σ-kompakter Raum

Ein topologischer Raum heißt σ-kompakt oder abzählbar im Unendlichen, wenn er sich als abzählbare Vereinigung kompakter Teilräume schreiben lässt. σ-Kompaktheit ist also eine Abschwächung des topologischen Begriffs der Kompaktheit. Der Buchstabe σ in der Bezeichnung rührt daher, dass die Vereinigung von Mengen früher auch als Summe bezeichnet wurde, die Bezeichnung wurde analog zu „σ-finit“ gebildet.

Der Begriff ist wichtig für die abstrakte Integrationstheorie, zusammen mit Lokalkompaktheit und dem Trennungsaxiom T₃ garantiert er die Existenz einer kompakten Ausschöpfung.<ref>Heine: Topologie und Funktionalanalysis. 2002, S. 336.</ref>

Eigenschaften

• Ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist abzählbar im Unendlichen genau dann, wenn der bei der Alexandroff-Kompaktifizierung hinzugekommene unendlich ferne Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt.<ref name="books-MDAlBgAAQBAJ-111">Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-56860-2, S. 111 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).</ref>
• Hemikompakte Räume sind σ-kompakt.<ref name=":6">Willard 2004, S. 126</ref>
• Jeder endlichdimensionale normierte Raum ist σ-kompakt.
• Lokalkompakte Räume mit abzählbarem Kern verallgemeinern lokalkompakte σ-kompakte Räume.

Beispiele

• Beispielsweise ist <math>\mathbb{R}</math>, ausgestattet mit der Standardtopologie, ein σ-kompakter topologischer Raum, denn es gilt <math>\mathbb{R} = \bigcup_{n=1}^\infty [-n, n]</math>, so dass sich <math>\mathbb{R}</math> als abzählbare Vereinigung der kompakten topologischen Räume <math>[-n, n]</math> darstellen lässt.
• Der Raum der finiten <math>\mathbb{K}</math>-wertigen Folgen <math>c_{00}</math> (versehen mit der Norm <math>||\cdot ||_\infty</math>) ist <math>\sigma</math>-kompakt, denn es ist <math>c_{00}=\bigcup \limits_{j=1}^{\infty}K_j</math>, wobei <math>K_j\subseteq c_{00}</math> die kompakte Teilmenge der Folgen <math>x=(x_{\ell})_{\ell}\in c_{00}</math> mit <math>||x||_\infty\leq j</math> und <math>x_\ell=0</math> für <math>\ell\geq j</math> sei. <math>c_{00}</math> ist aber nicht lokal kompakt, da <math>\dim c_{00}=\infty</math> gilt.

Literatur

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• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-15307-1.
• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der abstrakten Analysis mit Anwendungen. Oldenbourg, München u. a. 2002, ISBN 3-486-24914-2.

Einzelnachweise

<references/>