Astroide

Animation der Astroide

Animation Astroide als Hüllkurve

Datei:Astroid created with Elipses with a plus b const.svg

Astroide als Hüllkurve einer Familie von Ellipsen, bei denen a + b = const.

Die Astroide (auch Sternkurve genannt) ist eine ebene Kurve, die sich mit einem Parameter <math>t \in [0,2\pi]</math> durch die Parametergleichungen<ref name="Bronstein-105">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

oder durch die implizite Gleichung

<math>x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} \, </math><ref name="Bronstein-105" />, welche äquivalent zu <math> \quad

(x^2+y^2-a^2)^3 + 27 a^2 x^2 y^2 = 0</math> ist,

beschreiben lässt. <math>a</math> ist dabei eine feste positive, reelle Zahl. Sie ist die Kurve, die ein Punkt auf einem Kreis mit Radius <math>\tfrac{1}{4}a</math> beschreibt, der innen auf einem Kreis mit Radius <math>a</math> abrollt. Sie ist also eine spezielle Hypozykloide.

Für ihren Flächeninhalt <math>A</math> gilt<ref name="Bronstein-105" />

<math>A = \frac{3}{8} \pi a^2</math>.

Die Länge <math>\ell</math> der gesamten Kurve beträgt <math>\ell = 6a</math>.<ref name="Bronstein-105" /> Innerhalb eines Kurvenviertels <math> 0 \le t \le \frac{\pi}{2} </math> gilt für die Bogenlänge

und für den Krümmungsradius

<math> \rho(t) = \frac{3}{2}a\sin(2t)</math>.

Die Astroide ähnelt auch dem Karo auf gewöhnlichen Spielkarten.

Schwerpunkt

Schwerpunkte der Astroiden
	Intervall	<math>x_\mathrm{S}</math>	<math>y_\mathrm{S}</math>
Ebenes Kurvenstück	0 ≤ t ≤ <math>\tfrac{\pi}{2}</math>	<math>\tfrac{2}{5}a </math>	<math>\tfrac{2}{5}a </math>
	0 ≤ t ≤ <math>\pi</math>	0	<math>\tfrac{2}{5}a</math>
Ebene Figur	0 ≤ t ≤ <math>\tfrac{\pi}{2}</math>	<math>\tfrac{256}{315 \pi} a</math>	<math>\tfrac{256}{315 \pi} a</math>
	0 ≤ t ≤ <math>\pi</math>	0	<math>\tfrac{256}{315 \pi} a</math>
Drehkörper*	0 ≤ t ≤ <math>\tfrac{\pi}{2}</math>	<math>\tfrac{21}{128}a</math>	0

*Bei Rotation um die X-Achse <math>( z_S = 0 )</math>

Schiefe Astroide

Eine Verallgemeinerung ist die schiefe Astroide, die sich durch die Parametergleichungen

oder durch die implizite Gleichung

<math>\left({\frac{x}{a}}\right)^{\frac{2}{3}} + \left({\frac{y}{b}}\right)^{\frac{2}{3}} = 1</math>

beschreiben lässt. Die Evolute einer Ellipse ist ebenfalls eine schiefe Astroide.

Siehe auch

orthoptische Kurve einer Astroide

Einzelnachweise

Weblinks

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{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Astroid. In: MathWorld (englisch). {{#if: Astroid | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | Astroid | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
Astroide bei 2dcurves.com (englisch)
Stoner-Wohlfarth Astroiden Applet (Physik). (englisch)