Komplex-hyperbolischer Raum

Der komplex-hyperbolische Raum ist in der Mathematik ein Beispiel für einen negativ gekrümmten symmetrischen Raum, dessen Krümmung – anders als beim hyperbolischen Raum – nicht konstant ist.

Definition

Sei <math>\mathbb C^{n,1}</math> der Vektorraum <math>\mathbb C^{n+1}</math> mit der Hermiteschen Form

<math>\langle U,V\rangle =-u_{n+1}\overline{v}_{n+1}+\sum_{j=1}^nu_j\overline{v}_j</math>

für <math>U=(u_1,\ldots,u_{n+1}), V=(v_1,\ldots,v_{n+1})</math>.

Der n-dimensionale komplex-hyperbolische Raum <math>\mathbb CH^n</math> ist

<math>\mathbb CH^n=\left\{X\in\mathbb C^{n,1}: \langle X,X\rangle =-1\right\}</math>

mit der von der Hermiteschen Form <math>\langle.,.\rangle</math> induzierten riemannschen Metrik.

Geometrie

<math>\mathbb CH^n</math> ist isometrisch zum homogenen Raum

<math>SU(n,1)/S(U(n)\times U(1))</math>.

Es ist ein symmetrischer Raum vom Rang 1.

Für die Schnittkrümmung von Ebenen im <math>\mathbb CH^n</math> gilt die Ungleichung <math>-4\le K\le -1</math>. Ebenen in <math>\mathbb RH^n\subset \mathbb CH^n</math> haben Schnittkrümmung <math>-1</math>, während die Ebene <math>\mathbb CH^1\subset\mathbb CH^n</math> die Schnittkrümmung <math>-4</math> hat.

Der Rand im Unendlichen <math>\partial_\infty\mathbb CH^n</math> ist homöomorph zur <math>S^{2n-1}</math>. Horosphären sind isometrisch zur Heisenberggruppe.

Isometrien

Eine Isometrie von <math>\mathbb CH^n</math> heißt elliptisch, wenn sie einen Fixpunkt in <math>\mathbb CH^n</math> hat, parabolisch, wenn sie einen eindeutigen Fixpunkt in <math>\partial_\infty\mathbb CH^n</math> hat, und loxodromisch, wenn sie zwei Fixpunkte in <math>\partial_\infty \mathbb CH^n</math> hat.

Loxodromische Isometrien werden durch Matrizen <math>A\in SU(n,1)</math> mit jeweils mindestens einem Eigenwert vom Betrag kleiner bzw. größer 1 repräsentiert. Eine loxodromische Isometrie heißt strikt hyperbolisch, wenn sie durch eine Matrix <math>A\in SU(n,1)</math> mit reellen Eigenwerten repräsentiert wird, schwach hyperbolisch sonst.

Parabolische Isometrien sind entweder unipotent, d. h. werden durch eine Matrix <math>A\in SU(n,1)</math> repräsentiert, deren Eigenwerte alle 1 sind, oder ellipto-parabolisch, in diesem Fall gibt es eine eindeutige komplexe Geodäte, auf der die Isometrie als parabolische Isometrie von <math>\mathbb CH^1\simeq H^2</math> wirkt.

Eine Isometrie ist genau dann elliptisch, wenn sie eine zyklische Gruppe mit kompaktem Abschluss erzeugt. Sie heißt regulär elliptisch, wenn alle Eigenwerte einer repräsentierenden Matrix <math>A\in SU(n,1)</math> verschieden sind.

Komplex-hyperbolische Mannigfaltigkeiten

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt komplex-hyperbolisch, wenn ihre universelle Überlagerung isometrisch zum <math>\mathbb CH^n</math> ist.

Ballquotienten

In der algebraischen Geometrie werden komplexe Mannigfaltigkeiten als Ballquotienten bezeichnet, wenn ihre universelle Überlagerung biholomorph zum <math>\mathbb CH^n</math> ist.

Literatur

• Goldman, William M.: Complex hyperbolic geometry. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1999. xx+316 S. ISBN 0-19-853793-X
• David Epstein: Complex hyperbolic geometry. Analytical and geometric aspects of hyperbolic space (Coventry/Durham, 1984), S. 93–111, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 111, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987.