Amalgamiertes Produkt

Das amalgamierte (freie) Produkt von Gruppen <math>G_i</math> nach der Gruppe <math>U</math> oder das freie Produkt der Gruppen <math>G_i</math> mit der amalgamierten Untergruppe <math>U</math> ist eine mit dem freien Produkt von Gruppen verwandte mathematische Konstruktion. Dabei wird das freie Produkt der Gruppen <math>G_i</math> gebildet, die alle eine zur Gruppe <math>U</math> isomorphe Untergruppe enthalten. Über die Gruppenisomorphie zu <math>U</math> werden die einzelnen Elemente der verschiedenen Untergruppen miteinander identifiziert und dadurch die Untergruppen »amalgamiert« (so viel wie »verschmolzen«). Die Gruppenverknüpfung wird entsprechend angepasst, sodass das Ergebnis eine Gruppe ist, die dem freien Produkt der <math>G_i</math> bis auf Identifikation über <math>U</math> isomorpher Elemente entspricht.

Definition (konstruktiv)

Voraussetzungen

Sei <math>I \mathrel{:=} \{ 1, 2, \ldots, n\}, n \in \N</math> eine Indexmenge und <math>\{G_i\}_{i \in I}</math> eine Familie von Gruppen. Weiter beinhalte jede dieser Gruppen eine Untergruppe <math>U_i,</math> die isomorph zu einer weiteren Gruppe <math>U</math> sei. Der zugehörige Gruppenisomorphismus, der diese Isomorphie vermittelt, sei mit <math>\varphi_i \colon U_i \xrightarrow{\cong} U</math> bezeichnet.

Für ein beliebiges <math>t \in \N</math> sei dann ein Wort über den <math>G_i</math> eine Hintereinanderschreibung

<math>\qquad a_1 a_2\ldots a_t</math>

von Elementen aus den <math>G_i.</math> Das Wort sei entweder

leer (für <math>t=0</math>), dann geschrieben <math>1</math> oder <math>\epsilon,</math> oder
für jedes <math>i = 1, \ldots, t</math> gebe es ein <math>j_i \in I,</math> sodass gelte: <math>a_i \in G_{j_i}.</math> D. h. die Gruppen der Familie <math>\{G_i\}_{i \in I}</math> kommen unter den <math>a_i</math> in beliebiger Reihenfolge und beliebig oft (auch wiederholt) vor.

Im Folgenden schreiben wir sowohl für das leere Wort wie auch für die neutralen Elemente <math>1_j</math> der Gruppen <math>G_j</math> ohne Unterschied <math>1.</math>

Äquivalenzrelation

Analog zum Vorgehen bei der Bildung des gewöhnlichen freien Produktes der Gruppen <math>G_i</math> betrachten wir Wörter aus Elementen aus den <math>G_i</math> und definieren sogenannte elementare Äquivalenzen (Ä1–Ä3) zwischen ihnen. Ä1 und Ä2 entstammen der Konstruktion des gewöhnlichen freien Produktes, Ä3 bewirkt die »Amalgamierung«.

Vorbemerkung für Ä3:

Wir sagen, zwei Elemente <math>u_j \in U_j \subseteq G_j</math> und <math>u_k \in U_k \subseteq G_k</math> mit <math>j, k \in I</math> seien einander zugehörig, falls sie vermittels der Isomorphismen <math>\varphi_j</math> und <math>\varphi_k</math> zwischen <math>U_j,</math> <math>U_k</math> und <math>U</math> demselben <math>u \in U</math> entsprechen; d. h. falls <math>\varphi_k(u_k) = u = \varphi_j(u_j)</math> gilt.

(Ä1): »Neutrale Elemente können weggelassen werden.«; Falls <math>a_i = 1,</math> dann sei <math>a_1 \ldots a_{i-1} {\color{RawSienna}a_i} a_{i+1} \ldots a_t</math> (elementar) äquivalent zu <math>a_1 \ldots \overset{{\color{RawSienna}a_i}\!\!\!\!\diagup}{\overset{\uparrow}{a_{i-1} a_{i+1}}} \ldots a_t.</math>
(Ä2): »Zwei Elemente können durch ihr Produkt ersetzt werden.«; Falls <math>a_i</math> und <math>a_{i+1}</math> aus derselben Gruppe <math>G_j</math> sind und <math>a_i a_{i+1} = a^*</math> in <math>G_j</math> gilt, dann sei <math>a_1 \ldots {\color{RawSienna}a_i a_{i+1}} \ldots a_t</math> (elementar) äquivalent zu <math>a_1 \ldots {\color{RawSienna}a^*} \ldots a_t.</math>
(Ä3): »Elemente können durch zugehörige Elemente ersetzt werden.«; Falls <math>a_i = u_j \in U_j \subseteq G_j</math> und <math>b_i = u_k \in U_k \subseteq G_k</math> mit <math>j, k \in I</math> und die Elemente <math>u_j</math> und <math>u_k</math> einander zugehörig sind, dann sei <math>a_1 \ldots a_{i-1} {\color{RawSienna}a_i} a_{i+1} \ldots a_t</math> (elementar) äquivalent zu <math>a_1 \ldots a_{i-1} {\color{RawSienna}b_i} a_{i+1} \ldots a_t.</math>

Auf Grundlage der elementaren Äquivalenzen erklären wir wortweise Äquivalenz.

