation of Wiener Integrals |Sammelwerk=Mathematics of Computation |Band=27 |Nummer=121 |Datum=1973 |Seiten=1-15}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Norbert Wiener |Titel=Generalized harmonic analysis |Sammelwerk=Acta Math. |Band=55 |Datum=1930 |Seiten=117-258}}</ref> Allgemein werden Integrale einer deterministischen Funktion bezüglich eines Wiener-Prozesses so bezeichnet. Der [[Satz von Cameron-Martin]] beschäftigt sich in seiner ursprünglichen Form mit diesem Integral.

=== Integralbegriffe nach Itō und Stratonowitsch ===

==== Itō-Integral ====
Das ''Itō-Integral'' ist zunächst für [[Semimartingal]]e <math> Y</math> und für [[Elementarer vorhersagbarer stochastischer Prozess|elementare vorhersagbare Prozesse]] definiert, d. h. für (an eine Filtration <math> (\mathcal{F}_t)_t</math> adaptierte) stochastische Prozesse <math> H</math> der Form
: <math> H_t=h_0 1_{\{0 \}}(t) + \sum\limits_{i=0}^{n-1} h_i 1_{(t_i, t_{i+1}]}(t), \quad 0 = t_0 < \dots < t_n, \quad n\in\mathbb{N}, \quad h_i \text{ } \mathcal{F}_{t_i} \text{-messbar},</math>
durch
: <math> I_Y(H):=\sum\limits_{i=0}^{n-1}h_i \left(Y_{t_i} -Y_{t_{i+1}}\right) </math>
Die elementaren Prozesse können alternativ auch allgemeiner mit Stoppzeiten anstelle von deterministischen Zeitpunkten <math> t_i</math> definiert werden.

Sei <math>\mathbf{L}</math> der Raum der adaptierten [[Càdlàg-Funktion|Càglàd]]-Prozesse und <math>\mathbf{S}</math> der Raum der elementaren vorhersagbaren Prozesse. Wir nennen die [[Topologischer Raum|Topologie]], welche durch die [[gleichmäßige Konvergenz]] auf [[Kompakte Menge|kompakten]] Mengen [[Konvergenz in Wahrscheinlichkeit|in Wahrscheinlichkeit]] erzeugt wird, die ''UCP-Topologie'' (UCP für {{enS|uniformly on compact in probability}}). Man kann nun zeigen, dass <math>\mathbf{S}</math> in der UCP-Topologie dicht in <math>\mathbf{L}</math> liegt. Damit lässt sich das stochastische Integral (als lineare Abbildung <math> H \longmapsto I_Y(H)</math>) auf <math>\mathbf{L}</math> fortsetzen. Konkret: Das Ito-Integral eines Prozesses <math>X\in\mathbf{L}</math> ist also definiert als der Grenzwert
: <math>\int_0^t X_s \mathrm{d}Y_s := \lim_{n \to \infty} \int_0^t X^{(n)}_s \mathrm{d}Y_s \quad \text{in UCP}</math>
für jede Folge von Prozessen <math>(X^{(n)})_{n \in \mathbb{N}} \subseteq\mathbf{S}</math>, die gegen <math>X</math> konvergieren (bzgl. der UCP-Topologie). Die Definition ist in der Tat unabhängig von der gewählten Folge.

In der allgemeinsten Formulierung werden als Integratoren [[Semimartingal]]e <math>Y</math> und als Integranden [[Vorhersagbarer Prozess|vorhersagbare Prozesse]] <math>X</math> zugelassen (die zusätzlich gewisse Integrierbarkeitsbedingungen erfüllen). Sind die Integratoren <math>Y</math> zusätzlich stetig, genügt es für die Integranden <math>X</math>, progressiv-messbar (und in <math>L(Y)</math>) zu sein.

