Ankreis

Dreieck mit Ankreisen (rot)

Die drei Ankreise (rot) gehören mit dem Umkreis und dem Inkreis zu den besonderen Kreisen eines Dreiecks, die schon in der Antike von griechischen Mathematikern untersucht wurden.<ref group="A">So behandelte Apollonios von Perge in seinem Werk Über Berührungen das Problem, einen Kreis zu konstruieren, der drei Geraden berührt (siehe Apollonisches Problem).</ref>

Die Ankreise sind definiert als Kreise, die jeweils von einer Dreiecksseite von außen und von den Verlängerungen der beiden anderen Seiten berührt werden. Jedes Dreieck besitzt drei Ankreise. Die Ankreismittelpunkte liegen jeweils auf der Winkelhalbierenden eines Innenwinkels und auf den Winkelhalbierenden der beiden Außenwinkel, die nicht zu dem Innenwinkel gehören.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Radien

Der Radius desjenigen Ankreises, der die Seite <math>a</math> (<math>[BC]</math>) im Inneren berührt, ergibt sich als

<math>\rho_a = \frac{A}{s-a}</math>.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Wolf P. Barth|Wolf P. Barth: }}{{#if:|{{#if:Geometrie|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Geometrie}}]{{#if:PDF| (PDF)}}{{#if:1.5 Kreise am Dreieck, Satz 1.15 (Ankreisradius)| 1.5 Kreise am Dreieck, Satz 1.15 (Ankreisradius){{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel=1.5 Kreise am Dreieck, Satz 1.15 (Ankreisradius)}}}}}}|{{#if:https://www.mathematik.uni-marburg.de/~tbauer/Barth_Geometrie.pdf#page=45&zoom=80,-140,41%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Geometrie}}}}%7C[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.mathematik.uni-marburg.de/~tbauer/Barth_Geometrie.pdf#page=45&zoom=80,-140,41}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Geometrie}}}}]}}{{#if:PDF| (PDF{{#if:1.5 Kreise am Dreieck, Satz 1.15 (Ankreisradius)Universität MagdeburgMathematisches Institut der Universität Erlangen2004-08-1046{{#if: 2019-09-01 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Dabei steht <math>A</math> für den Flächeninhalt und <math>s</math> für den halben Umfang des Dreiecks: <math>s = \tfrac{1}{2}(a+b+c)</math>.

Analog berechnen sich die Radien <math>\rho_b</math> und <math>\rho_c</math> der beiden anderen Ankreise.

Drückt man den Flächeninhalt nach dem Satz des Heron durch die Seitenlängen aus, so erhält man

<math>\rho_a = \sqrt{\frac{s(s-b)(s-c)}{s-a}}</math>.

Für die anderen beiden Ankreise gilt entsprechend

<math>\rho_b = \sqrt{\frac{s(s-a)(s-c)}{s-b}}</math> und <math>\rho_c = \sqrt{\frac{s(s-a)(s-b)}{s-c}}</math>.

Berührpunktabstände

Datei:01 Dreieck-Ankreise-Berührpunktabstände.svg

Dreieck, Berührpunktabstände der Ankreise, gleichfarbige Abstände haben gleiche Längen

Bezeichnung

<math>c_a</math> ist der Abstand von <math>C</math> zum Berührpunkt des Ankreises mit der Seite <math>a</math> bzw. mit der Verlängerung der Seite <math>b.</math>
<math>b_a</math> ist der Abstand von <math>B</math> zum Berührpunkt des Ankreises mit der Seite <math>a</math> bzw. mit der Verlängerung der Seite <math>c.</math><ref name="Barth">{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:Wolf P. Barth|Wolf P. Barth: }}{{#if:|{{#if:Geometrie|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Geometrie}}]{{#if:PDF| (PDF)}}{{#if:1.5 Kreise am Dreieck, Satz 1.14 (Hilfssatz)| 1.5 Kreise am Dreieck, Satz 1.14 (Hilfssatz){{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel=1.5 Kreise am Dreieck, Satz 1.14 (Hilfssatz)}}}}}}|{{#if:https://www.mathematik.uni-marburg.de/~tbauer/Barth_Geometrie.pdf#page=45&zoom=80,-142,761%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Geometrie}}}}%7C[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.mathematik.uni-marburg.de/~tbauer/Barth_Geometrie.pdf#page=45&zoom=80,-142,761}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Geometrie}}}}]}}{{#if:PDF| (PDF{{#if:1.5 Kreise am Dreieck, Satz 1.14 (Hilfssatz)Universität MagdeburgMathematisches Institut der Universität Erlangen2004-08-1045{{#if: 2019-08-31 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Der Index <math>a</math> steht dafür, dass derjenige Ankreis betrachtet wird, der die Seite <math>a</math> im Dreieck und nicht in der Verlängerung berührt. Analog wird die Bezeichnung für die anderen zwei Ankreise gewählt.

