BKM-Algorithmus
Der BKM-Algorithmus ist ein iterativer Algorithmus, mit dessen Hilfe sich die Logarithmus- und Exponentialfunktion effizient in digitalen Schaltungen berechnen lassen. Er wurde 1994 von J. C. Bajard, S. Kla und Jean-Michel Muller entwickelt, wovon sich auch die Bezeichnung ableitet.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Allgemeines
Der BKM-Algorithmus ist wie CORDIC-Algorithmus ein so genannter Shift-and-add-Algorithmus, der auf bitweisen Verschiebungen und ganzzahligen Additionen in Addierwerken basiert. Divisionen werden ausschließlich mit negativen Potenzen von 2 durchgeführt, welche sich in digitalen Schaltungen direkt als bitweise Verschiebung implementieren lassen. Der Algorithmus kommt im Gegensatz zu dem CORDIC-Verfahren ohne Skalierungsfaktor aus und verwendet Logarithmentabellen anstelle der bei CORDIC notwendigen Arkustangens-Tabelle.
Die Berechnung eines Funktionswertes erfolgt in einem Iterationsverfahren mit einer Konvergenzrate von ungefähr einem Bit pro Durchlauf. Aufgrund dieses Umstands wird dieser Algorithmus manchmal auch als Bitalgorithmus bezeichnet.
Herleitung
Gegeben sei die Iterationsvorschrift
- <math>x_{n+1} = x_n\cdot (1+d_n \cdot 2^{-n})</math>
mit <math>x_0 = 1</math> und <math>d_n \in \{0,1\}</math>. Die Iterationsvorschrift ist per Induktion identisch mit
- <math>x_{n+1} = \prod_{i=0}^n (1+2^{-i})^{d_i}</math>
Sind alle <math>d_n = 0</math>, so sind alle <math>x_n = 1</math>. Sind alle <math>d_n = 1</math> gilt <math>x_\infty\approx 4{,}768</math><ref>Für weitere Nachkommastellen siehe Folge A081845 in OEIS.</ref>. Tatsächlich kann mit der Iterationsvorschrift bei geeigneter Wahl der <math>d_n</math> jede reelle Zahl <math>x</math> im Bereich <math>1 \leqq x \lessapprox 4{,}768</math> als Grenzwert dargestellt werden.
Weiterhin gelte die Iterationsvorschrift
- <math>y_{n+1} = y_n + d_n \cdot \ln(1+2^{-n})</math>
mit <math>y_0 = 0</math> oder äquivalent dazu
- <math>y_{n+1} = \sum_{i=0}^n d_i \cdot \ln(1+2^{-i}) = \ln\left(\prod_{i=0}^n (1+2^{-i})^{d_i}\right)</math>.
Für numerische Berechnungen wird <math>A_n=\ln(1+2^{-n})</math> durch eine vorab berechnete Tabelle realisiert.
Es folgt sofort, dass <math>y_n=\ln(x_n)</math> für alle <math>n</math> gilt. Mit denselben Überlegungen wie oben ergibt sich für den Logarithmus der Bereich <math>0 \leqq y = \ln(x) \lessapprox 1{,}562</math>.
Logarithmusfunktion
Um die Logarithmusfunktion zu berechnen (dies wird beim BKM-Algorithmus auch als L-mode bezeichnet), wird in jedem Schritt getestet, ob <math>x_n \cdot (1+2^{-n}) \le x</math> ist. Wenn ja, wird <math>x_{n+1}</math> und <math>y_{n+1}</math> berechnet. Nach <math>N</math> Schritten ist der Funktionswert mit einem Fehler <math>\Delta \ln(x) \le 2^{-N}</math> bestimmt.
