imported>Nomen4Omen: Die letzte Textänderung von Jog94 wurde verworfen. See talk!!!!!!!!!

2021-11-10T19:31:26Z

Die letzte Textänderung von Jog94 wurde verworfen. See talk!!!!!!!!!

Neue Seite

In [[Analysis]] und [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] bezeichnet man als '''Ultrametrik''' eine [[Metrischer Raum|Metrik]] <math>d \colon S\times S\to \mathbb{R}</math> auf einer Menge <math>S</math>, welche die Metrik-Axiome
#<math>d\left(a,b\right) \geq 0</math>
#<math>d\left(a,b\right) = 0 \Leftrightarrow a = b </math>
#<math>d\left(a,b\right) = d(b,a)</math> (Symmetrie)
#<math>d\left(a,c\right) \leq d(a,b) +d(b,c)</math> ([[Dreiecksungleichung]])
für alle <math>a, b, c \in S</math> und die letzte, die Dreiecksungleichung, in der verschärften Form
:<math>d(a,c) \leq \max \{d(a,b),d(b,c)\}</math>
erfüllt. Ein mit einer Ultrametrik versehener Raum heißt ein '''ultrametrischer Raum'''.

== Beispiele ==

Die [[Diskrete Topologie#Diskrete Metriken|diskrete Metrik]] (<math>d(a,b)=1</math> für <math>a\neq b</math>, sonst <math>0</math>) auf einer nichtleeren Menge ist eine '''Ultrametrik'''.

Die [[p-adische Zahl#p-adische Metrik|p-adische Metrik]] auf <math>\Q</math> und die auf dem Körper <math>\Q_p</math> der [[p-adische Zahl|p-adischen Zahlen]] ist eine Ultrametrik.

Ist <math>S</math> eine beliebige nichtleere Menge, dann kann man die Menge <math>S^\N</math> aller [[Folge (Mathematik)|Folgen]] in <math>S</math> zu einem metrischen Raum machen, indem man den Abstand zweier verschiedener Folgen
<math>(x_n), (y_n)</math> auf den Wert <math>1/N</math> setzt, wobei <math>N</math> der kleinste Index ist, für den <math>x_N</math> verschieden ist von <math>y_N</math>, und den Abstand einer Folge zu sich selbst auf <math>0</math> setzt. Dieser metrische Raum ist dann [[vollständiger Raum|vollständig]] und ultrametrisch. Die dadurch induzierte Topologie stimmt mit der abzählbaren [[Produkttopologie]] der [[diskrete Topologie|diskreten Topologie]] über <math>S</math> überein. Wichtige Beispiele für so konstruierte Räume sind der [[Baire-Raum (speziell)|Baire-Raum]] (<math>S</math> abzählbar unendlich) und der [[Cantormenge#0-1-Folgen|Cantor-Raum]] (<math>S</math> endlich mit mindestens zwei Elementen).

== Eigenschaften ==

Jedes Dreieck <math>ABC</math> aus Punkten eines ultrametrischen Raums <math>S</math> ist gleichseitig oder gleichschenklig mit kürzerer Basis. Zum Beweis: Sind <math>a</math>,<math>b</math>,<math>c</math> die Abstände der drei Eckpunkte (<math>a=d(B,C)</math> usw.), dann ist entweder <math>a=b=c</math> (<math>ABC</math> gleichseitig) oder eine Seite ist kürzer als eine andere, ohne Einschränkung nehmen wir an, dass <math>a<b</math>. Dann kann man aus der verschärften Dreiecksungleichung folgern, dass <math>c=b</math> sein muss (es ist <math>a<b\leq \max\{a,c\}</math>, also <math>b\leq c</math>, und <math>c\leq \max\{a,b\}=b</math>), also ist <math>ABC</math> dann gleichschenklig mit kürzerer Basis <math>BC</math>.

Jede Kugel mit strikt positivem Radius ist sowohl abgeschlossen als auch offen (aber nicht notwendig eine offene und geschlossene Kugel). (Schikhof, 1984)

Jeder Punkt in einer (offenen oder abgeschlossenen) Kugel ist Mittelpunkt dieser Kugel, und der Durchmesser ist kleiner oder gleich ihrem Radius. ([[Marc Krasner]], 1944)

Zwei Kugeln sind entweder elementfremd ([[disjunkt]]), oder eine ist ganz in der anderen enthalten.

Eine Folge <math>(a_n)</math> in <math>S</math>, in der die Abstände direkt aufeinander folgender Glieder gegen 0 konvergieren, ist eine Cauchy-Folge, denn für jedes <math>\varepsilon>0</math> gibt es dann ein <math>N</math> mit <math>d(a_n,a_{n+1}) < \varepsilon</math> für alle <math>n\geq N</math>, und somit gilt wegen der verschärften Dreiecksungleichung für alle <math>m > n \geq N</math>: <math>d(a_n,a_m) \leq \max\{d(a_n,a_{n+1}), \ldots, d(a_{m-1},a_m)\} < \varepsilon</math>.

In einer [[topologische Gruppe|abelschen topologischen Gruppe]], deren Topologie von einer translationsinvarianten Ultrametrik erzeugt wird (z. B. einem ultrametrischen Körper wie <math>\Q_p</math>) ist eine [[unendliche Reihe]] genau dann eine [[Cauchy-Folge]], wenn die Summanden eine [[Nullfolge]] bilden. Ist die Gruppe [[vollständiger Raum|vollständig]], dann konvergiert die Reihe in diesem Fall.

Ein ultrametrischer Raum ist [[Total unzusammenhängender Raum|total unzusammenhängend]].

== Anwendung==
Anwendungen gibt es beispielsweise in der Theorie der sog. [[Spinglas|Spingläser]] in der Physik, und zwar in der [[Replika-Trick|Replika-Theorie]] von [[Giorgio Parisi]].

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Topologie]]

Ultrametrik - Versionsgeschichte

imported>Nomen4Omen: Die letzte Textänderung von Jog94 wurde verworfen. See talk!!!!!!!!!