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2025-05-19T05:47:11Z

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Der '''Vuong-Test''' ist ein [[statistischer Test]] zur Modellselektion, der auf dem [[Informationskriterium|Bayesschen Informationskriterium]] basiert. Er ist nach dem Mathematiker [[Quang H. Vuong]] benannt, der den Test im Jahr 1989 vorschlug.

== Theoretische Verfahrensweise ==

Der Vuong-Test testet die [[Hypothese (Statistik)|Nullhypothese]], dass zwei Modelle – egal ob diese hierarchisch, nicht-hierarchisch oder überlappend sind – gleich nahe an der wahren Verteilung liegen gegen die Gegenhypothese, dass ein Modell näher daran liegt. Er trifft aber keine Aussage, dass das bessere Modell auch wirklich das [[Wahres Modell|wahre Modell]] ist. Unter der Annahme nicht-hierarchischer sowie identisch und unabhängig verteilter erklärender Variablen wird Modell 1 (bzw. Modell 2) auf dem Signifikanzniveau <math>\alpha</math> bevorzugt, wenn die Testgröße

:<math>Z=\frac{LR_N(\beta_{ML,1},\beta_{ML,2})} {\sqrt{N}\omega_N}</math>

mit

:<math>{LR_N(\beta_{ML,1},\beta_{ML,2})}=L^1_N-L^2_N-\frac{K_1-K_2} {2} \log N</math>

das (negative) <math>(1-\alpha)</math>-Quantil der Standardnormalverteilung überschreitet (bzw. unterschreitet). Die Zählergröße ist die analog zum [[Informationskriterium|Bayesschen Informationskriterium]] um die Zahl der Koeffizienten korrigierte Differenz der maximalen [[Maximum-Likelihood-Methode|Log-Likelihoods]] der beiden Modellschätzungen, die Nennergröße <math>\sqrt{N}\omega_N</math> entspricht der Summe der Quadrate von

:<math>\ell_i=\log \frac{f_1(y_1|x_i,\beta_{ML,1})}{f_2(y_1|x_i,\beta_{ML,2})}</math>.

Bei hierarchischen und überlappenden Modellen wird die Teststatistik

:<math>2LR_N(\beta_{ML,1},\beta_{ML,2})</math>

mit entsprechenden kritischen Größen aus einer gewichteten Summe von [[Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-Verteilungen]] verglichen. Diese kann mittels einer [[Gammaverteilung]] approximiert werden:

:<math>M_m(.,\mathbf\lambda)\sim \Gamma(b,p)</math>

mit

:<math>\mathbf\lambda=(\lambda_1, \lambda_2, \dotsc, \lambda_m)</math>, <math>m=K_1+K_2</math>, <math>b=\frac 1 2 \frac {\sum\lambda_i} {\sum\lambda_i^2}</math>   und   <math>p = \frac 1 2 \frac {{(\sum\lambda_i)}^2} {\sum\lambda_i^2}</math>.

Hierbei ist <math>\mathbf\lambda</math> der Vektor der [[Eigenwert]]e einer [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] bedingter [[Erwartungswert]]e. Dessen Herleitung ist jedoch recht schwierig, so dass Aussagen im überlappenden Fall meist nur aufgrund subjektiv ausreichend großer Werte getroffen werden.

== Literatur ==
* Quang H. Vuong: Likelihood Ratio Tests for Model Selection and non-nested Hypotheses, in: Econometrica, Vol. 57, Iss. 2, 1989, Seite 307–333, {{JSTOR|1912557}}.

[[Kategorie:Parametrischer Test]]

Vuong-Test - Versionsgeschichte

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