Beispiel als C++-Programm (Tabelle A_e unten):
<syntaxhighlight lang="c++" style="font-size: 75%; max-width: 576px;">
double log_e (const double Argument, const int Bits = 53) // 1 <= Argument <= 4.768462058
{
double x = 1.0, y = 0.0, s = 1.0;
for (int k = 0; k < Bits; k++) {
double const z = x + x*s;
if (z <= Argument) {
x = z;
y += A_e[k];
}
s *= 0.5;
}
return y;
}
</syntaxhighlight>
Auch andere Logarithmen lassen sich ohne Mehraufwand berechnen. Enthält die Tabelle die Werte für einen anderen Logarithmus als den zur Basis e, dann berechnet die Funktionen eben diesen Logarithmus (Tabelle A_2 ebenfalls im Anhang):
<syntaxhighlight lang="c++" style="font-size: 75%; max-width: 576px;">
double log_2 (const double Argument, const int Bits = 53) // 1 <= Argument <= 4.768462058
{
double x = 1.0, y = 0.0, s = 1.0;
for (int k = 0; k < Bits; k++) {
double const z = x + x*s;
if (z <= Argument) {
x = z;
y += A_2[k];
}
s *= 0.5;
}
return y;
}
</syntaxhighlight>
Der erlaubte Bereich für das Argument ist der gleiche (1 ≤ Argument ≤ 4,768462058…). Im Fall des Logarithmus zur Basis 2 kann man den Exponenten vorher abtrennen (erhält damit den ganzzahligen Anteil des Logarithmus) und wendet auf das Restargument (welches zwischen 1 und 2 liegt) den Bitalgorithmus an. Da das Argument kleiner als 2,384231… ist, braucht die Iterationsschleife von k erst ab 1 anzufangen.
Exponentialfunktion
Um die Exponentialfunktion zu berechnen (dies wird beim BKM-Algorithmus auch als E-mode bezeichnet), wird in jedem Schritt getestet, ob <math>y_n + \ln(1+2^{-n}) \le y</math> ist. Wenn ja, wird <math>x_{n+1}</math> und <math>y_{n+1}</math> berechnet. Nach <math>N</math> Schritten ist der Funktionswert mit einem Fehler <math>\Delta \exp(x) \le 2^{-N}</math> bestimmt.
Beispiel als C++-Programm (Tabelle A_e unten):
<syntaxhighlight lang="c++" style="font-size: 75%; max-width: 576px;">
double exp (const double Argument, const int Bits = 54) // 0 <= Argument <= 1.5620238332
{
double x = 1.0, y = 0.0, s = 1.0;
for (int k = 0; k < Bits; k++) {
double const z = y + A_e[k];
if (z <= Argument) {
y = z;
x = x + x*s;
}
s *= 0.5;
}
return x;
}
</syntaxhighlight>
Tabellen für die C++-Beispiele
<syntaxhighlight lang="c++" style="font-size: 75%; max-width: 720px;">
static const double A_e [] = // A_e[k] = ln (1 + 0.5^k)
{
0.693147180559945297099404706000, 0.405465108108164392935428259000, 0.223143551314209769962616701000,
0.117783035656383447138088388000, 0.060624621816434840186291518000, 0.030771658666753686222134530000,
0.015504186535965253358272343000, 0.007782140442054949100825041000, 0.003898640415657322636221046000,
0.001951220131261749216850870000, 0.000976085973055458892686544000, 0.000488162079501351186957460000,
0.000244110827527362687853374000, 0.000122062862525677363338881000, 0.000061033293680638525913091000,
0.000030517112473186377476993000, 0.000015258672648362398138404000, 0.000007629365427567572417821000,
0.000003814689989685889381171000, 0.000001907346813825409407938000, 0.000000953673861659188260005000,
0.000000476837044516323000000000, 0.000000238418550679858000000000, 0.000000119209282445354000000000,
0.000000059604642999033900000000, 0.000000029802321943606100000000, 0.000000014901161082825400000000,
0.000000007450580569168250000000, 0.000000003725290291523020000000, 0.000000001862645147496230000000,
0.000000000931322574181798000000, 0.000000000465661287199319000000, 0.000000000232830643626765000000,
0.000000000116415321820159000000, 0.000000000058207660911773300000, 0.000000000029103830456310200000,
0.000000000014551915228261000000, 0.000000000007275957614156960000, 0.000000000003637978807085100000,
0.000000000001818989403544200000, 0.000000000000909494701772515000, 0.000000000000454747350886361000,
0.000000000000227373675443206000, 0.000000000000113686837721610000, 0.000000000000056843418860806400,
0.000000000000028421709430403600, 0.000000000000014210854715201900, 0.000000000000007105427357600980,
0.000000000000003552713678800490, 0.000000000000001776356839400250, 0.000000000000000888178419700125,
0.000000000000000444089209850063, 0.000000000000000222044604925031, 0.000000000000000111022302462516,
0.000000000000000055511151231258, 0.000000000000000027755575615629, 0.000000000000000013877787807815,