<math>G</math> sei die Menge aller Wörter über den <math>G_i.</math> Zwei Wörter <math>x</math> und <math>y</math> aus <math>G</math> seien (wortweise) äquivalent, falls es eine Folge

<math>\qquad x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_m</math>

von Wörtern aus <math>G</math> mit <math>m \in \N,</math> <math>x_1 \mathrel{=} x</math> und <math>x_m \mathrel{=} y</math> gibt, in welcher je zwei aufeinanderfolgende Glieder elementar äquivalent sind. Wir schreiben dann: <math>x \sim y.</math>

Die wortweise Äquivalenz entspricht der transitiven Hülle bzw. der reflexiv-transitiven Hülle der elementaren Äquivalenz.

Gruppen-Verknüpfung

Für <math>x\in G</math> sei

<math>\qquad [x] = \{y\in G\mid y\sim x\}</math>

die Menge aller zu <math>x</math> äquivalenten Wörter in <math>G.</math> <math>[x]</math> heißt Äquivalenzklasse von <math>x.</math> Mit <math>G/{\sim}</math> (sprich: „Ge nach Tilde“) bezeichnen wir die Menge aller möglichen Äquivalenzklassen von Elementen <math>x\in G,</math> sie heißt Quotientenmenge von <math>G</math> nach der Äquivalenzrelation <math>\sim.</math>

Auf der Menge <math>G</math> ist durch die Hintereinanderschreibung von Wörtern <math>x = a_1\ldots a_t</math> und <math>y =b_1\ldots b_s</math> eine Verknüpfung

<math>\qquad xy \mathrel{=} a_1\ldots a_t b_1\ldots b_s</math>

gegeben. Wir übertragen diese Verknüpfung in natürlicher Weise auf <math>G/{\sim},</math> indem wir definieren:

<math>\qquad [x]\ast[y] \mathrel{:=} [xy].</math>

D. h. das Produkt der Äquivalenzklassen wird definiert als die Äquivalenzklasse des Produktes <math>xy</math> der beiden Repräsentanten <math>x</math> und <math>y.</math> Dieses Produkt wird auch das kanonische<ref name="fn_kanonisch">»kanonisch« bedeutet so viel wie, dass das Produkt im Kanon der Mathematik, d. h. z. B. in der Leit-Literatur der Mathematik gewöhnlich so definiert wird und in diesem Sinne als musterhafte, verbindliche und / oder verlässliche Konvention gelten kann. Der Begriff entstammt dem Kirchenrecht und seiner Bezeichnung als kanonisches Recht.</ref> Produkt auf <math>G/{\sim}</math> genannt.

Amalgamiertes Produkt

Die Quotientenmenge <math>G/{\sim}</math> bildet zusammen mit dem eben definierten Produkt eine Gruppe <math>\left(G/{\sim},\ast\right),</math> sie heißt das amalgamierte Produkt der Gruppen <math>G_i</math> oder das freie Produkt der Gruppen <math>G_i</math> mit der amalgamierten Untergruppe <math>U.</math>

Man spricht vom nichttrivialen amalgamierten Produkt zweier Gruppen <math>G_1</math> und <math>G_2,</math> wenn <math>U\not= G_1</math> und <math>U\not= G_2.</math> (Beleg?)

Eigenschaften

Das amalgamierte Produkt von zwei Gruppen <math>G_1</math> und <math>G_2</math> mit einer gemeinsamen Untergruppe <math>U</math> ist ein Beispiel für ein Pushout.

Das freie Produkt ist eine Anwendung bzw. ein Spezialfall des amalgamierten Produktes, da jedes freie Produkt vermöge der Amalgamierung nach der trivialen Untergruppe <math>\{1\}</math><ref name="fn_iso_e">Die Untergruppen <math>\{1\}</math> sind trivialerweise alle isomorph zu jeder beliebigen Gruppe der Gruppenordnung 1. Man wähle eine beliebige Gruppe <math>U=\{1\}</math> als Amalgamierungsgruppe.</ref> seiner Faktoren als amalgamiertes Produkt aufgefasst werden kann.

Weblinks

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Literatur

Hall, Marshall: The theory of groups. Macmillan, New York, 1959.

Einzelnachweise und Fußnoten

en:Free product#Generalization: Free product with Amalgamation