imported>EinMathematikerInAustria: Wie in der Diskussion von 2023 gewünscht im Vorspann eine anschauliche Erklärung der Weingartenabbildung hinzugefügt - bevor (unverändert) der langatmige Artikel folgt.

2025-08-12T14:33:07Z

Wie in der Diskussion von 2023 gewünscht im Vorspann eine anschauliche Erklärung der Weingartenabbildung hinzugefügt - bevor (unverändert) der langatmige Artikel folgt.

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Die '''Weingartenabbildung''' (nach dem deutschen Mathematiker [[Julius Weingarten]]), auch '''Formoperator''' genannt, ist eine Funktion aus der Theorie der [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] im [[Dimension (Mathematik)|dreidimensionalen]] [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] (<math>\mathbb{R}^3</math>), einem Teilgebiet der klassischen [[Differentialgeometrie]].

Die Weingartenabbilung ist die negative Derivierte der [[Gauß-Abbildung]] der Fläche und somit faserweise linear. Sie beschreibt die (negative) differenzielle Änderung des Normalenvektors. Da die [[Fläche (Mathematik)|Krümmung einer Fläche]] anschaulich durch Änderung der Richtung der Flächennormalen beschrieben wird, können aus den Eigenschaften der Weingartenabbildung Krümmungseigenschaften der Fläche abgeleitet werden.

Die Definition der Weingartenabbildung ist in der Literatur nicht einheitlich: Die Weingartenabbildung kann auf verschiedenen Räumen gelesen werden und auch mit dem umgekehrten Vorzeichen versehen sein. Ihr Zweck bleibt aber immer derselbe, nämlich Änderungen der Normalenrichtungen in erster Ordnung linear zu erfassen.

== Vorbereitung ==
Eine reguläre Fläche sei durch die Parameterdarstellung
:<math>\begin{align}
X\colon \R^2 \supset A & \to \R^3 \\
(u,v) & \mapsto X(u,v)
\end{align}
</math>
gegeben. Dabei sei <math>X</math> mindestens zweimal stetig differenzierbar und in jedem Punkt <math>(u,v)</math> habe die Ableitung <math>DX_{(u,v)}</math>, eine [[lineare Abbildung]] von <math>\R^2</math> nach <math>\R^3</math>, vollen Rang. Das Bild dieser linearen Abbildung ist dann ein zweidimensionaler Unterraum des <math>\R^3</math>, der [[Tangentialraum]] der Fläche im Punkt <math>p = X(u,v)</math>. Dabei denkt man sich die Bildvektoren im Punkt <math>p = X(u,v)</math> angeheftet. Der Tangentialraum wird von den beiden Vektoren
: <math>X_1(u,v) = X_u(u,v) = \tfrac{\partial X}{\partial u}(u,v) = DX_{(u,v)}(e_1)</math> und
: <math>X_2(u,v) = X_v(u,v) = \tfrac{\partial X}{\partial v}(u,v) = DX_{(u,v)}(e_2)</math>
aufgespannt. (Hierbei bezeichnen <math>e_1</math> und <math>e_2</math> die Einheitsvektoren der [[Standardbasis]] des <math>\R^2</math>.)

Die [[Einheitsnormale]] <math>N(u,v)</math> im Punkt <math>p = X(u,v)</math> der Fläche kann mit Hilfe des [[Vektorprodukt]]s berechnet werden:
:<math>N(u,v) = \frac{X_u(u,v)\times X_v(u,v)}{|X_u(u,v)\times X_v(u,v)|}</math>
Somit ist <math>N</math> eine differenzierbare Abbildung vom Parameterbereich <math> A \subset \R^2</math> in den Vektorraum <math>\R^3</math>. Den Bildvektor <math>N(u,v)</math> denkt man sich angeheftet an den Punkt <math>p=X(u,v)</math>.
Die Ableitung <math>DN_{(u,v)}</math> im Punkt <math>(u,v)</math> ist eine lineare Abbildung von <math>\R^2</math> nach <math>\R^3</math>. Aus der Bedingung, dass <math>N(u,v)</math> ein Einheitsvektor ist, folgt, dass für jedes Parameterpaar <math>(u,v)</math> das Bild der Abbildung <math>DN_{(u,v)}</math> im Tangentialraum der Fläche im Punkt <math>p=X(u,v)</math> liegt und somit im Bild der Abbildung <math>DX_{(u,v)}</math>. Da <math>DX_{(u,v)}</math> injektiv ist, existiert die Umkehrabbildung <math>(DX_{(u,v)})^{-1}</math> als Abbildung auf dem Tangentialraum im Punkt <math>X(u,v)</math>.

