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2025-11-14T23:53:46Z

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{{Dieser Artikel| behandelt eine Modellklasse, die der Zielgröße erlaubt eine andere Verteilung als die Normalverteilung anzunehmen.
* Für das verallgemeinerte Modell der Kleinste-Quadrate-Schätzung, siehe [[Verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Schätzung#Das verallgemeinerte lineare Regressionsmodell (VLR)|Das verallgemeinerte lineare Regressionsmodell (VLR)]].}}

'''Verallgemeinerte lineare Modelle'''<ref name=":0">{{Internetquelle |autor=[[International Statistical Institute]] |titel=Generalized linear model |titelerg=ISI Glossary |url=https://www.isi-web.org/glossary/720 |werk=www.isi-web.org |abruf=2024-05-06 |kommentar=vielsprachiges Verzeichnis statistischer Fachbegriffe}}</ref> ('''VLM'''), auch '''generalisierte lineare Modelle'''<ref>{{Literatur |Autor=[[Ludwig Fahrmeir]], [[Thomas Kneib]], Stefan Lang |Titel=Regression – Modelle, Methoden und Anwendungen |Verlag=Springer |Ort= Heidelberg / Dordrecht / London / New York |Datum=2009 |Auflage=2 |ISBN=978-3-642-01836-7 |DOI=10.1007/978-3-642-01837-4 |Fundstelle=4. ''Generalisierte lineare Modelle'', S. 189}}</ref> ('''GLM''' oder '''GLiM''') sind in der [[Statistik]] eine von [[John Nelder]] und [[Robert Wedderburn (Statistiker)|Robert Wedderburn]] (1972) eingeführte wichtige Klasse von nichtlinearen Modellen, die eine Verallgemeinerung des [[Klassisches lineares Modell der Normalregression|klassischen linearen Regressionsmodells]] in der [[Regressionsanalyse]] darstellt.<ref>{{Literatur |Autor=John Nelder, Robert Wedderburn |Titel=Generalized Linear Models |Sammelwerk=Journal of the Royal Statistical Society, Series A (General) |Band=135 |Jahr=1972 |Seiten=370–384 |DOI=10.2307/2344614}}</ref>
Von spezieller Bedeutung ist die Verwendung einer nichtlinearen Kopplungsfunktion.
Während man in klassischen linearen Modellen annimmt, dass die [[Störgröße und Residuum|Störgröße]] (die unbeobachtbare Zufallskomponente) [[Normalverteilung|normalverteilt]] ist, kann sie in GLMs eine Verteilung aus der Klasse der [[Exponentialfamilie]] besitzen. Diese [[Verteilungsklasse]] beinhaltet neben der Normalverteilung auch die [[Binomial-Verteilung|Binomial-]], [[Poisson-Verteilung|Poisson-]], [[Gamma-Verteilung|Gamma-]] und [[Inverse Normalverteilung|inverse Gaußverteilung]]. Damit bietet die Verwendung der Exponentialfamilie in verallgemeinerten linearen Modellen ein einheitliches Rahmenwerk für diese Verteilungen. Die große Klasse von [[Vektorverallgemeinerte lineare Modelle|vektorverallgemeinerten linearen Modellen]] ({{enS}} ''vector generalized linear models'', kurz ''VGLMs'') beinhaltet die Klasse der verallgemeinerten linearen Modelle als Spezialfall. Ebenso in dieser großen Modellklasse enthalten sind loglineare Modelle für [[Kategoriale Variable|kategoriale Daten]] und das Modell der ''Poisson-Regression für [[Zähldaten]]''.<ref>Rencher, Alvin C., und G. Bruce Schaalje: [https://www.utstat.toronto.edu/~brunner/books/LinearModelsInStatistics.pdf ''Linear models in statistics.''], John Wiley & Sons, 2008., S. 513.</ref> Um die Einschränkungen der verallgemeinerten linearen Modelle und verallgemeinerten [[Additives Modell|additiven Modelle]] zu überwinden, wurden sogenannte [[Verallgemeinerte additive Modelle für Lage-, Skalen- und Formparameter]] entwickelt.

== Begriffsklärung ==
''Verallgemeinerte lineare Modelle'' sind nicht mit dem ''[[Allgemeines lineares Modell|allgemeinen linearen Modell]]'' zu verwechseln, dessen natürliche englische Abkürzung ebenfalls ''GLM'' ist, aber im Gegensatz zu verallgemeinerten linearen Modellen von der Voraussetzung einer normalverteilten Antwortvariablen ausgeht. In vielen [[Liste von Statistik-Software|statistischen Programmpaketen]] werden – da die Abkürzung ''GLM'' schon für das allgemeine linearen Modell belegt ist – zur besseren Unterscheidung andere Abkürzungen wie ''VLM'' bzw. ''GLZ'' für {{enS}} GeneraLiZed linear models (in [[STATISTICA]]) oder ''GzLM'' für {{enS}} GeneraLiZed Linear Models (in [[SPSS]]) verwendet. Manche Autoren verwenden zur besseren Unterscheidung statt der Abkürzung ''GLM'' die Abkürzung ''GLiM''.

Ebenso sind verallgemeinerte lineare Modelle nicht mit dem [[Verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Schätzung#Das verallgemeinerte lineare Regressionsmodell (VLR)|verallgemeinerten linearen Regressionsmodell]] der [[Verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Schätzung|verallgemeinerten Kleinste-Quadrate-Schätzung]] (''VKQ-Schätzung'') zu verwechseln, bei der jedoch eine verallgemeinerte Struktur bzgl. der [[Störgröße und Residuum|Störgrößen]] vorliegt.