Als Folge der (abstrakten) Konstruktion des Integrals erhält man folgenden anschaulicheren Zusammenhang:

Seien <math> Y </math> ein Semimartingal und <math>X</math> ein adaptierter Càdlàg- oder Càglàd-Prozess. Dann gilt für jede Folge reeller Zahlen <math>\left( T_n\right)_n</math> mit <math>\lim_{n\to \infty} T_n= \infty</math> und für jede Folge <math>\left( \pi_n \right)_n</math> von [[Partition eines Intervalls|Partitionen des Intervalls]] <math>[0,T_n]</math> mit <math>\lim_{n\to\infty}\sup_k |t^n_{k+1}-t^n_k| = 0</math> die Konvergenz
: <math> \sup_{t\in [0,T]} \Big| \int_0^t X_{s-}\,\mathrm dY_s - \sum_i X_{t_i^n} (Y_{t_{i+1}^n\land t}-Y_{t_i^n\land t})\Big| \xrightarrow{n\to\infty} 0</math>
in Wahrscheinlichkeit für alle <math>T>0</math>, wobei <math>X_{s-}=\lim_{u\to s-} X_u</math> (die linksstetige Version von <math>X</math>) und <math>t\land s = \min(t,s)</math>. Dies lässt sich auch kompakter schreiben als
: <math>\lim_{n\to \infty} \sum_i X_{t_i^n}(Y_{t_{i+1}^n\land t}-Y_{t_i^n\land t})= \int_0^t X_{s-}\,\mathrm dY_s \quad \text{in UCP.}</math>
Die Aussage gilt sogar allgemeiner für Folgen von ''random partitions tending to the identity'', was aber mehr Notation für die Definition des Begriffs erfordert.<ref>{{Literatur |Autor=Philip Protter |Titel=Stochastic Integration and Differential Equations A New Approach |Auflage=2. korrigierte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=1990 |Umfang=302 |ISBN=978-3-662-02619-9 |Seiten=49-51, 57, 216, 228}}</ref>

==== Stratonowitsch-Integral ====
{{Hauptartikel|Stratonowitsch-Integral}}
Für ein [[Semimartingal]] <math> Y </math> und einen adaptierter Càdlàg-Prozess <math>X</math>, sodass die [[Quadratischer Variationsprozess|quadratische Kovariation]] <math>\left[X,Y \right]</math> existiert, kann man das ''Stratonowitsch-Integral'' oder ''Fisk-Stratonowitsch-Integral'' (nach [[Ruslan Leontjewitsch Stratonowitsch]] und [[Donald Fisk]]) definieren durch
: <math>\begin{align}
\int_0^tX_{s-}\circ \mathrm{d}Y_s &= \int_0^t X_{s-} \mathrm{d}Y_s + \frac{1}{2} \left[X,Y \right] _t - \frac{1}{2} \sum\limits_{0\leq s\leq t} \Delta Y_s\Delta X_s \\
&=\int_0^t X_{s-} \mathrm{d}Y_s + \frac{1}{2} \left[X,Y \right] _t^c,
\end{align}</math>
wobei <math>\int_0^t X_{s-} \mathrm{d}Y_s</math> das Itō-Integral und <math>\Delta Y_s := Y_s - Y_{s-}</math> der Sprung von <math> Y </math> an der Stelle <math>s</math> sind.
Daraus folgt ähnlich wie beim Ito-Integral eine anschaulichere Darstellung des Integrals:
Seien <math>Y</math> und <math>X</math> wie in der obigen Definition und gelte zusätzlich, dass <math>Y</math> und <math>X</math> keine Sprünge zum gleichen Zeitpunkt haben, d. h. <math>\sum\limits_{0\leq t} \Delta Y_t\Delta X_t=0</math>. Dann gilt für jede Folge reeller Zahlen <math>\left( T_n\right)_n</math> mit <math>\lim_{n\to \infty} T_n= \infty</math> und für jede Folge <math>\left( \pi_n \right)_n</math> von [[Partition eines Intervalls|Partitionen des Intervalls]] <math>[0,T_n]</math> mit <math>\lim_{n\to\infty}\sup_k |t^n_{k+1}-t^n_k| = 0</math> die Konvergenz
: <math>\lim_{n\to \infty} \sum_i \frac{1}{2} ( X_{t_i^n}+X_{t_{i+1}^n}) (Y_{t_{i+1}^n\land t}-Y_{t_i^n\land t})= \int_0^t X_{s-}\,\mathrm dY_s \quad \text{in UCP.}</math>
Auch hier gilt die Aussage noch allgemeiner für ''sequences of random partitions tending to the identity.''

