Additiver Funktor

Additiver Funktor ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Es handelt sich dabei um Funktoren zwischen präadditiven Kategorien, die Gruppenhomomorphismen zwischen den Morphismengruppen definieren.

Definition

Es seien <math>\mathfrak{C}</math> und <math>\mathfrak{D}</math> präadditive Kategorien. Ein Funktor <math>F: \mathfrak{C}\rightarrow \mathfrak{D}</math> heißt additiv, falls die Abbildungen <math>\mathrm{Mor}_{\mathfrak{C}}(X,Y)\rightarrow \mathrm{Mor}_{\mathfrak{D}}(FX,FY);\, f\mapsto Ff</math> für je zwei Objekte <math>X</math> und <math>Y</math> aus <math>\mathfrak{C}</math> Gruppenhomomorphismen sind.

Häufig betrachtet man additive Funktoren auf additiven oder abelschen Kategorien, da diese auf solchen Kategorien weitere Eigenschaften haben. Die meisten natürlich auftretenden Funktoren zwischen präadditiven Kategorien sind additiv.

Charakterisierung

Für Funktoren zwischen abelschen Kategorien hat man folgende Charakterisierung:<ref>Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.1.</ref> Ein Funktor <math>F:\mathfrak{A}\rightarrow\mathfrak{B}</math> ist genau dann additiv, wenn <math>F(A_1\oplus A_2) = F(A_1)\oplus F(A_2)</math> für alle Objekte <math>A_1,A_2</math> aus <math>\mathfrak{A}</math>, wobei die Gleichheit folgendes bedeuten soll: Ist <math>(\iota_j:A_j\rightarrow A_1\oplus A_2)_{j=1,2}</math> eine direkte Summe, so auch <math>(F\iota_j:FA_j\rightarrow F(A_1\oplus A_2))_{j=1,2}</math>.

Beispiele

• Die Hom-Funktoren <math>\mathrm{Hom}_R(A,-)</math> von der Kategorie <math>\mathfrak{M}_R</math> der <math>R</math>-Moduln über einem Ring <math>R</math> in die Kategorie <math>\mathfrak{Ab}</math> der abelschen Gruppen, <math>A</math> ein fester <math>R</math>-Modul, ist additiv. Das Gleiche gilt für die Funktoren <math>\mathrm{Hom}_R(-,A): \mathfrak{M}_R\rightarrow \mathfrak{Ab}</math>
• Die Tensorfunktoren <math>(A\otimes_R -):\mathfrak{M}_R\rightarrow \mathfrak{Ab}</math> sind additiv, ebenso <math>(-\otimes_R A):\mathfrak{M}_R\rightarrow \mathfrak{Ab}</math>
• Halbexakte Funktoren sind additiv.<ref>Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.2.</ref>
• Der Funktor <math>F: \mathfrak{M}_R\rightarrow \mathfrak{M}_R</math> mit <math>FA = A\oplus R</math> für jeden Modul <math>A</math> und <math>Ff = f\oplus \mathrm{id}_R</math> für jeden Morphismus <math>f</math> ist nicht additiv.

Eigenschaften

Additive Funktoren zwischen abelschen Kategorien haben folgende Eigenschaften:

• Additive Funktoren überführen Nullobjekte in Nullobjekte.<ref>Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, [[Spezial:ISBN-Suche/{{#if:trim|3-411-014420-2}}|ISBN {{#if:trim|3-411-014420-2}}]], Kapitel III, Satz 23.</ref>
• Additive Funktoren überführen endliche direkte Summen in direkte Summen.<ref>Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, [[Spezial:ISBN-Suche/{{#if:trim|3-411-014420-2}}|ISBN {{#if:trim|3-411-014420-2}}]], Kapitel III, Satz 24.</ref>
• Ist <math>0\rightarrow A\rightarrow A^'\rightarrow A^{}\rightarrow 0</math> eine kurze exakte Sequenz und <math>F</math> ein additiver Funktor, so hat man eine lange exakte Sequenz

<math>\ldots \rightarrow L_nFA \rightarrow L_nFA^' \rightarrow L_nFA^{}\rightarrow \ldots \rightarrow L_0FA \rightarrow L_0FA^' \rightarrow L_0FA^{}\rightarrow 0</math>,

wobei <math>L_n</math> für die <math>n</math>-te Linksableitung stehe.<ref>Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Theorem 3.6.</ref> Insbesondere ist die 0-te Linksableitung eines additiven Funktors rechtsexakt.

• Ist <math>F\xrightarrow{\rho} F^'\xrightarrow{\sigma} F^{}</math> eine Folge additiver Funktoren und natürlicher Transformationen <math>\rho</math> und <math>\sigma</math> und ist für jeden projektiven Modul <math>P</math> die Sequenz

<math>0\rightarrow FP \xrightarrow{\rho^P} F^'P \xrightarrow{\sigma^P} F^{}P\rightarrow 0</math>

exakt, so hat man für beliebige Moduln <math>A</math> eine lange exakte Sequenz<ref>Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Theorem 3.8.</ref>

<math> \ldots \rightarrow L_nFA\rightarrow L_nF^'A\rightarrow L_nF^{}A\rightarrow \ldots \rightarrow L_0FA\rightarrow L_0F^'A\rightarrow L_0F^{}A\rightarrow 0</math>.

Einzelnachweise

<references />