Aleph-Funktion

Die Aleph-Funktion, benannt nach dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets und auch als <math>\aleph</math> geschrieben, ist eine in der Mengenlehre, genauer in der Theorie der Kardinalzahlen, verwendete Aufzählung aller unendlichen Kardinalzahlen.

Definition

Die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen ist unter Verwendung des Auswahlaxioms in der Klasse <math>\mathbf{On}</math> der Ordinalzahlen enthalten, wobei jede Kardinalzahl <math>\kappa</math> mit der kleinsten zu <math>\kappa</math> gleichmächtigen Ordinalzahl identifiziert wird. Ferner ist das Supremum einer Menge von Kardinalzahlen stets wieder eine Kardinalzahl. Daher gibt es genau einen Ordnungsisomorphismus <math>\aleph</math> von <math>\mathbf{On}</math> auf die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen. Den Wert von <math>\aleph</math> an der Stelle <math>\alpha</math> bezeichnet man mit <math>\aleph_\alpha</math>, das heißt, <math>\aleph_\alpha</math> ist die <math>\alpha</math>-te unendliche Kardinalzahl.

Die Aleph-Funktion lässt sich mit transfiniter Rekursion wie folgt definieren:

<math>\aleph_0 = \left|\omega\right|</math> ist kleinste unendliche Ordinalzahl und damit auch kleinste unendliche Kardinalzahl,
<math>\aleph_{\alpha+1} = \min_{\kappa > \aleph_\alpha}\kappa</math>, also die kleinste Kardinalzahl, die größer als <math>\aleph_\alpha</math> ist,
<math>\aleph_\lambda = \sup_{\alpha < \lambda} \aleph_\alpha</math> für Limes-Ordinalzahlen <math>\lambda</math>.

Eigenschaften

Die kleinste unendliche Kardinalzahl ist <math>\aleph_0</math>, die Kardinalität der abzählbar unendlichen Mengen. Die Nachfolger-Kardinalzahl, das heißt die kleinste Kardinalzahl größer als <math>\aleph_0</math>, ist <math>\aleph_1</math>, und so weiter. Die Frage, ob <math>\aleph_1</math> gleich der Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen ist, ist als Kontinuumshypothese bekannt.

Allgemein ist <math>\aleph_\alpha</math> eine Nachfolger-Kardinalzahl, falls <math>\alpha</math> eine Nachfolger-Ordinalzahl ist, anderenfalls eine Limes-Kardinalzahl.

Üblicherweise bezeichnet <math>\omega</math> die kleinste unendliche Ordinalzahl. Diese ist gleich <math>\aleph_0</math>, aber als Index für die Aleph-Funktion verwendet man lieber die Ordinalzahl-Schreibweise. <math>\aleph_\omega</math> ist damit die kleinste Limes-Kardinalzahl und kann als <math>\sup_{n < \omega}\aleph_n</math> geschrieben werden.

Es gilt stets <math>\alpha \le \aleph_\alpha</math> für alle Ordinalzahlen <math>\alpha</math>. Man kann zeigen, dass es Fixpunkte geben muss, das heißt solche Ordinalzahlen <math>\alpha</math>, für die <math>\alpha = \aleph_\alpha</math> gilt. Der kleinste Fixpunkt ist der Limes der Folge <math>\aleph_0, \aleph_{\aleph_0}, \aleph_{\aleph_{\aleph_0}}, \ldots</math>, der informal als <math>\aleph_{\aleph_\ddots}</math> dargestellt wird. Ebenso sind schwach unerreichbare Kardinalzahlen Fixpunkte der Aleph-Funktion.

Siehe auch

Literatur

Georg Cantor: Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. Arbeiten zur Mengenlehre aus den Jahren 1872–1884 (= Teubner-Archiv zur Mathematik. Bd. 2, {{#invoke:URIutil|{{#ifeq:1|1|linkISSN|targetISSN}}|0233-0962|0}}{{#ifeq:1|0|[!]

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}}). Herausgegeben und kommentiert von G. Asser. Teubner, Leipzig, 1884.

Thomas Jech: Set Theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2.