== Modellkomponenten ==
Die Modellklasse der verallgemeinerten linearen Modelle besteht aus drei Komponenten:

* '''Zufallskomponente:''' Wie bei den [[Klassisches lineares Modell|klassischen linearen Modellen]] nimmt man [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|unabhängige]] [[Zufallsvariable]]n <math>Y_1, Y_2, \ldots, Y_n</math> mit [[Erwartungswert]] <math>\operatorname{E}(Y_{i}) = \mu_{i}</math> an, die eine [[Dichtefunktion]] aus der [[Exponentialfamilie]] (z. B. eine [[Binomial-Verteilung|Binomial-]], [[Poisson-Verteilung|Poisson-]], oder [[Gamma-Verteilung]]) besitzen.

* '''Systematische Komponente''': Gegeben ist der [[Kovariable]]nvektor <math>\mathbf x_{i}^{\top} = (1 , x_{i1},\ldots, x_{ik})</math> mit <math>k+1</math> Komponenten (siehe [[Multiple lineare Regression#Das klassische Modell der linearen Mehrfachregression|Das klassische Modell der linearen Mehrfachregression]]), der die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Verteilung]] der <math>Y_{i}</math> nur durch eine [[lineare Funktion]] beeinflusst. Diese lineare Funktion heißt ''[[linearer Prädiktor]]'' und ist in der [[Multiple lineare Regression|multiplen linearen Regression]] in folgender Form gegeben:

:<math>\eta_{i} = \beta_0 + x_{i1} \beta_1 +x_{i2} \beta_2+ \dotsc + x_{ik} \beta_k = \mathbf{x}^{\top}_{i} \boldsymbol{\beta}</math>. Hier erkennt man, dass der lineare Prädiktor den Vektor der [[Regressionskoeffizient]]en <math>\boldsymbol{\beta} = \left( \beta_{0} \, \beta_{1}, \dots ,\beta_{k} \right)^{\top}</math> in das Modell miteinführt.

* '''Kopplungsfunktion''': Für ein verallgemeinertes lineares Modell ist eine (oft nichtlineare<ref>Rencher, Alvin C., und G. Bruce Schaalje: [https://www.utstat.toronto.edu/~brunner/books/LinearModelsInStatistics.pdf ''Linear models in statistics.''], John Wiley & Sons, 2008., S. 514.</ref>) [[Kopplungsfunktion]] <math>g(\cdot)</math> vorhanden, die die durch den [[Lineare Prädiktorfunktion|linearen Prädiktor]] <math>\eta_{i}</math> beschriebene systematische Komponente und die durch den [[Erwartungswert]] <math>\mu_i = \operatorname{E}(Y_{i})</math> der [[Einflussgröße und Zielgröße|Antwortvariablen]] beschriebene stochastische Komponente der Verteilung von <math>Y_{i}</math> koppelt: <math>g(\mu_i) = \eta_{i}</math>. Die [[Umkehrfunktion]] der Kopplungsfunktion, die sogenannte ''[[Kopplungsfunktion#Antwortfunktion|Antwortfunktion]]'' <math>h(\cdot)</math> überführt die [[Linearkombination]] der erklärenden Variablen in den [[Bedingter Erwartungswert|(bedingten) Erwartungswert]] <math>\mu_i = \operatorname{E}(Y_{i})</math>: <math>\mu_i = h(\eta_{i})</math>.<ref>Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: ''Regression: models, methods and applications.'' Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 301.</ref> Beispiele für Kopplungsfunktionen sind die [[Logit-Funktion]] und die [[Probit-Funktion]].

== Verteilungen aus der Familie der verallgemeinerten linearen Modelle ==
In die Modellklasse der verallgemeinerten lineare Modelle lassen sich einbetten die [[Normalverteilung]], [[Binomial-Verteilung]], [[Poisson-Verteilung]], [[Gammaverteilung]] und die [[Inverse Normalverteilung]], [[Bernoulli-Verteilung]], [[Skalierte Poisson-Verteilung]], [[Skalierte Binomial-Verteilung]], [[Skalierte negative Binomial-Verteilung]].<ref>Torsten Becker et al.: ''Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden.'' Springer Spektrum, 2016. S. 308.</ref>

== Literatur ==
* Peter McCullagh, John Nelder: ''Generalized Linear Models'', Chapman and Hall/CRC Press, 2. Auflage 1989
* {{Literatur |Autor=Charles E. McCulloch, Shayle R. Searle, John M. Neuhaus |Titel= Generalized, Linear, and Mixed Models |Auflage=2. |Reihe=Wiley Series in Probability and Statistics |Verlag= Wiley |Ort=Hoboken |Datum=2008 |Fundstelle=5. ''Generalized Linear Models (GLMs)'', S. 136–156}}
* {{Literatur |Autor=[[Ludwig Fahrmeir]], [[Thomas Kneib]], Stefan Lang |Titel=Regression – Modelle, Methoden und Anwendungen |Verlag=Springer |Ort= Heidelberg / Dordrecht / London / New York |Datum=2009 |Auflage=2 |ISBN=978-3-642-01836-7 |DOI=10.1007/978-3-642-01837-4 |Fundstelle=4. ''Generalisierte lineare Modelle'', S. 189–234}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Verallgemeinerte lineare Modelle| ]]
[[Kategorie:Regressionsmodell]]

Verallgemeinerte lineare Modelle - Versionsgeschichte

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