==== Vergleich der Integrale ====
Beim Itō-Integral wird der Integrand <math>X</math> also stets am Anfang des <math>h</math>-Intervalls ausgewertet, bei Stratonowitsch werden der Anfangs- und Endwert gemittelt. Bei gewöhnlichen ([[Riemannintegral|Riemann-]] oder [[Lebesgueintegral|Lebesgue-]]) Integralen von deterministischen (nicht zufälligen) und hinreichend glatten (beispielsweise [[Stetige Funktion|stetigen]]) Funktionen hat dies keinen Einfluss auf das Ergebnis, doch im stochastischen Fall gilt: Sind <math>X</math> und <math>Y</math> nicht unabhängig, so kann das tatsächlich zu verschiedenen Werten führen (siehe Beispiel unten).

[[Datei:ItoIntegral.png|mini|280px|Eine Brownsche Bewegung <math>B_s</math> (rot) und das Integral von <math>B_s\,\mathrm dB_s</math> (blau)]]

=== Verallgemeinerungen ===
==== Integralbegriff nach Ogawa ====
{{Hauptartikel|Ogawa-Integral}}
Der Integralbegriff ist für nicht-adaptierte Integranden. Man bildet eine Zufallsreihe mit Hilfe eines orthonormalen Systems im <math>L^2</math>-Hilbertraum und lässt diese dann gegen das [[Ogawa-Integral]] konvergieren. Der entsprechende [[Kalkül]] wird ''nicht-kausales Kalkül'' genannt.<ref>{{Literatur |Autor=S. Ogawa |Titel=Sur le produit direct du bruit blanc par lûi-même |Sammelwerk=C. R. Acad. Sci. Série A Paris t. |Band=288 |Datum=1979 |Seiten=359–362}}</ref>

==== Integralbegriff nach Marcus ====
Eine Verallgemeinerung des Fisk-Stratonowitsch-Integrals auf allgemeine Semimartingale mit Sprüngen ist das Marcus-Integral. Stochastische Differentialgleichungen mit diesem Integralbegriff nennt man vom ''Marcus-Typ''. Marcus entwickelte einen Kalkül, welcher auf dem Kalkül von McShane basiert.<ref>{{Literatur |Autor=Steven Marcus |Titel=Modeling and approximation of stochastic differential equation driven by semimartigales |Sammelwerk=Stochastics |Band=4 |Datum=1981 |Seiten=223–245}}</ref>

==== Integralbegriff nach Hitsuda-Skorochod ====
{{Hauptartikel|Skorochod-Integral}}
Eine Erweiterung des Itō-Integrals auf nicht-adaptierte Prozesse ist das ''Hitsuda-Skorochod-Integral''.<ref>{{Literatur |Autor=A. V. Skorokhod |Titel=On a Generalization of a Stochastic Integral |Sammelwerk=Theory of Probability & Its Applications |Band=20 |Nummer=2 |Datum=1976 |Seiten=219-233 |DOI=10.1137/1120030}}</ref> Das Integral ist ein Spezialfall des [[Adjungierter Operator|adjungierten Operators]] des Ableitungsoperator der [[Malliavin-Ableitung]]. Im Falle der Integrierbarkeit bezüglich der brownschen Bewegung und der Adaptierbarkeit des Integranden erhält man gerade das Itō-Integral. Alternativ lässt sich das Integral auch über die [[Wiener-Chaos-Zerlegung]] definieren.