== Definition ==
Man kann nun die Weingartenabbildung als lineare Abbildung im Parameterbereich (klassische Sichtweise) oder auf dem Tangentialraum (moderne Sichtweise) definieren.

=== Im Parameterbereich ===
Die Abbildung <math>DN_{(u,v)}</math> bildet den <math>\R^2</math> auf den Tangentialraum der Fläche im Punkt <math>X(u,v)</math> ab. Die Abbildung <math>(DX_{(u,v)})^{-1}</math> bildet diesen Tangentialraum wieder auf den <math>\R^2</math> ab. Die durch Verkettung und [[Vorzeichenwechsel]] daraus entstehende lineare Abbildung
:<math>L_{(u,v)} = -(DX_{(u,v)})^{-1} \circ DN_{(u,v)}</math>
von <math>\R^2</math> nach <math>\R^2</math>
heißt ''Weingartenabbildung'' an der Stelle <math>(u,v)</math>.

=== Auf der Fläche ===
Die Abbildung <math>(DX_{(u,v)})^{-1}</math> bildet einen Vektor des Tangentialraums der Fläche im Punkt <math>p = X(u,v)</math> in den <math>\R^2</math> ab. Die Abbildung <math>DN_{(u,v)}</math> bildet den Bildvektor wieder in den Tangentialraum ab.
Die durch Verkettung und Vorzeichenwechsel daraus entstehende lineare Abbildung
:<math>L_{X(u,v)} = -DN_{(u,v)}\circ (DX_{(u,v)})^{-1}</math>
bildet den Tangentialraum im Punkt <math>p = X(u,v)</math> auf sich ab und heißt ''Weingartenabbildung'' am Punkt <math>p = X(u,v)</math>.
Es gilt also
:<math>L_{X(u,v)} X_i(u,v) = - N_i(u,v)</math> für <math>i = 1, 2</math>.

== Koordinatendarstellung ==
Die beiden Versionen der Weingartenabbildung sind auf völlig verschiedenen Vektorräumen definiert. Wählt man jedoch im Parameterbereich die Standardbasis und im Tangentialraum die Basis <math>X_u(u,v)</math>, <math>X_v(u,v)</math>, so stimmen die zugehörigen Abbildungsmatrizen
:<math>\begin{pmatrix} h^1{_1}(u,v) & h^1{_2}(u,v) \\ h^2{_1}(u,v) & h^2{_2}(u,v) \end{pmatrix}</math>
überein.
Sie sind durch die Gleichungen
:<math>L_{X(u,v)} (X_u(u,v)) = - N_u(u,v) =h^1{_1}(u,v) X_u(u,v) + h^2{_1}(u,v) X_v(u,v) </math>
:<math>L_{X(u,v)} (X_v(u,v)) = - N_v(u,v) =h^1{_2}(u,v) X_u(u,v) + h^2{_2}(u,v) X_v(u,v) </math>
charakterisiert.
In [[Einsteinsche Summenkonvention|Einsteinscher Summenkonvention]], mit <math>X_1 = X_u</math>, <math>X_2 = X_v</math>, <math>N_1 = N_u = DN_{(u,v)} (e_1)</math>, <math>N_2 = N_v = DN_{(u,v)} (e_2)</math> und unter Weglassung des Arguments:
:<math>L (X_j) = - N_j = h^i{}_j X_i</math>

