Arens-Michael-Zerlegung

Die Arens-Michael-Zerlegung, benannt nach Richard Arens und Ernest Michael, ist eine mathematische Konstruktion zur Untersuchung von LMC-Algebren. Die Arens-Michael-Zerlegung stellt vollständige LMC-Algebren als projektive Limiten von Banachalgebren dar.<ref>E. A. Michael: Locally multiplicatively-convex topological algebras, Mem. Amer. Math. Soc. (1952), Band 11</ref>

Konstruktion

Es sei <math>A</math> eine LMC-Algebra, das heißt eine topologische Algebra, deren Topologie durch eine gerichtete Familie submultiplikativer Halbnormen <math>(p_\alpha)_{\alpha\in I}</math> gegeben ist, wobei <math>\alpha \le \beta</math> für <math>p_\alpha \ge p_\beta</math> steht. Dann ist <math>N_\alpha := p_\alpha^{-1}(0)\subset A</math> ein zweiseitiges Ideal und <math>p_\alpha</math> definiert durch

<math> \hat{p}_\alpha(a+N_\alpha) := p_\alpha(a)</math>

eine Norm auf der Quotientenalgebra <math>A/N_\alpha</math>. Die Vervollständigungen der <math>(A/N_\alpha, \hat{p}_\alpha)</math> sind Banachalgebren, die mit <math>A_\alpha</math> bezeichnet werden.

Für <math>\alpha \le \beta</math> definiert <math>a+N_\beta \mapsto a+ N_\alpha</math> einen Algebrenhomomorphismus <math>f_{\alpha,\beta}:A_\beta\rightarrow A_\alpha</math>. Mit diesen Abbildungen erhält man eine Einbettung

<math>A\rightarrow \lim_{\longleftarrow}A_\alpha := \{(a_\alpha)_\alpha; f_{\alpha,\beta}(a_\beta) = a_\alpha\, \forall \alpha < \beta\} \subset \Pi_{\alpha \in I}A_\alpha</math>

in den projektiven Limes des Systems <math>(A_\alpha, f_{\alpha,\beta})</math>. Damit ist jede LMC-Algebra eine Unteralgebra eines Produkts von Banachalgebren. Dies nennt man die Arens-Michael-Zerlegung.<ref>Anastasios Mallios: Topological Algebras: Selected Topics, North-Holland Mathematics Studies, Band 124, Kapitel III.3 "Arens Michael Decomposition"</ref>

Wenn <math>A</math> vollständig ist, so ist <math>A\rightarrow \lim_{\longleftarrow}A_\alpha</math> surjektiv und man erhält das Resultat, dass vollständige LMC-Algebren projektive Limiten von Banachalgebren sind. Vollständige LMC-Algebren nennt man daher auch Arens-Michael-Algebren<ref>A. Y. Helemskii: The Homology of Banach and Topological Algebras. Kluwer Academic Publishers (1989), ISBN 0-7923-0217-6, Kapitel 0, §1.3. Definition 1.2</ref>.

Anwendungen

Mittels der Darstellung als projektive Limiten von Banachalgebren können manche Ergebnisse aus der Theorie der Banachalgebren auf (vollständige) LMC-Algebren übertragen werden.

Eine typische Anwendung ist das Invertierbarkeitskriterium von Arens. Mit den Bezeichnungen aus obiger Konstruktion ist ein Element <math>a\in A</math> aus einer Arens-Michael-Algebra mit Einselement genau dann invertierbar, wenn <math>a+N_\alpha</math> in jeder Algebra <math>A_\alpha</math> invertierbar ist.<ref>Edward Beckenstein, Lawrence Narici, Charles Suffel: Topological algebras, North-Holland Publishing Company (1977), ISBN 0-7204-0724-9, Theorem 4.6-1 (e)</ref>

Weiter kann man mit diesen Methoden zeigen, dass LMC-Algebren eine stetige Inverse haben, das heißt, dass die Abbildung <math>x\mapsto x^{-1}</math> auf der Menge der invertierbaren Elemente automatisch stetig ist.<ref>Edward Beckenstein, Lawrence Narici, Charles Suffel: Topological algebras, North-Holland Publishing Company (1977), ISBN 0-7204-0724-9, Theorem 4.8-6</ref>

Einzelnachweise