==== Integralbegriff nach Walsh ====
Das Walsh-Integral ist ein Integral bezüglich eines Martingal-Maßes, um stochastische partielle Differentialgleichungen zu studieren. Das Integral wurde von John B. Walsh eingeführt. Von Robert C. Dalang existiert eine Erweiterung für distributionelle Integranden.

== Beispiele ==
* Sei <math>(W_t)_{t \geq 0}</math> ein (Standard-)[[Wiener-Prozess]]. Trivialerweise gilt <math>\int_{a}^{b}\mathrm{d}W_t=W_b-W_a</math> für <math>a,b\geq 0</math>.
* Sei <math> (W_t)_{t \geq 0}</math> ein (Standard-)[[Wiener-Prozess]]. Zu berechnen ist das Itō-Integral <math>\int_0^T W_t\,\mathrm dW_t</math>. Schreibt man der Kürze halber <math>B_i := W_{iT/n}</math>, <math>\Delta B_i :=B_{i+1}-B_i</math> und benutzt man die Identität
::<math>B_{i+1}^2 -B_i^2 = (B_{i+1}-B_i)^2 + 2 B_i (B_{i+1}-B_i),</math>
:so erhält man aus obiger Integrationsvorschrift
::<math>\begin{align}
I &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} B_i (B_{i+1}-B_i)\\
&= \lim_{n \to \infty} \left( \frac 12 \sum_{i=0}^{n-1}(B_{i+1}^2-B_i^2) -\frac 12 \sum_{i=0}^{n-1} (B_{i+1}-B_i)^2 \right)\\
&= \frac 12 \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1}(B_{i+1}^2-B_i^2) -\frac 12 \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} (\Delta B_i)^2\\
&= \frac 12 \lim_{n \to \infty} \left(B_n^2-B_0^2\right) -\frac T2 \lim_{n \to \infty} \frac 1n \sum_{i=0}^{n-1} \left(\sqrt{\frac nT} \Delta B_i\right)^2.
\end{align}</math>

:Benutzt man nun einerseits, dass <math>B_0=W_0=0</math>, <math>B_n=W_T</math> gelten, sowie andererseits die Eigenschaft, dass <math>\left(\sqrt{\frac nT} \Delta B_i\right)^2</math> [[i.i.d.]] <math>\chi^2</math>-verteilt ist (wegen der [[Prozess mit unabhängigen Zuwächsen|unabhängigen]], [[Normalverteilung|normalverteilten]] Zuwächse der Brownschen Bewegung), so folgt mit dem [[Gesetz der großen Zahlen]] für den hinteren Grenzwert
::<math>I=\frac{1}{2}W_T^2-\frac{T}{2}.</math>

:Um das entsprechende Stratonowitsch-Integral zu berechnen, nutzt man die [[Stetige Funktion|Stetigkeit]] der Brownschen Bewegung aus:
::<math>\begin{align}
S &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{2}(B_{i+1}+B_i)(B_{i+1}-B_i)\\
&= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{2}(B_{i+1}^2-B_i^2)\\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2}(B_{n}^2-B_0^2)\\
&= \frac 12 W_T^2
\end{align}</math>
:Itō- und Stratonowitsch-Integral über demselben Prozess führen also zu verschiedenen Ergebnissen, wobei das Stratonowitsch-Integral eher der Intuition aus der gewöhnlichen (deterministischen) Integralrechnung entspricht.