Es gilt:

<math>c_a = a_c = s - b=\tfrac 12(a-b+c),</math>

<math>c_b = b_c = s - a=\tfrac 12(-a+b+c),</math>

<math>a_b = b_a = s - c=\tfrac 12(a+b-c).</math>

Dabei ist <math>s</math> der halbe Umfang des Dreiecks.

Nachweis: Die tangentiale Distanz von <math>C</math> zum Ankreis mit Mittelpunkt <math>I_a</math> liefert die Gleichheit der grünen Abschnitte bei <math>C</math> und entsprechend die blauen bei <math>B</math>. Die tangentiale Distanz von <math>A</math> zu demselben Kreis liefert dann die Gleichung <math>b+c_a=c+b_a</math>. Mit <math>c_a+b_a=a</math> folgt schließlich <math>2c_a=a-b+c=2(s-b)</math>. Analog ergeben sich die anderen Gleichungen.

Mittelpunkte

Die Mittelpunkte der Ankreise an ihrer jeweiligen Seite haben folgende baryzentrische Koordinaten, wobei <math>\displaystyle I_a</math> den Mittelpunkt des Ankreises der Seite <math>a</math> repräsentiert:

<math>\displaystyle I_a = (-a:b:c)</math>
<math>\displaystyle I_b = (a:-b:c)</math>
<math>\displaystyle I_c = (a:b:-c)</math>

Konstruktion der Ankreismittelpunkte

Datei:01 Dreieck-Ankreise.svg

Dreieck, Konstruktion der Ankreismittelpunkte

Aus der Einleitung kann man Folgendes schließen: Die drei Ankreismittelpunkte können auch allein mittels Halbierungen von drei Außenwinkeln gefunden werden, die als Winkelschenkel jeweils eine Seite sowie eine Verlängerung einer benachbarten Seite aufweisen.

Es beginnt mit den Verlängerungen der Seiten des Dreiecks <math>ABC</math> über dessen Eckpunkte hinaus. Danach folgt z. B. die Winkelhalbierende <math>w_1</math> des Außenwinkels am Scheitel <math>C</math> mit den Winkelschenkeln Seite <math>a</math> und Verlängerung der Seite <math>b</math> ab <math>C.</math> Die Winkelhalbierende <math>w_2</math> des Außenwinkels am Scheitel <math>B</math> mit den Winkelschenkeln Seite <math>a</math> und Verlängerung der Seite <math>c</math> ab <math>B</math> schließt sich an und liefert dabei, als Schnittpunkt mit <math>w_1</math>, den ersten Ankreismittelpunkt <math>I_a.</math> Sind alle drei Ankreismittelpunkte gesucht, ist abschließend noch die Winkelhalbierende <math>w_3</math> des Außenwinkels am Scheitel <math>A</math> mit den Winkelschenkeln Seite <math>c</math> und Verlängerung der Seite <math>b</math> ab <math>A</math> erforderlich. Damit ergeben sich, als Schnittpunkte mit den bereits vorhandenen Winkelhalbierenden <math>w_1</math> und <math>w_2,</math> auch noch die beiden Ankreismittelpunkte <math>I_b</math> und <math>I_c.</math>

Weitere Eigenschaften

Die Ankreismittelpunkte <math>I_a, I_b</math> und <math>I_c</math> des Dreiecks <math>ABC</math> bilden ein Dreieck, dessen Höhenschnittpunkt <math>H</math> der Inkreismittelpunkt des Dreiecks <math>ABC</math> ist.
Verbindet man die Ecken eines Dreiecks mit den gegenüberliegenden Berührpunkten der Ankreise, so schneiden sich die Verbindungsgeraden in einem Punkt, dem Nagel-Punkt <math>N</math>.

Datei:01 Dreieck-Ankreise-Inkreis.svg

Höhenschnittpunkt <math>H</math> des Dreiecks <math>I_a\; I_b\; I_c</math> ist der Inkreismittelpunkt des Dreiecks <math>A B C</math> und <math>N</math> dessen Nagel-Punkt

Literatur

H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie. Klett, Stuttgart 1983, ISBN 3-12-983390-0.
Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3

Weblinks

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Anmerkungen

Einzelnachweise