== Zusammenhang mit der zweiten Fundamentalform ==
Für jedes Parameterpaar <math>(u,v)</math> ist die [[erste Fundamentalform]] <math>g_{(u,v)}</math> ein Skalarprodukt im <math>\R^2</math> und die [[zweite Fundamentalform]] <math>h_{(u,v)}</math> eine symmetrische [[Bilinearform]]. Diese sind durch die Weingartenabbildung wie folgt verbunden:
Für Vektoren <math>w_1, w_2 \in \R^2</math> gilt
:<math>h(w_1, w_2) = g(w_1, L w_2)</math>.
Für die zugehörigen Matrixdarstellungen gilt in Einsteinscher Summenkonvention
:<math>h_{ik} = g_{ij}h^j{_k}</math>
und
:<math>h^i{}_k = g^{ij}h_{jk}.</math>

== Eigenschaften ==
[[Datei:Minimal surface curvature planes-de.svg|mini|Die [[Hauptkrümmung]]en sind [[Eigenwert]]e der Weingartenabbildung]]

* Die Weingartenabbildung <math>L</math> ist [[Selbstadjungierter Operator|selbstadjungiert]] bezüglich der ersten Fundamentalform <math>g</math>, das heißt, für alle <math>w_1, w_2 \in \R^2</math> gilt<br /><math style="margin-left:2em">
g(w_1, L w_2) = g(L w_1, w_2)\,.
</math><br />In jedem Punkt der Fläche existiert deshalb eine Basis aus Eigenvektoren von <math>L</math>, die orthonormal bezüglich <math>g</math> ist.
* Die Richtungen der [[Eigenvektor]]en heißen ''Hauptkrümmungsrichtungen''.
* Die [[Eigenwert]]e der Weingartenabbildung geben die [[Hauptkrümmung]]en der Fläche an.
* Für einen Vektor <math>w\in T_{(u,v)}\R^2</math> beschreibt <math>Lw</math> die Änderung der Flächennormalen in dieser Richtung an diesem Punkt.
* Die Weingartenabbildung ist die [[Pushforward|Ableitung]] der [[Gauß-Abbildung]].

== Beispiel ==

Dem Beispiel aus den Artikeln [[erste Fundamentalform]] und [[zweite Fundamentalform]] folgend, wird wieder die Oberfläche einer Kugel vom Radius <math>r>0</math> betrachtet. Diese Fläche wird wieder durch
:<math>X(u,v) = \begin{pmatrix}r \sin u \cos v\\r \sin u \sin v\\r \cos u\end{pmatrix}</math> parametrisiert.

Die Matrixdarstellung der ersten Fundamentalform besteht aus den Komponenten <math>g_{uu}=r^2</math>, <math>g_{uv}=g_{vu}=0</math>, sowie <math>g_{vv}=r^2 \sin^2 u</math>.

Die Matrixdarstellung der zweiten Fundamentalform besteht aus den Komponenten <math>h_{uu}=-r</math>, <math>h_{uv}=h_{vu}=0</math>, sowie <math>h_{vv}=-r \sin^2 u</math>.<br />

Beide sind durch die Gleichung <math>h_{ik}=g_{ij}h^j{_k}</math> miteinander verbunden. Diese liefert durch Ausschreiben der Einsteinschen Summenkonvention folgende vier Gleichungen:
:<math>h_{uu}= g_{uu}h^u{_u} + g_{uv}h^v{_u} </math>
:<math>h_{uv}= g_{uu}h^u{_v} + g_{uv}h^v{_v} </math>
:<math>h_{vu}= g_{vu}h^u{_u} + g_{vv}h^v{_u} </math>
:<math>h_{vv}= g_{vu}h^u{_v} + g_{vv}h^v{_v} </math>
Durch Einsetzen der Komponenten der Matrixdarstellungen erhält man die Komponenten der Weingartenabbildung:
:<math>h^u{_u}=h^v{_v}=-\frac{1}{r}</math>
:<math>h^u{_v}=h^v{_u}=0</math>
Alternativ hätte auch die explizite Formel <math>h^i{}_k = g^{ij}h_{jk}</math> genutzt werden können. Dazu hätte allerdings die Matrix der ersten Fundamentalform invertiert werden müssen, um die <math>g^{ij}</math> zu erhalten.

== Literatur ==
* {{bibISBN|9783834804112}}

[[Kategorie:Elementare Differentialgeometrie]]

[[en:Differential geometry of surfaces#Shape operator]]

Weingartenabbildung - Versionsgeschichte

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