== Martingaleigenschaft ==
Der bei weitem am häufigsten verwendete Integrator <math>Y </math> ist eine Brownsche Bewegung. Der entscheidende Vorteil, den das Stratonowitsch-Integral nicht hat und der letztendlich dazu führte, dass sich das Itō-Integral weitgehend als Standard durchgesetzt hat, ist die folgende Eigenschaft:

:Sei <math>Y </math> ein [[Lévy-Prozess]] mit konstantem [[Erwartungswert]], <math>X </math> eine ''nicht vorgreifende'' beschränkte Funktion von <math>Y </math> und <math>t </math> (d. h., für jedes <math>t>0</math> ist <math>X_t</math> messbar bezüglich der [[σ-Algebra]] <math>\sigma (Y_s; s<t)</math>, die von den Zufallsvariablen <math>Y_s</math>, <math>s<t</math>, erzeugt wird), so ist der Prozess
::<math>t \mapsto \int_0^t X_s\,\mathrm dY_s </math>
:ein [[lokales Martingal]] bezüglich der natürlichen [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtrierung]] von <math>Y </math>. Unter zusätzlichen Beschränktheitsbedingungen ist der Integralprozess sogar ein [[Martingal]].

== Anwendung: Itō-Prozess ==
Ausgehend vom itōschen Integralbegriff ist es nun möglich, eine breite Klasse von stochastischen Prozessen zu definieren: Ein [[stochastischer Prozess]] <math>(X_t)_{t \geq 0}</math> wird '''Itō-Prozess''' genannt, wenn es eine Brownsche Bewegung <math>(W_t)_{t \geq 0}</math> und stochastische Prozesse <math>(a_t(X_t, t))_{t \geq 0}</math>, <math>(b_t(X_t, t))_{t \geq 0}</math> gibt mit
:<math>\forall t \geq 0 \colon X_t = X_0 + \int_0^t a_s(X_s, s)\,\mathrm ds + \int_0^t b_s(X_s, s) \,\mathrm dW_s</math>,
wobei angenommen wird, dass die beiden Integrale existieren.<ref>Hui-Hsiung Kuo: ''Introduction to Stochastic Integration.'' Springer, 2006, ISBN 978-0-387-28720-1, S. 102 ({{Google Buch |BuchID=VEAxuzpCvj0C |Seite=102}}).</ref> In [[Differential (Mathematik)|Differentialschreibweise]] wird diese Gleichung als
:<math>\mathrm{d}X_t = a_t(X_t, t)\, \mathrm{d}t + b_t(X_t, t)\, \mathrm{d}W_t</math>
notiert. Ein Itō-Prozess kann also als verallgemeinerter Wiener-Prozess mit zufälliger Drift und [[Volatilität]] angesehen werden.

Das Prädikat „<math>X</math> ist ein Itō-Prozess“ wird somit zu einem stochastischen Pendant zum Begriff der [[Differenzierbarkeit]]. Ausgehend hiervon wurden dann von Itō selbst die ersten [[Stochastische Differentialgleichung|stochastischen Differentialgleichungen]] definiert.

Hängen der Driftkoeffizient <math>a_t</math> und der Diffusionskoeffizient <math>b_t</math> nicht von der Zeit ab, so spricht man von [[Itō-Diffusion]]; hängen sie zusätzlich von der Zeit ab, so liegt dagegen ein allgemeinerer Itō-Prozess vor.

Durch zahlreiche Anwendungen in der [[Mathematisches Modell|mathematischen Modellierung]], insbesondere in der [[Statistische Physik|statistischen Physik]] und der [[Finanzmathematik]], hat sich der Itō-Kalkül inzwischen zu einem unverzichtbaren mathematischen Werkzeug entwickelt.

== Siehe auch ==
* [[Diskretes stochastisches Integral]]
* [[Euler-Maruyama-Verfahren]]

== Literatur ==
* J. Jacod, A. Shiryaev: ''Limit theorems for stochastic processes''. Springer, Berlin.
* P. Protter: ''Stochastic integrals and differential equations''. Springer, Berlin.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Stochastische Differentialgleichung]]
[[Kategorie:Finanzmathematik]]
[[Kategorie:Stochastischer Prozess]]

Stochastische Integration - Versionsgeschichte

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