0.000000000000000006938893903907, 0.000000000000000003469446951954, 0.000000000000000001734723475977,
0.000000000000000000867361737988, 0.000000000000000000433680868994, 0.000000000000000000216840434497,
0.000000000000000000108420217249, 0.000000000000000000054210108624, 0.000000000000000000027105054312,
};
</syntaxhighlight>
<syntaxhighlight lang="c++" style="font-size: 75%; max-width: 576px;">
static const double A_2 [] = // A_2[k] = log_2 (1 + 0.5^k)
{
1.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,
0.5849625007211561814537389439478165087598144076924810604557526545410982276485,
0.3219280948873623478703194294893901758648313930245806120547563958159347765589,
0.1699250014423123629074778878956330175196288153849621209115053090821964552970,
0.0874628412503394082540660108104043540112672823448206881266090643866965081686,
0.0443941193584534376531019906736094674630459333742491317685543002674288465967,
0.0223678130284545082671320837460849094932677948156179815932199216587899627785,
0.0112272554232541203378805844158839407281095943600297940811823651462712311786,
0.0056245491938781069198591026740666017211096815383520359072957784732489771013,
0.0028150156070540381547362547502839489729507927389771959487826944878598909400,
0.0014081943928083889066101665016890524233311715793462235597709051792834906001,
0.0007042690112466432585379340422201964456668872087249334581924550139514213168,
0.0003521774803010272377989609925281744988670304302127133979341729842842377649,
0.0001760994864425060348637509459678580940163670081839283659942864068257522373,
0.0000880524301221769086378699983597183301490534085738474534831071719854721939,
0.0000440268868273167176441087067175806394819146645511899503059774914593663365,
0.0000220136113603404964890728830697555571275493801909791504158295359319433723,
0.0000110068476674814423006223021573490183469930819844945565597452748333526464,
0.0000055034343306486037230640321058826431606183125807276574241540303833251704,
0.0000027517197895612831123023958331509538486493412831626219340570294203116559,
0.0000013758605508411382010566802834037147561973553922354232704569052932922954,
0.0000006879304394358496786728937442939160483304056131990916985043387874690617,
0.0000003439652607217645360118314743718005315334062644619363447395987584138324,
0.0000001719826406118446361936972479533123619972434705828085978955697643547921,
0.0000000859913228686632156462565208266682841603921494181830811515318381744650,
0.0000000429956620750168703982940244684787907148132725669106053076409624949917,
0.0000000214978311976797556164155504126645192380395989504741781512309853438587,
0.0000000107489156388827085092095702361647949603617203979413516082280717515504,
0.0000000053744578294520620044408178949217773318785601260677517784797554422804,
0.0000000026872289172287079490026152352638891824761667284401180026908031182361,
0.0000000013436144592400232123622589569799954658536700992739887706412976115422,
0.0000000006718072297764289157920422846078078155859484240808550018085324187007,
0.0000000003359036149273187853169587152657145221968468364663464125722491530858,
0.0000000001679518074734354745159899223037458278711244127245990591908996412262,
0.0000000000839759037391617577226571237484864917411614198675604731728132152582,
0.0000000000419879518701918839775296677020135040214077417929807824842667285938,
0.0000000000209939759352486932678195559552767641474249812845414125580747434389,
0.0000000000104969879676625344536740142096218372850561859495065136990936290929,
0.0000000000052484939838408141817781356260462777942148580518406975851213868092,
0.0000000000026242469919227938296243586262369156865545638305682553644113887909,
0.0000000000013121234959619935994960031017850191710121890821178731821983105443,
0.0000000000006560617479811459709189576337295395590603644549624717910616347038,
0.0000000000003280308739906102782522178545328259781415615142931952662153623493,
0.0000000000001640154369953144623242936888032768768777422997704541618141646683,
0.0000000000000820077184976595619616930350508356401599552034612281802599177300,
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Literatur
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Weblinks
- Accelerated Shift-and-Add algorithms. (PDF; 181 kB).
Einzelnachweise
<references />